Методы вычислений развивались на протяжении многих тысяч лет.

Этот процесс изначально проходил очень медленно, и ему предшествовало развитие систем счисления. Подобно многим другим проявлениям культуры, вычисления и системы счисления возникли в разных частях Земли. Изначально они не были связаны между собой, но затем широко распространились и оказали взаимное влияние друг на друга. Различные системы счисления были известны в Месопотамии, Древнем Египте, Древней Греции, Риме, Индии и других государствах. Им на смену пришли арабские цифры и позиционная система счисления, появление которой произвело переворот, сравнимый с тем, что произвела теория Коперника в астрономии.

Цифры и системы счисления появились в древности. У разных культур они различались, а где-то, например у амазонского народа пирахан, цифры отсутствовали вовсе.

Старейшие свидетельства использования чисел — кости с отметками, найденные на археологических раскопках. Древнейшая из подобных находок — кость бабуина, обнаруженная в горах Лебомбо африканского государства Свазиленд во время раскопок в 1973 году, возраст которой оценивается в 35 000 лет. На этой кости нанесено 29 отметок. Считается, что она использовалась для подсчета фаз луны; возможно также, что она применялась в качестве календаря менструального цикла. Эта кость напоминает палочки, которые и поныне в ходу у бушменов Намибии.

Другое примечательное свидетельство — волчья кость, найденная в 1937 году в Вестонице (Моравия). На эту кость нанесено 55 отметок, объединенных в пять групп по пять отметок. После отметки под номером 25 нанесена одна дополнительная. Эта кость является артефактом ориньякской культуры, а ее возраст — порядка 30000 лет. Поблизости от нее была найдена голова мраморной статуи Венеры.

Следующий выдающийся экземпляр — так называемая кость Ишанго, найденная в Конго в 1960 году, возраст которой оценивается не менее чем в 20000 лет.

Кость Ишанго, одно из древнейших доказательств использования чисел, хранится в Королевском институте естественных наук в Бельгии.

Существует две теории, описывающие происхождение чисел, которые также объясняют, какие числа появились первыми — количественные (один, два, три) или порядковые (первый, второй, третий). Согласно более популярной теории, числа возникли потому, что требовалось подсчитывать предметы, поэтому сначала появились количественные числа, а затем — порядковые.

Сторонники второй теории полагают, что числа возникли в ритуалах. В церемониях участники должны были располагаться в определенном порядке; поэтому сначала появились порядковые числа, а затем количественные. Последняя теория утверждает, что числа возникли в конкретном географическом регионе, откуда распространились по миру. В ней же целые числа делятся на четные и нечетные: нечетные считаются мужскими, четные — женскими. Эта классификация сегодня встречается во многих мировых культурах.

Использование десяти цифр и системы счисления по основанию 10 для представителей современной западной цивилизации кажется крайне логичным и естественным. Нам сложно представить, что эта система была известна не во всем мире.

Однако факты неоспоримы: например, исследования нескольких сотен племен американских индейцев показывают, что они использовали совершенно разные системы счисления, некоторые из которых применялись чаще других. Почти в трети племен была принята десятичная система, однако почти столько же индейцев использовали пятеричную систему (в некоторых случаях пятерично-десятичную). В оставшейся трети племен применялась преимущественно двоичная система (свыше 20 %), затем — двадцатеричная (10 %) и троичная (1 %).

* * *

* * *

С другой стороны, в поисках доказательств существования разных систем счисления совершенно не обязательно изучать далекие племена. В индоевропейских языках слово, означающее «восемь», происходит от слова, означающего «четыре», а латинское слово novem, означающее «девять», по-видимому, происходит от novus — «новый», что опять-таки указывает на использование систем счисления с основанием 4 и 8. Остатки двадцатеричной системы счисления прослеживаются в словах языка басков hogei, berrogei, hirurogei и laurogei, которые означают 20, 40, 60 и 80, в буквальном переводе — 20, 2·20, 3·20, 4·20, а также во французском слове «восемьдесят» — quatre-vingt. Аналогично в английском языке, где используется десятичная система счисления, можно заметить артефакты древности: eleven («одиннадцать») и twelve («двенадцать») происходят от one left — «остался один» и two left — «осталось два» (в том смысле, что они «остались» после 10).

* * *

ПРОИСХОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИКИ

Спор о происхождении математики столь же древний, как и сама математика. 06 этой теме много размышляли Геродот и Аристотель. Первый считал, что геометрия возникла в Египте для разделения земель после ежегодных разливов Нила, следовательно, ее появление было вызвано практической необходимостью. Второй, напротив, полагал, что математика была создана жрецами в свободное от богослужений время. По его мнению, математика возникла как умственная деятельность, лишенная практического интереса.

Ежегодные разливы Нила (на фотографии — Нил, протекающий через Луксор) и необходимость восстанавливать границы земельных участков стали причинами возникновения математики, по мнению греческого историка Геродота, жившего в V веке до н. э.

* * *

Может показаться, что большие числа появились лишь недавно, а в античных текстах и записях упоминаются лишь сравнительно малые числа, но это совершенно не так. В Оксфордском университете хранится египетский папирус, возраст которого составляет около 5000 лет, с записью о победе фараона Нармера над ливанцами к западу от дельты Нила. В папирусе указано, что египтяне увели 120000 пленных, 400000 волов и 1422000 коз. Сотни тысяч и миллионы также упоминаются в древнеегипетской «Книге мертвых».

Папирус из «Книги мертвых»— сборника религиозных текстов, в котором упоминаются большие числа.

Хотя числа были известны в большинстве культур (пусть и различных систем счисления), дроби практически нигде не использовались. Египтяне рассматривали исключительно дроби вида 1/n; вавилоняне, которые располагали инструментарием, близким к современному, опирались на шестидесятеричную систему (по основанию 60).

Десятичная система, которая в наше время используется для записи дробей, — современное изобретение. В XVI веке математик Симон Стевин опубликовал небольшой труд, в котором изложил, как следует использовать десятичную систему.

Вычисления и вычислительная техника во все времена развивались параллельно с развитием технологий и систем счисления. Применение папируса оказало непосредственное влияние на исчисление и счет в Древнем Египте: система счисления была изменена так, чтобы ее легко было использовать в расчетах на папирусе.

Римская система счисления, напротив, была очень неудобна при записях на бумаге, поэтому для расчетов в этой системе счисления широко использовался абак.

Страница из книги Симона Стевина De Thiende («Десятая»), опубликованной в 1585 году, в которой предлагается новая система обозначений для записи десятичных чисел.

Область, охватывающая долины рек Тигр и Евфрат на территории современного Ирака, была известна в Древней Греции под названием Месопотамия, что в дословном переводе означало «междуречье». Благодаря расположению между двух полноводных рек регион отличался плодородной почвой. Именно в этом районе образовалась одна из древнейших цивилизаций в истории человечества. Примерно в 3000 году до н. э. в Междуречье возникла письменность, ставшая отражением культуры шумеров. Первые знаки этой письменности представляли собой пиктограммы, графические обозначения предметов, на смену которым позднее пришла клинопись. И вновь причиной изменений стали технологии: новая письменность возникла благодаря появлению новых материалов.

Знаки клинописи записывались на табличках из сырой глины. Изначально знаки наносились палочками из тростника, позднее — клиновидными деревянными палочками (отсюда и название). Эту письменность можно подробно изучить, так как, к счастью, многие таблички прекрасно сохранились. До наших дней дошло примерно 400 000 глиняных табличек из Месопотамии, которые хранятся в музеях всего мира. 400 из них содержат информацию, имеющую отношение к математике. Древнейшие из этих табличек были найдены в городе Урук.

Пример клинописи на шумерской глиняной табличке, датируемой 2600 годом до н. э. На табличке записан договор купли-продажи дома и прилежащего участка.

