Проведем через: какую-нибудь точку окружности (черт. 208) перпендикуляр CDк диаметру АВ. Легко видеть, это этот перпендикуляр есть высота, проведенная к гипотенузе треугольника АСВ, так как угол АСВ – прямой (почему?). Поэтому
AD: DC = DC: DB,
или (DC)2= AD: DB;
другими словами:
п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н
н ы й и з к а к о й – н и б у д ь т о ч к и о к р у ж н о с т и к д и а
м е т р у, е с т ь с р е д н е – п р о п о р ц и он а л ь н о е м е ж д
у о т р е з к а м и д и а м е т р а. Этим свойством можно пользоваться,
между прочим, в тех случаях, когда требуется построить к двум данным
отрезкам средне-пропорциональный. Если данные отрезки а и l и требуется найти отрезок х такой длины, чтобы
а : х = х : l,
то откладывают рядом а и l (черт. 209), строят на АС, как на диаметре, полуокружность и из точки В восставляют перпендикуляр до пересечения с окружностью в точке D: отрезок BD = x.
Повторительные вопросы к §§ 71–73
Какое вы знаете соотношение между
катетами и гипотенузой? – Между гипотенузой, катетом и его проекцией на
гипотенузу? – Между высотой, проведенной к гипотенузе, и отрезком
гипотенузы? – Между перпендикуляром, проведенным из точки окружности к
диаметру и отрезками диаметра? – Что значит: найти?
средне-пропорциональное между двумя отрезками? Как это сделать?
Применения
91. Чтобы определить расстояние от точки В (черт. 210) до недоступной точки Aпровешивают прямую BN под прямым углом к направлению АВ и из произвольной точки С этой прямой провешивают CD перпендикулярно к направлению AC? Как, пользуясь этим построением, определить искомое расстояние АВ?
Р е ш е н и е. Надо измерить расстояния ВС и ВD. Расстояние АВ оп-редется из равенства:
(BC)2= AB?BD,
откуда
AB = (BC)2/BD
92. Начертить квадрат, равновеликий данному треугольнику с основанием а высотою h.
Р е ш е н и е. Задача сводится к отысканию стороны квадрата такой длины х, чтобы x2= ?ah, т. е., чтобы a/2: х = х : h.
Отсюда видно, что искомый отрезок средне-пропорциональное между a/2 и h.
93. Найти стрелку h дуги (черт. 211) радиуса R, если длина стягивающей хорды = a.
Р е ш е н и е. Стрелкой дуги называется
прилегающий к ней отрезок радиуса, перпендикулярного к стягивающей ее
хорде, между хордой и дугой.
Половину хорды a/2 можно рассматривать, как перпендикуляр, проведенный из точки окружности к диаметру. Поэтому
(a/2)2h?[2R-h], или: h2-2Rh + a2/4 = 0
Искомую величину стрелки h можно
вычислить из этого квадратного уравнения. Если стрелка, как часто
бывает, весьма мала по сравнению с радиусом круга, то членом h2можно пренебречь, и тогда h приближенно
равно a2/8R. По этой формуле вычисляют, например, стрелку дуги
железнодорожного закругления, радиус которого достигает 1000 метров и
больше, стрелка же не превышает нескольких, метров.
Сходным образом решается и обратная
задача: вычисление радиуса закругления по длине хорды и стрелки, как
видно из следующего примера.
94. Вычислить радиус кривизны часового стекла, поперечник которого 60 мм, а стрелка дуги – 3 мм.
Р е ш е н и е. Подставив значения aи hв уравнение, выведенное в предыдущем примере:
h2-2Rh + a2/4 = 0
получаем
0,32-2R?0,3 + 9 = 0.
Отсюда R = около 6 см. | 
