Задачи теории вероятностей могут быть достаточно сложными, даже несмотря на относительную простоту формулировки (какова вероятность того, что в выигрышной комбинации национальной лотереи встретятся два последовательных числа?). Интерес представляют необычные вероятности, которые часто противоречат тому, что подсказывает нам интуиция. В то же время сложные задачи нетрудно решить, применив немного воображения. Рассмотрим несколько примеров.

Ложноположительные результаты обследования

При медицинском осмотре у человека нашли заболевание, которое встречается всего у 1 % населения. В 5 % случаев результат обследования является ложноположительным (обследование показывает, что человек болен, когда в действительности он здоров). Какова вероятность того, что этот человек действительно болен?

Вы можете подумать, что ответ — 95 %, но это неверно. Истинная вероятность намного меньше. Из каждой 1000 результатов 50 являются ложноположительными (5 %), 1 — истинно положительным. На каждый 51 положительный результат приходится лишь один истинно положительный. Значит, вероятность того, что пациент действительно болен, равна всего 1/51, то есть немного меньше 2 %.

Задача о днях рождения

В группе 30 студентов. Какова вероятность того, что два студента или более отмечают день рождения в один и тот же день?

Многие считают, что эта вероятность невелика, но в действительности она не настолько мала, как может показаться. Сначала нужно вычислить вероятность того, что два человека родились в разные дни. Первый из них может родиться в любой день года (365 благоприятных исходов из 365 возможных), второй может родиться в любой день за исключением того дня, в который родился первый (364 благоприятных исхода из 365 возможных):

Аналогично можно вычислить вероятность того, что три человека родились в разные дни:

Вероятность того, что все 30 студентов родились в разные дни, будет равна:

Существует всего два возможных случая: либо все студенты родились в разные дни, либо минимум двое из них родились в один и тот же день. Следовательно, вероятность того, что как минимум два студента празднуют день рождения в один и тот же день, равна

* * *

СОВПАДАЮЩИЕ ДНИ РОЖДЕНИЯ

Это может показаться удивительным, но вероятность того, что в группе из 23 человек двое или более отмечают день рождения в один и тот же день, немного больше 50 % (вероятность равна 50,7 %). Если приведенные рассуждения кажутся вам неубедительными, рассмотрим разные группы из 23 человек. Проблема заключается в том, как найти такие группы людей и узнать дату рождения каждого из них. Тем не менее эту проблему можно решить.

На футбольном поле одновременно находятся 23 человека (11 + 11 + 1 судья). Стартовые составы команд и даты рождения всех игроков нетрудно найти в Интернете. Сказано — сделано.

Рассмотрим матчи первого тура первого дивизиона чемпионата Испании по футболу 2010 года (матчи игрались 3 января). Из 10 матчей в 5 на поле выходили игроки, отмечающие день рождения в один и тот же день, а именно:

Однако не стоит думать, что если вероятность равна 50 %, то на 10 исходов обязательно будет приходиться 5 благоприятных, ведь при 10 бросках монеты решка необязательно выпадает 5 раз. Вероятности таковы:

* * *

В группе из 30 человек двое или больше родились в один день с вероятностью порядка 70 %. В группе из 23 человек эта вероятность несколько больше 30 %, в группе из 40 человек она составляет порядка 89 %.

Вероятность того, что в группе людей два человека или более родились в один день, зависит от размера группы.

Возможен и другой вариант этой задачи, обратный исходному: какова вероятность того, что в группе из 30 человек два человека или более умрут в один день (но необязательно в один и тот же год)?

Выигрышная комбинация выпадает дважды

Рассмотрим еще один удивительный пример из теории вероятностей. Один человек всю взрослую жизнь (допустим, 30 лет) играет в лотерею. Если каждую неделю разыгрывается два тиража, какова вероятность того, что за этот период одна и та же выигрышная комбинация выпадет больше одного раза?

Существует множество различных лотерей, но, как правило, выбираются 6 чисел от 1 до 49. Число возможных комбинаций в тираже равно 13 983 816 (это число сочетаний из 49 по 6), и лишь одна является выигрышной.

Допустим, что этот человек играет 100 раз в год, 3000 раз на протяжении всей жизни. Задача аналогична задаче о днях рождения, только в этом случае в «году» 13983816 дней, а группа состоит из 3000 человек, каждый из которых родился в один из этих дней. Какова вероятность того, что два человека или более родились в один и тот же день? Применив формулы из предыдущей задачи (здесь нам не обойтись без электронных таблиц), получим, что искомая вероятность равна 59 %. Поэтому неудивительно, если за этот период одна и та же выигрышная комбинация действительно выпадет дважды.

Последовательные числа в билетах национальной лотереи

В завершение этого раздела попробуем ответить на вопрос, которым вы наверняка задавались. Какова вероятность того, что в выигрышной комбинации лотереи выпадут два последовательных числа?

Она намного выше, чем может показаться, и равна 49,5 %. Вычислить точное значение с помощью формул комбинаторики не так-то просто, но порядок этой величины можно оценить с помощью Excel.

Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Расположить числа от 1 до 49 в столбце А.

2. Поместить случайные числа в столбец В.

3. Упорядочить столбец В, после чего порядок чисел в столбце А также изменится.

4. Числа в столбце А упорядочены случайным образом. Скопируйте первые шесть значений в столбец С. Эти числа составят выигрышную комбинацию.

5. В столбец D поместите 15 абсолютных значений разницы между числами выигрышной комбинации. В столбце F на следующем рисунке представлены формулы, по которым рассчитываются значения в столбце D.

6. В первую строчку столбца Е поместите наименьшее значение из столбца D. Если это значение равно 1, это означает, что выигрышная комбинация содержит последовательные числа.

Выполнив эти действия, измените порядок чисел в столбце В, что снова повлечет изменение порядка чисел в столбце А. Результатом будет новая выигрышная комбинация, и все остальные числа пересчитаются автоматически. Excel удобен тем, что можно выполнить все необходимые действия один раз, а затем нажать клавишу F4, и все действия выполнятся заново. Можно проверить, что число 1 встретится в столбце Е примерно в половине случаев.

Если вам знаком какой-либо язык программирования, вы можете написать небольшую программу для симуляции розыгрыша лотереи и подсчитать, сколько раз выпадут последовательные числа.

Также можно обратиться к результатам прошлых тиражей. Результаты испанской национальной лотереи опубликованы на странице Государственной организации лотерей (www.onlae.es). Начиная с первого розыгрыша, о котором имеются данные, прошедшего 17 октября 1985 года, до 31 декабря 2009 года было проведено 2245 тиражей, в 1148 из которых (50,14 %) в выигрышной комбинации встречаются последовательные числа.

Последний аккорд: 22 августа 2002 года выигрышной комбинацией была последовательность 13, 21, 24, 26, 32 и 34. 10 декабря 2009 года… точно такая же! Это не так уж удивительно — вероятность подобного совпадения в 2245 тиражах равна 16,5 %.