* * *

ГОРОД-ГОСУДАРСТВО УРУК

Урук, древний город Месопотамии, располагался в долине реки Евфрат всего в 225 километрах от современного Багдада. В период наибольшего расцвета в III тысячелетии до н. э. он был крупнейшим городом мира. В шумерской традиции этот город считался местом рождения Гильгамеша — героя одной из древнейших саг в истории. Кроме этого, Урук называют родиной счета и бухгалтерии. Некоторые ученые полагают, что современное название государства Ирак происходит от шумерского «Урук», однако эта теория крайне противоречива.

Археологический центр Урука — города, где предположительно возникли бухгалтерия и счет.

* * *

Система счисления, созданная в Месопотамии, использовалась достаточно долго, так как распространилась за пределы шумерской культуры. Народы, переселявшиеся в Месопотамию, становились рабами местных жителей, но впитывали их культуру, что в достаточной степени доказывает ее превосходство.

Символы клинописи для обозначения чисел.

В Вавилонии использовалась шестидесятеричная система счисления, то есть система счисления по основанию 60, в которой каждая цифра соответствовала числу от 0 до 59. Эта система счисления была позиционной: значение одного и того же символа в ней отличалось в зависимости от того, на каком месте он находился. В случае с шестидесятеричной системой значение каждого символа умножалось на 60 в соответствующей степени. Чтобы проиллюстрировать принцип этой системы счисления, рассмотрим в качестве примера число, состоящее из трех шестидесятеричных цифр: (3, 3, 3). В этом числе значение, соответствующее цифре 3, зависит от ее положения. Первая слева цифра 3 соответствует значению 3·60·60, вторая цифра 3 соответствует значению 3·60, третья — значению 3. Следовательно, в десятичной системе счисления это число будет записываться так: 3·60·60 + 3·60 + 3 = 10983.

Названия вавилонских чисел.

Существует несколько теорий, объясняющих происхождение этой системы счисления. Георг Кевич, исследователь ассирийской цивилизации, в 1904 году опубликовал свое доказательство того, что шести десятеричная система счисления является результатом смешения двух предшествующих систем: по основанию 6 и по основанию 10. Однако Джордж Ифра, более поздний труд которого «Всеобщая история чисел» считается классическим, полагает, что гипотеза о системе счисления по основанию 6 не подкреплена фактами, так как эта система почти не использовалась. Согласно его теории, шести десятеричная система воз¬ никла в результате смешивания системы по основанию 12 и системы по основанию 5. Существуют документальные подтверждения тому, что использовались обе эти системы. Если внимательно рассмотреть шумерские числа от 1 до 10, создается впечатление, что в названиях чисел 6, 7 и 9 скрыты следы системы счисления по основанию 5.

Обложка английского издания монументальной «Всеобщей истории чисел», автором которой является историк математики Джордж Ифра.

Следующая таблица взята из «Всеобщей истории чисел». Заметим, что иа — шумерское слово, означающее «пять», используется как основание для представления других чисел путем сложения. Так, шумерское число 6 звучит как иа-хеш, где иа — 5, хеш — 1. Следовательно, на языке шумеров 6 выражалось составным словом «пять-один», что наводит на мысль об использовании пятеричной системы счисления.

Вавилонская система счисления была очень гибкой. Тройка (a, b, с) могла обозначать как а·60² + b·60 + с, так и другое число, в котором используются три последовательные степени числа 60, например а + b·60^-1 + с·60^-2. Так как с помощью отрицательных степеней можно представить дроби, в последнем случае число (1, 2, 3) соответствует числу 1 + 2/60 + 3/(60·60). Следовательно, с помощью этой системы счисления можно представлять дроби с очень большой точностью.

* * *

ПРИМЕТЫ ДРЕВНОСТИ

Возможно, читатель уже обратил внимание, что шестидесятеричная система счисления вовсе не похоронена в песках Ближнего Востока, а присутствует в нашей повседневной жизни, поскольку мы используем ее ежедневно и даже ежеминутно, когда смотрим на часы. При отсчете времени мы используем систему счисления по основанию 60. Вавилоняне делили сутки на 24 часа, час — на 60 минут, минуту — на 60 секунд. Аналогичная система используется и при измерении углов. Она также была введена вавилонянами и сохранилась до наших дней.

Астрономические часы в итальянском городе Брешиа.

* * *

Однако позиционная система счисления обладает одним недостатком: в ней нужно как-то представить отсутствие значения. В эпоху, когда ноль был неизвестен, устранить это неудобство было не так-то просто. Для обозначения разряда, не содержащего значение, вавилоняне использовали определенный символ. Позднее, примерно в 130 году в Александрии Птолемей использовал для этих целей омикрон — пятнадцатую букву греческого алфавита, внешне напоминающую современную букву О.

В вавилонской системе счисления сохранились связи с пиктографическим письмом, которое бытовало в прошлом и повлияло на внешний облик символов для обозначения цифр. В Вавилоне существовали архаичные и примитивные, но очень эффективные счетные машины. Принцип их действия базировался на размещении в определенном порядке различных предметов, соответствовавших величинам: один предмет обозначал единицу, другой — десяток, третий — шестьдесят и так далее.

Таким образом можно было совершать сравнительно сложные вычисления, достаточные для практических нужд. Судя по всему, символы первой письменной нотации напоминали очертания этих предметов.

Эта теория подтверждается различными открытиями. С начала раскопок дворца Нузи в 1896 году в 90 километрах от Тигра, вблизи современного иракского города Киркук было найдено 5000 клинописных табличек XV и XIV века до н. э. и 200 более древних — XXIV и XXIII века до н. э. Во дворце также был найден глиняный сосуд яйцевидной формы, внутри которого находился ряд одинаковых фигур сферической формы. На сосуде была сделана надпись, обозначавшая количество голов скота.

Знаменитая табличка Плимптон 322, созданная в период с 1824 по 1784 год до н. э., содержит ряд чисел в шестидесятеричной системе счисления, записанных в четыре столбца.

Ровно столько же глиняных фигурок находилось внутри сосуда. В Сузах, городе, который располагался на территории современного Ирана и считается одним из старейших городов мира, были найдены глиняные сосуды с надписями, внутри которых находились различные диски, конусы, шарики и палочки. Когда значение надписей было расшифровано, стало понятно, что они соответствуют определенным числам.

Вавилонская система исчисления была очень развитой. В этом можно убедиться на примере множества табличек, где записана различная информация, связанная с математикой. На многих из них изображены таблицы с числами. Были найдены таблицы умножения, возведения в квадрат и куб, а также таблицы обратных чисел. В некоторых таблицах обратных чисел отсутствуют обратные числа для 7 и 11, которые в системе счисления по основанию 60 записываются бесконечным числом знаков. В других таблицах приводятся приближенные значения этих чисел, большие или меньшие истинных значений. На некоторых были записаны таблицы квадратных корней и степеней чисел. Считается, что таблицы степеней использовались для расчетов логарифмов. Если в таблице не приводилось число, обратное заданному, оно вычислялось с помощью линейной интерполяции чисел, содержащихся в таблице.

Далее приведена таблица умножения на 9, записанная на глиняной табличке, найденной в Ниппуре, которая в настоящее время хранится в Иенском университете. Числа, зафиксированные на табличке, перевела в современную систему счисления историк математики и науки Кристин Пруст. Эта таблица обладает интересными свойствами.

Например, число (1,3), соответствующее умножению 9·7, понимается как 1·60 + 3 = 63; число (7, 30), которому соответствует 9·50, понимается как 7·60 + 30 = 420 + 30 = 450.

В следующем примере, также адаптированном госпожой Пруст, приведена таблица обратных чисел с еще одной таблички, найденной в Ниппуре. В этой таблице 20 означает 20·60^-1 = 20/60 = 1/3.

Для вычисления квадратного корня вавилоняне использовали алгоритмический метод, известный в наше время как метод бисекции. Его авторство приписывается многим философам и математикам, среди которых Архит Тарентский и Герон Александрийский. Этот метод также упоминается как метод Ньютона, однако достоверно известно, что его использовали вавилоняне.

