Четверг, 24.09.2020, 07:51
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Статистика

Онлайн всего: 2
Гостей: 2
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ

Число π в Китае
19.01.2016, 13:38

Китайцы разработали алгоритмы для вычисления числа π. Великий математик Лю Хуэй, живший около 300 года во времена царства Вэй, возникшего после распада империи Хань, первым создал метод вычисления числа π. Живший до него ученый и изобретатель Чжан Хэн (78—139), который создал прибор для определения землетрясений за 1700 лет до появления первого сейсмографа, получил приближенное значение π, равное 3,1724. Также использовались значения 3,162 (корень из 10) и 3,156. В III веке астроном Вань Фань, живший в царстве У, использовал последнее значение, равное дроби 142/45.

Первый метод, использованный Лю Хуэем для нахождения приближенного значения π, заключался в бисекции многоугольников. С помощью многоугольника с 96 сторонами он вычислил, что π лежит в интервале между 3,141024 и 3,142708. Он использовал приближенное значение, равное 157/50, так как считал значение 3,14 достаточно точным.



Китайские марки, посвященные ученым Лю Хуэю (слева) и Чжану Хэну (справа).


Лю Хуэй использовал шестиугольник со стороной L, вписанный в окружность. Далее число сторон многоугольника последовательно удваивалось. Иными словами, сначала рассматривался шестиугольник, затем 12-угольник, далее — 24-угольник (24 = 12·2), 48-угольник (48 = 24·2) и так далее. На каждом шаге Лю Хуэй вычислял площадь многоугольника с N сторонами и длину стороны многоугольника с числом сторон, равным 2N.

Будем обозначать за l длину стороны многоугольника с 2сторонами. Используем теорему Пифагора: для данного прямоугольного треугольника с гипотенузой h и двумя катетами длиной с1 и с2 выполняется равенство h2 = с12 + с22.



Вычисление длины стороны l по известному значению L, где L — длина стороны шестиугольника, — длина стороны 12-угольника,

О — центр окружности, А и В — две вершины шестиугольника, С — новая вершина, Р — точка на стороне шестиугольника, равноудаленная от А и В. Радиус окружности равен r, расстояние от центра до Р равно R.


На рисунке обозначены центр окружности О и сторона шестиугольника (длиной L). Ее концы обозначены А и В. Точки ОАВ определяют треугольник. Далее вычисления выполняются следующим образом.

Шаг 0. Будем рассматривать многоугольник с N = 6 сторонами, длина его стороны L известна.

Шаг 1. Разделим сторону АВ на две равные части. Обозначим середину стороны АВ точкой Р.

Шаг 2. Вычислим длину отрезка ОР и обозначим ее длину за R. Для этого применим теорему Пифагора. Нам известно, что гипотенуза треугольника ОАР равна r, один из катетов равен L/2, длина другого, которую мы хотим вычислить, равна R. По теореме Пифагора г2 = R2 + (L/2)2. Отсюда имеем R2 = r2 — (L/2)2, следовательно


Шаг 3. Рассмотрим радиус окружности, который проходит через точку Р. Точка пересечения этого радиуса и окружности будет вершиной многоугольника с 2N сторонами. Обозначим эту точку С. Зная R, мы можем вычислить длину отрезка PC. Обозначим ее за р. Так как длина ОС равна r, длина PC равна


Шаг 4. Длину отрезка АС можно определить по теореме Пифагора. Как мы уже говорили, будем обозначать длину этого отрезка за l. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике гипотенуза равна l, катеты — L/2 и р. Следовательно,


Шаг 5. Выразив l из последнего равенства, получим длину многоугольника с 2N сторонами:


Шаг 6. Площадь многоугольника с N сторонами можно вычислить на основе площади треугольника ОАВ. Площадь многоугольника будет в N раз больше площади этого треугольника. Площадь треугольника ОАВ, очевидно, равна половине произведения его основания на высоту. Длина основания АВ равна L, высота равна R (это значение мы уже вычислили). Следовательно, площадь многоугольника равна

N·площадь треугольника ОАВ = N·(L·R)/2.


Шаг 7. Далее нужно вернуться к шагу 2 и принять N = 2N, L = l. Чтобы определить значение π, нужно учесть, что площадь круга равна π·r2. Следовательно, для r = 10 площадь круга равна π·100.

Если начать с r = 10 (в этом случае L = 10), с помощью вышеприведенного алгоритма мы получим значения площадей, представленные в таблице ниже. В этой таблице используется современная нотация, Лю Хуэй в своих расчетах применял дроби. Он заметил, что для данного многоугольника с 2N сторонами длиной l, построенного на основе многоугольника с сторонами длиной L, площадь круга (обозначим ее за С) удовлетворяет следующему неравенству:

площадь (2N) < С < площадь (2N) + избыток.

Избыток в этом неравенстве соответствует 2N треугольникам площадью р·(L/2)/2. Напомним, что рr — R. Получим значение избытка, равное 2·N·(р·(L/2))/2. Эти значения также приведены в таблице. Разница между площадью 96-угольника и 192-угольника очень мала, поэтому Лю Хуэй счел π = 3,14 достаточно точным.



Лю Хуэй заметил, что между последовательными избытками наблюдается определенное соотношение. В частности, он установил, что отношение между данным и следующим избытком примерно равно 1/4 = 0,25. Эти отношения представлены в таблице ниже. Используя это отношение, он вычислил приближенное значение площади 3072-угольника и с его помощью получил более точную оценку числа π.

В качестве примера рассмотрим, как Лю Хуэй определил площадь 384-угольника на основе последнего значения площади, вычисленного им напрямую, — площади 192-угольника. Площадь 192-угольника равна 314,10318, избыток площади этого многоугольника по отношению к предыдущему равен 0,16816857. Далее Лю Хуэй вычислил разницу площадей 192-угольника и 384-угольника. Она составила 0,16816857·(1/4) = 0,042042144. Следовательно, площадь 384-угольника равна:

314,10318 + 0,16816857·0,25 = 314,14523.

Реальный избыток площади равен 0,042062752, площадь многоугольника равна 314,14526.

С помощью этого способа Лю Хуэй вычислил площадь 3072-угольника и получил приближенное значение π, равное 3927/1250 = 3,14159.



В 480 году этот метод был пересмотрен математиком и астрономом Цзу Чунчжи (429–500), жившим во времена династии Ци. Использовав многоугольник с 12288 = 3·212 сторонами, он определил, что π заключено между следующими значениями: 3,1415926 < π < 3,1415927. Он представил результат так:

π ~= 355/113. В течение 900 лет эта оценка оставалась наиболее точной.

Категория: АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ | Добавил: admin | Теги: ИТК и мате, Мир Математики, искусственный интеллект, машинное обучение, популярная математик, математика и информатик, дидактический материал по матем
Просмотров: 549 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2020
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru