|
Сейчас мы установили, что для подобия
многоугольников необходимо равенство их углов и пропорциональность
сходственных сторон (объясните, что это значит?). Теперь покажем, что
для подобия т р е у г о л ь н и к о в достаточно одного лишь равенства
углов, т. е., что в треугольнике с соответственно равными углами стороны
пропорциональны.
Пусть нам известно, что в треугольниках ABCи DEF (черт. 190) угол A= уг. D, уг. B = уг. E, а значит и третий угол C = углу F. Убедимся, что в таком случае стороны этих треугольников пропорциональны. Для этого перенесем мысленно треугольник ABCна DEFи положим его так, чтобы вершина В попала в Е, сторона ВА пошла по стороне ED, a BC– по EF. Третья сторона АС займет положение МN, и так как уг. А = уг. D, то MNляжет параллельно DE. В таком положении легко доказать, что стороны меньшего треугольника пропорциональны сторонам большего. Разделим сторону EDна такое число частей, чтобы одна из точек деления пришлась в М. Пусть между Е и М уместилось 2 таких части, а между М и D – 3. Проведем через точки деления прямые, параллельные DF. Эти параллельные (черт. 191) рассекут сторону EFтакже на равные части (почему? См. § 57): две части – между Е и Nи 3 части – между Nи F. Теперь ясно, что
ED/EM = 5/2 = EF/EN
Но так как EF= AB, a EN= BC, то
ED/AB = EF/BC
Значит, стороны ЕD, AB, EF и BC– пропорциональны.
Для подобия треугольников необходимо еще, чтобы и отношение третьей пары сторон DF: ACравнялось отношению ED: АВ (или EF: BC). Чтобы и в. этом удостовериться, проведем через точки деления стороны ED(черт. 192) ряд прямых, параллельных EF. Сторона MN разделится тогда на 2 равные части (почему?), a DF– на 5 таких же частей (почему?), и станет ясно, что
DE/AC=5/2=ED/AB=EF/BC
Итак, если углы одного треугольника равны
углам другого, то стороны, прилегающие к равным углам (или лежащие
против равных углов) пропорциональны.
П р и м е ч а н и е. Стороны
треугольников могут иметь такую длину, что невозможно выполнить деление
их, как указано было на черт. 191: ни одна точка деления не приходится в
точке М. Однако, рассмотренное сейчас свойство сохраняется и в таком случае (это доказывается в более полных учебниках).
Мы сейчас доказали, что в двух
треугольниках при равенстве, углов стороны должны быть пропорциональны.
Покажем теперь, что и наоборот: при пропорциональности сторон
треугольники имеют соответственно равные углы.
Это надо понимать так. Если длины сторон двух треугольников (напр. I и II на черт. 193) таковы, что
a/e = b/f = c/g
то угол против стороны aравен углу против стороны е, угол против b= углу против f, и угол против c = углу против g.
В этом легко убедиться, отложив (черт. 194) от вершины треугольника I на стороне а сторону е и проведя через конец ее прямую х, параллельную с. Она отсечет от треугольника I меньший треугольник III, стороны которого обозначим через е, х, у. Этот треугольник III имеет углы соответственно равные углам треугольника I. А мы сейчас доказали, что в таком случае
a/e=c/x=b/y
Нам известно, что a/e=b/f =c/g. Значит,
b/y=c/x=b/f=c/g
Но если
b/y=b/f
то y= f. А из равенства
c/x=c/g
следует, что x = g.
Другими словами: все стороны треугольника
III равны сторонам треугольника II; а так как углы треугольника III
равны углам треугольника I, то и углы треугольника II равны углам
треугольника I. Это и требовалось доказать.
Повторительные вопросы к §§ 64 и 65
Как вы назовете фигуры, имеющие равные
стороны и одинаковую форму? – Равные стороны и неодинаковую форму?
Неравные стороны и одинаковую форму? – Какие стороны многоугольников
называются сходственными? – Покажите, пользуясь чертежом, какие условия
необходимы для подобия двух многоугольников. Покажите, пользуясь
чертежом, какие соотношения существуют в двух подобных треугольниках. –
Какие стороны подобных треугольников называются сходственными? А в каком
случае стороны называются соответственными?
Применения
75. Найти высоту дерева, пользуясь его тенью.
Р е ш е н и е. Где-нибудь возле дерева воткнем отвесно шест MN(черт. 195). Так как лучи солнца параллельны, то уг. Р = уг. С; кроме того, мы знаем, что уг. В и уг. N– прямые. Значит, треугольники ABCи MNPподобны и, следовательно,
AB/MN = BC/NP
откуда неизвестная высота дерева
AB = MN ? BC/NP
Высоту шеста МN и длину теней DС и NPлегко измерить, и тогда вычисляют высоту АВ дерева.
76. В пасмурный день можно пользоваться для определения высоты дерева способом, изображенным на черт. 196. В чем он состоит?
Р е ш е н и е. Наблюдатель помещает шест DE так, чтобы глядя на конец его D видеть его совпадающим с вершиной A. Измеряют DЕ, НЕ и НВ, кроме того, надо знать возвышение GН глаза Gнад почвой. Из подобия треугольников GАС и GDF имеем
AC/DF = DC/GF.
Дальнейшее – понятно без объяснений.
77. На черт. 197 изображен способ определения ширины АВ озера. Прямая CDпровешивается параллельно АВ. Объясните, как найти искомую ширину (АВ) озера.
Р е ш е н и е. Из подобия треугольников ABE и СDE имеем
AB/CD=BE/DE, откуда AB=CD BE/DE
так как длины CD, BE и DE можно измерить, то нетрудно вычислить искомую ширину (АВ) озера.
78. Диаметр Солнца больше диаметра Земли в
109 раз; расстояние от Земли до Солнца 150 000 000 километров.
Определить длину тени, отбрасываемой земным шаром (черт. 198).
Р е ш е н и е. Из подобия треугольников АОЕ и СРЕ (почему они подобны?) имеем
PE/OE = PC/OC
РЕ – есть искомая длина х тени; DE= OP+ РЕ = 150 000 000 км + x; PC– радиус Земли; ОА – радиус Солнца. Мы знаем, что радиус Солнца в 109 раз больше радиуса Земли. Подставив эти величины в пропорцию, имеем
X/150 000 000 = 1/109
или 109х = 150 000 000 + x, откуда
x = 150 000 000/109 = около 1 400 000 км. | 