Для данного числа N, из которого мы хотим извлечь квадратный корень, находится два приближенных значения а₁ и Ь₁ квадрат одного из которых больше N, другого — меньше. Далее рассчитывается значение а₂ = (a₁ + b₁)/2, после чего его квадрат сравнивается с N. Если он больше N, то а₂ заменяет прежнее значение, большее N. Если же он меньше N, а₂  заменяет меньшее из значений. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено число, квадрат которого точно или с достаточной точностью равен N.

Вавилоняне также умели решать системы уравнений и уравнения второй степени с вещественными корнями. Эти задачи упоминаются в текстах, датируемых примерно 2000 годом до н. э. «Протоматематики» Вавилонии также умели решать некоторые уравнения третьей степени. Уравнения вида x³ = а или х³  + х² = с решались с помощью таблиц. Более сложные уравнения, имевшие вид ах³ + Ьх² = с, сводились к уравнениям первых двух видов.

Анализ вавилонских текстов показывает, что математика была для вавилонян не просто средством решения практических задач. В этом заключается ее фундаментальное отличие от древнеегипетской математики, которая считалась намного более утилитарной. Вавилоняне достигли значительных успехов в арифметике и алгебре, но в отличие от египтян не преуспели в геометрии. Знания геометрии в Вавилонии касались лишь немногих фигур, в частности треугольников и четырехугольников.

* * *

УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ И ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ

Уравнения второй степени вида ах² + Ьх + с = 0 обычно решаются с помощью формулы

Эта формула позволяет получить вещественные решения, когда дискриминант положителен или равен нулю, то есть выражение Ь²  — 4ас больше либо равно нулю.

Для решения уравнений вида ах³ + Ьх² = с вавилоняне умножали уравнение на (а²/Ь³) и получали уравнение вида (ах/b)³ + (ах/b)² = са²/Ь³ Оно решалось с помощью таблиц для уравнений вида х³ + х² = с, после чего рассчитывалось значение х.

* * *

Однако труды вавилонян, посвященные окружностям, сохранились до наших дней. Именно вавилоняне разделили окружность на шесть частей построением окружностей радиуса, равного радиусу исходной окружности. Каждая из этих частей делилась на 60; таким образом, вся окружность делилась на 360 градусов. Так как использовалась шести десятеричная система, то градусы делились на 60 минут, минуты — на 60 секунд. В качестве приближенного значения π использовалось значение π = 3, хотя в табличке, найденной в Сузах, путем сравнения периметра шестиугольника и длины окружности получено значение π = 31/8.

Построение шестиугольника, вписанного в окружность. Сторона шестиугольника равна радиусу окружности.

В древнеегипетской системе счисления для степеней десяти использовались отдельные символы. Так, существовали особые символы для единиц, десятков, сотен и так далее.

Египетская система счисления, в отличие от вавилонской, не была позиционной. Далее мы продемонстрируем иероглифы, соответствующие наиболее часто используемым числам.

Египетская система счисления была аддитивной, в отличие от нашей системы счисления, которая, подобно вавилонской, является позиционной. В аддитивной системе счисления, например, число 3204 представляется в виде 1000 + 1000 + 1000 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1. В виде египетских иероглифов оно записывается так:

С помощью этой системы можно было записывать большие числа. Кроме того, упрощались операции сложения и вычитания. При сложении чисел значения «переносились» в старший разряд, при вычитании — «забирались» из старших разрядов. Умножение сводилось к сложению и вычитанию интересным, но непростым способом.

Рассмотрим, как выполнялось умножение, на примере чисел 17 и 53. Нужно взять пару чисел 1 и 53 и удвоить их. Результатом удвоения будут числа 2 и 106. Повторив эту операцию, получим 4 и 212. Нужно удваивать числа до тех пор, пока первое из них не превысит 17. После этого процесс прекращается, а результат, полученный на последнем шаге, игнорируется. Результатом этих действий в нашем примере будут следующие пары чисел.

