Шаром называется тело, которое можно
представить себе образовавшимся от вращения полукруга около его диаметра
(черт. 241). Все точки поверхности шара одинаково удалены от одной
точки, называемой ц е н т р о м шара. Прямая, соединяющая центр шара с
какой-нибудь точкой его поверхности, называется радиусом шара. Всякая
прямая, соединяющая две точки его поверхности и проходящая через центр,
называется д и а м е т р о м шара. Чтобы установить правило вычисления
объема шара вообразим, что около полушара (черт. 242) описан цилиндр ABCD. Кроме того, вообразим себе конус, вершина которого в центре шара, а основание – совпадает с верхним основанием цилиндра.
Проведем теперь какую-нибудь плоскость, пересекающую все три тела параллельно основаниям цилиндра; эта плоскость MN(черт. 243) рассечет каждое из трех тел по кругу. Радиус круга, по которому рассечется цилиндр, есть PZ, полушар – PS, а конус – PK. Проведя радиус OSшара, имеем по теореме Пифагора [OS]2= [OP]2+ [PS]2.
Обозначим радиус основания цилиндра через R(он равен радиусу шара); радиус сечения полушара PSчерез h, радиус сечения конуса – через k. Тогда OS= OR= R; OP= PK= k(потому что противолежащие углы = 45°); PS= h. Написанное выше представим в виде
R2= k2+ h2.
Умножив все члены равенства на, имеем
R2= k2+ h2.
Равенство это означает, что площадь сечения нашего цилиндра [R2] равна площади сечения конуса [k2], сложенной с площадью сечения полушара [h2], лежащих в той же плоскости. Это справедливо для любой плоскости, пересекающей наши три тела параллельно основаниям цилиндра.
Представим себе теперь, что мы провели чрезвычайно много таких плоскостей в незначительном расстоянии Н друг
от друга. Назовем эти плоскости номерами: № 1, № 2, № 3 и т. д. Они
разрежут наши три тела на множество весьма тонких слоев, которые можно
принять за цилиндры с высотою H. Для плоскости № 1, № 2, № 3 и т. д. мы будем иметь следующие объемы лежащих на них слоев:
№ 1. . . . . ?R2H = ?k12H + ?h12H
№ 2. . . . . ?R2H = ?k22H + ?h22H
№ 3. . . . . ?R2H = ?k32H + ?h32H
№ 4. . . . . . . . . . . . . . .
Сложив эти равенства почленно, мы получим в сумме первого столбца объем цилиндра Vц; в сумме второго столбца – все слои конуса, т. е. его объем Vк, а в сумме третьего столбца – все слои полушара, т. е. его объем Vпш. Короче говоря, мы устанавливаем, что Vц = Vк + Vпш.
Так как объем цилиндра vц= ?R2? R= ?R3, а объем конуса 1/3?R2? R = 1/3?R3, то полученное сейчас равенство можно представить в виде ?R3= 1/3?R3+ Vпш, откуда объем полушара V = ?R3– 1/3?R3 =2/3?R3, а объем полного шара V = 4/3?R3.
Если бы мы пожелали выразить объем шара через диаметр, следовало бы только в этой формуле заменить R через d/2, где d – диаметр. Получим V = 4/3? d3/8= 1/6?d3
Зная формулу для вычисления объема шара, можно вывести правило вычисления его поверхности.
Для этого вообразим, что шар составлен из большого числа весьма узких пирамид, сходящихся вершинами в центре шара.
Объем одной такой пирамиды равен 1/3
площади ее основания, умноженной на ее высоту. Так как эти пирамиды
чрезвычайно узки (мы можем представить их себе сколь угодно узкими), то
за площадь Sих основания можно принять соответствующий участок а поверхности шара, а за высоту – радиус шара R. Тогда объемы наших пирамид выразятся последовательно через
Сложив объемы всех этих пирамид и вынеси за скобку 1/3 R, получим, что объем V шара равен
v= 1/3R [a1 + a2 + a3 + a4 + и т. д.].
Но то, что в скобках, есть сумма всех участков шаровой поверхности, т. е. полная поверхность Sшара. Значит, v = 1/3RS.
Мы узнали, следовательно, что
о б ъ е м ш а р а р а в е н п р о и з в е д е н и ю т р е т и е г о р а д и у с а н а п о в е р х н о с т ь.
Отсюда выводим, что поверхность шара
S = V:1/3R = 3V/R
А так как мы уже узнали раньше, что v = 4/3?R3, то поверхность шара S = 3 ? 4/3?R3: 4?R2
Другими словами: п о в е р х н о с т ь ш а
р а р а в н а у ч е т в е р е н н о й п л о щ а д и к р у г а т о г о ж
е р а д и у с а.
Повторительные вопросы
Какое тело называется шаром? – Что
называется центром шара, радиусом, диаметром? – Как вычислить
поверхность и объем шара, если известен его радиус? – Если известен его
диаметр? – Как высказать эти соотношения словесно?
Применения
123. Сколько весит оболочка воздушного шара диаметром 15 метров? Кв. м. оболочки весит 300 граммов.
Р е ш е н и е. Поверхность этого шара = 4 ? 1/4 ? ? ? 152 = 710 кв. м, а следрвательно, вес 210 кг.
124. Сколько свинцовых дробинок в 3 мм диаметром идет на 1 кг?
Р е ш е н и е. 1 кг свинца занимает объем
1000/11,3= 88,5 куб. см. Объем одной дробинки = 1/6 ? ? ? 0,33= 0,014
куб. см. Следовательно, на 1 кг идет 88,5/0,014 = 6300 дробинок
указанного диаметра.
125. Диаметр Марса вдвое меньше земного. Во сколько раз поверхность и этой планеты меньше, чем Земли?
Р е ш е н и е. Поверхности шаров
относятся как квадраты диаметров, а объемы, – как кубы диаметров.
Поэтому поверхность Марса меньше земной в 4 раза, а объем меньше земного
в 8 раз.
126. «При обыкновенном дожде вес капель
не превышает 0,065 грамма. Визнер на острове Яве во время сильнейшего
дождя определил средний вес капель в 0,16 грамма» (К л о с со в с к и й,
«Основы метеорологии»). – Определить соответствующие этим данным
поперечники дождевых капель, считая их форму шарообразною.
Р е ш е н и е. 0,065 грамма воды занимают
0,065 куб. сантиметра или 65 куб. миллиметров. Диаметр шара такого
объема получаем из уравнения
1/6 ? ? ? x3=65, где x – диаметр в миллиметрах. Отсюда
Итак, крупная дождевая капля имеет в
ширину полсантиметра. Диаметр самых больших измеренных капель (вес 0,16
грамма) равен 6,7 миллиметра.
127. Яблоко при печении сморщивается. На что это указывает?
Р е ш е н и е. На то, что объем яблока
при печении уменьшается, кожура же сохраняет прежние размеры. Сделаем
примерный расчет: вычислим какой избыток кожуры получается, когда яблоко
диаметром 8 см уменьшается (вследствие потери воды при нагревании) на 4
миллиметра по диаметру. 4? ? 402– 4? ? 382= 4? [402– 382] = 4? ? 78 ? 2
= 2000 кв. мм, или 20 кв. см. Следовательно, общая поверхность всех
морщин печеного яблока, при указанных размерах, равна 20 кв. см. | 
