Развитие аппаратного обеспечения в течение XX века позволило вычислить τ с более высокой точностью. В настоящее время известно более триллиона знаков этого числа. Последний результат содержит почти 2,7 триллиона знаков после запятой, то есть 2,7·10¹² знаков.

До появления компьютеров наилучших результатов добился англичанин Д. Фергюсон, который исключительно с помощью калькулятора вычислил свыше тысячи знаков: 620 знаков в 1946 году, 808 — в 1947-м, 1120 — в 1949-м (совместно с Джоном Ренчем).

Джон Ренч в том же году впервые в истории вычислил приближенное значение τ с помощью компьютера. По инициативе Джона фон Неймана расчеты производились на компьютере ENIAC. Спустя 70 часов вычислений было получено 2037 знаков Я. Пять лет спустя, в 1954 году, Николсон и Джинель превзошли этот результат, вычислив 3092 знака Я всего за 13 минут с помощью IBM NORC — самого мощного компьютера того времени. В 1959 году, опять же спустя пять лет, на IBM 704, первом массовом компьютере, где была реализована арифметика с плавающей запятой, за 4,3 часа было вычислено 16167 знаков. Расчеты произвел Франсуа Женюи в Париже. Вскоре пал рубеж в 100000 знаков: его преодолели Дэниел Шенке и Джон Ренч в 1961 году с помощью нового компьютера IBM 7090, в котором вместо электронных ламп использовались транзисторы, что позволило в шесть раз увеличить скорость расчетов по сравнению с его предшественниками. 100265 знаков были вычислены за 8,7 часа.

Джин Гийу в 1966 году установил новый рекорд, вычислив 250 000 знаков за 41 час 55 минут. Он же в 1967 году получил 500 000 знаков за 28 часов 10 минут.

Впечатляющий показатель в миллион знаков был достигнут усилиями Джина Гийу и Мартина Буйе в 1973 году. Они использовали компьютер CDC 7600 компании Control Data Corporation — конкурента IBM на рынке компьютеров второго поколения (в них использовались транзисторы), которые выпускались в 1960-е. За 23 часа 18 минут было вычислено 1001250 знаков 71.

В 1980-е главную роль играли японцы Ясумаса Канада и Казунори Миёши: в 1981 году им удалось преодолеть отметку в 2 миллиона знаков за 137 часов, в 1982-м — 8 миллионов за 6 часов 52 минуты, в 1983-м — 16 миллионов менее чем за 30 часов, в 1987-м на японском компьютере NEC SX-2 им удалось вычислить 100 миллионов знаков за 35 часов 15 минут. В 1989 году Григорий Чудновский, который считается одним из лучших среди ныне живущих математиков, и его брат Давид вычислили свыше миллиарда знаков 71 на компьютере IBM 3090.

Отметку в триллион знаков преодолел Ясумаса Канада и возглавляемая им группа, которая использовала компьютер HITACHI SR8000/MPP. Этот рекорд был установлен в Токио в декабре 2002 года. Для вычисления 1241100000000 знаков потребовалось 600 часов, то есть 25 суток вычислений, что соответствует скорости 574583 знака в секунду. В апреле 2009 года японец Дайсуке Такахаши из университета Цукуба вычислил более 2 триллионов знаков за 29,09 часа. Нынешний рекорд, который составляет почти 2,7 триллиона знаков, удерживает французский программист Фабрис Беллар, который использовал обычный персональный компьютер под управлением операционной системы Linux. На выполнение расчетов ему потребовался 131 день.

Большинство этих результатов были получены благодаря открытиям удивительного и загадочного индийского математика Сринивасы Рамануджана (1887–1920). Один из полученных им рядов, опубликованный в 1914 году, дает 8 новых знаков π на каждый член ряда. Этот ряд записывается так:

На основе результатов, полученных Рамануджаном, были найдены ряды, которые сходятся еще быстрее и позволяют получить несколько верных знаков числа π для каждого члена ряда. Братья Джонатан и Питер Борвейн, канадцы шотландского происхождения, открыли ряд, каждый член которого дает 31 новый знак π.

Остальные результаты, среди которых выделяются достижения Ясумасы Канады, получены с помощью формулы Карла Фридриха Гаусса (1777–1855), в которой устанавливается связь между числом π и средним арифметико-геометрическим. Формула Гаусса записывается следующим образом:

В этой формуле MAG (а, Ь) — это среднее арифметико-геометрическое чисел а и Ь.

Равенства, недавно полученные Дэвидом Бэйли, Питером Борвейном и Саймоном Плуффом, представляют собой наиболее интересные выражения, связанные с числом π. В 1997 году эти исследователи опубликовали ряд формул, которые позволяют вычислить любой знак двоичной записи π без необходимости вычислять предшествующие ему знаки. Эти же формулы, очевидно, можно использовать для расчета знаков π в любой системе счисления по основанию, кратному двум, в частности в шестнадцатеричной системе счисления. Авторы подтвердили корректность своего метода, вычислив миллионный, 10-миллионный, 100-миллионный, миллиардный и 10-миллиардный знаки шестнадцатеричной записи π. В результате были получены следующие шестнадцатеричные числа.

* * *

* * *

Одна из формул, предложенных Бэйли, Борвейном и Плуффом записывается так:

* * *

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

В десятичной системе счисления, как следует из ее названия, используется десять различных цифр. Они записываются в привычном нам виде: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

В двоичной системе счисления используются всего две цифры — 0 и 1. В шестнадцатеричной системе используется 16 цифр. Чаще всего они записываются так: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F. Символ А соответствует значению 10 в десятичной системе счисления, В — 11, С — 12, D — 13, Е — 14, F — 15.

Двоичная и шестнадцатеричная система тесно связаны между собой, так как 16 кратно 2 и перейти от одной из этих систем к другой очень просто.

Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, нужно сгруппировать биты по 4, и каждой группе будет соответствовать одна шестнадцатеричная цифра. Чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, нужно заменить каждую из шестнадцатеричных цифр на четыре двоичных цифры по следующим правилам:

* * *

Сомножитель 1/16ⁿ  позволяет находить с помощью этого выражения знаки двоичной записи π. Еще одна из предложенных ими формул выглядит так:

Расчеты знаков Я велись на протяжении нескольких тысяч лет, и в них участвовали наиболее выдающиеся умы в истории человечества. В настоящее время благодаря компьютерам число известных знаков π превышает несколько триллионов, однако для большинства вычислений достаточно всего нескольких знаков.

В статье, опубликованной в специализированном журнале в 1984 году, братья Борвейн констатировали удивительный факт, не углубляясь в анализ его причин: