Куб может служить примером тел, которые в
математике называются «прямоугольными параллелепипедами». Прямоугольный
параллелепипед, это – тело, имеющее форму прямоугольного ящика или
бруса; оно ограничено 6-ю п р я м о у г о л ь н и к а м и;
противоположные грани его параллельны и равны (черт. 100).
Часто нужно бывает определить, как велик
объем прямоугольного параллелепипеда, – например, узнать вместимость
ящика, «кубатуру» комнаты, объем бруса и т. п. Единицею меры для объемов
служит объем такого куба, ребро которого равно 1 см, 1 м, – вообще
какой-нибудь единице длины («линейной» единице). Такая единица меры
называется «кубическим сантиметром», «кубическим метром» и т. п. – в
зависимости от длины ребра кубической единицы. Подобно тому, как п л о щ
а д ь фигуры можно определить, измерив лишь некоторые линии этой
фигуры, так и объем многих тел возможно вычислить, если измерить
некоторые их линии. Покажем, как это делается для прямоугольного
параллелепипеда.
Пусть требуется определить объем
(кубатуру) комнаты (черт. 101). Измеряем линейным метром длину и ширину
пола: предположим, что длина его 4 м, а ширина 3 м. Мы можем,
следовательно, расчертить пол на 4 3, т. е. на 12 метровых квадратов,
как показывает черт. 102. Измерим теперь высоту комнаты; пусть она равна
3 метрам. Тогда очевидно, что на каждом метровом квадрате пола можно
вообразить себе квадратный столб в 3 метра высоты, т. е. составленный из
3 кубических метров (черт. 103).
Так как всех подобных столбов 12, то в
комнате поместится 12 3 = 36 кубических метров. Мы получили это число
перемножением длины комнаты, ее ширины и высоты (4 3 3).
Итак, чтобы узнать, сколько кубических
метров в комнате, нужно измерить линейным метром ее длину, ширину,
высоту и перемножить эти три числа.
Сказанное относится ко всякому телу в
форме прямоугольного параллелепипеда, – даже если его длина, ширина или
высота содержит дробное число единиц меры. Во всех случаях -
О б ъ е м п р я м о у г о л ь н о г о п а р
а л л ел е п и п е д а р а в е н п р о и з в е д е н и ю е г о д л и н
ы, ш и р и н ы и
в ы с о т ы (или, как говорят, – п р о и з
в е д е н и ю т р е х е г о и з м е р е н и й). Обозначая длину
параллелепипеда через а, ширину – через b, высоту – через с, имеем, что объем v параллелепипеда v = abc.
Так как у куба длина, ширина и высота равны, то
О б ъ е м к у б а р а в е н к у б у е г о р е б р а. Обозначая ребро куба через а, имеем, что объем его V = а ? а ? а = а3.
Отсюда следует, что в кубическом метре 10 ? 10 ? 10 = 1000 куб. дециметров, или 100 ? 100 ? 100 = 1 000 000 куб. сантиметров, или 1000 ? 1000 ? 1000 = 1 000 000 000 куб. миллиметров.
Для измерения весьма больших объемов (например высокой горы) употребляют кубический километр. В кубическом километре 1000 ? 1000 ? 1000 = 1 000 000 000 (миллиард) куб. метров.
Итак:
куб. метр = миллиону куб. см = миллиарду куб. мм.
куб. километр = миллиарду куб. метров.
Сокращенное обозначение кубических мер таково:
куб. метр… куб. м или м3
« дециметр. . . . . куб. дм или дм3
« сантиметр. . . . . куб. см или см3
« миллиметр. . . . . куб. мм или мм3
« километр. . . . . куб. км или км3
Повторительные вопросы
Какое тело называется прямоугольным
параллелепипедом? – Какие у него грани? – Есть ли у него равные ребра? –
Начертите развертку прямоугольного параллелепипеда. – Какие вы знаете
кубические меры? – Как вычисляется объем прямоугольного параллелепипеда?
Объем куба? – Напишите формулу объема этих тел. – Каковы соотношения
между кубическими мерами? Каковы их сокращенные обозначения?
Применения
28. На прямоугольное поле шириною 135 м и
длиною 240 м выпало дождевой воды 3 мм. Сколько куб. метров воды выпало
на все поле?
Р е ш е н и е. Искомый объем равен
135 ? 240 ? 0,003 = 100 куб. м.
29. Прямоугольный бак в 1 м ширины и
140 см длины налит водою. Когда под воду окунулся человек, уровень воды
поднялся на 4 см. Как велик объем тела этого человека?
Р е ш е н и е. Объем тела человека равен 100 ? 140 ? 4 = 60 000 куб. см.
30. Если куб с ребром 1 см представить
себе разделенным на кубики с ребром в 0,1 мм, то во сколько раз общая
поверхность всех этих мелких кубиков будет больше поверхности
первоначального куба?
Р е ш е н и е. Поверхность куба с ребром
1 см равна 6 кв. см = 600 кв. мм. Поверхность кубика с ребром 0,1 мм
равна 6 0,01 = 0,06 кв. мм. Число этих кубиков равно 100 ? 100 ? 100 = 1 000 000. Общая поверхность кубиков будет 0,06 ? 1 000 000 = 60 000 кв. мм, т. е. общая поверхность увеличится в 100 раз. | 