Теперь нужно определить, как можно получить 17 путем сложения чисел из первого столбца. Единственный возможный способ получить 17 — сложить 1 и 16. Следовательно, для получения результата умножения нужно сложить значения, записанные справа от 1 и 16, то есть 53 и 848. Их сумма равна 901. Таким образом, результат умножения 17 на 53 равен 901.

Можно заметить, что число 17 рассматривается как сумма степеней двойки, а те, в свою очередь, умножаются на 53. Так, разложение числа 17 выглядит следующим образом: 17 = 2⁰ + 2⁴. При сложении в качестве слагаемых выбираются значения (2⁰  + 2⁴)·53, остальные произведения, 2¹·53, 2²·53 и 2³·53, не используются, так как не входят в разложение числа 17. Этот алгоритм аналогичен тому, что используется в компьютерах. Результат этого алгоритма верен, поскольку представить любое число в виде суммы степеней двойки можно единственным образом. Следовательно, в нашем примере существует единственное множество значений, сумма которых равна 17. Поэтому значения из правого столбца таблицы, которые мы складываем, также можно выбрать только одним способом. Этот метод умножения известен под названием египетского умножения.

Деление выполнялось как операция, обратная умножению. В качестве примера приведем те же числа. Попробуем разделить 901 на 17. Результат должен равняться 53. Результатом деления является целое число без знаков после запятой.

В качестве исходных берется знаменатель 17 и 1. Далее аналогично прошлому примеру оба эти числа удваиваются. Результатом будет 34 и 2. Далее это действие повторяется, результат будет равен 68 и 4. Эти действия повторяются до тех пор, пока первое значение не станет больше числителя, который в нашем примере равен 901. Когда первое значение становится больше числителя (901), полученная пара чисел игнорируется. Результат алгоритма приведен ниже.

Следующая пара чисел — 1088 и 64 — отбрасывается, так как первое число больше 901. Далее нужно подобрать такие числа из первого столбца, чтобы их сумма равнялась 901. В нашем примере это 544, 272, 68 и 17 (так как 544 + 272 + 68 + 17 = 901). Сумма соответствующих им чисел из правого столбца и будет результатом деления. Результат равен 32 + 16 + 4 + 1 = 53.

Как и в случае с умножением, разложение числа 901 является единственным. Мы представили 901 как сумму степеней двойки, умноженных на 17, при этом сумма этих степеней двойки равна 53. Результатом деления в этом случае является целое число. В случаях когда это невозможно и результат содержит несколько знаков после запятой, в этом алгоритме учитываются дроби. Однако алгоритм работы с дробями, который использовали египтяне, был намного сложнее современного. За некоторыми исключениями, рассматривались только дроби вида 1/n, то есть дроби, числитель которых равен 1. Любопытно, что причиной этому было ограничение, вызванное способом записи дроби: сначала записывался символ для обозначения дроби, затем — символы, соответствующие числу в знаменателе. Информация о числителе не записывалась, поэтому он мог равняться только единице.

Для обозначения дроби египтяне использовали этот символ:

Рядом с ним записывался знаменатель, в нашем примере это 21:

Так египтяне записывали дробь 1/21.

Мы упомянули, что существовали дроби с числителем, отличным от 1. Речь идет о дроби 2/3, которая обозначалась отдельным символом, и о дроби вида n/(n + 1), обратной дроби (1 + 1/n). Иными словами, 1/(1 + 1/n) = 1/((n + 1)/n) = n/(n + 1).

Важность дробей и действий с ними четко прослеживается в папирусе Ахмеса, который начинается с представления дроби 2/n в виде суммы 1/x + 1/y + … + 1/z для всех нечетных n от 5 до 101. Далее приводятся аналогичные представления для дробей вида n/10 при n от 2 до 9.

* * *

* * *

Папирус Ахмеса содержит информацию о выполнении действий с дробями, а также позволяет получить представление о типичных задачах, которые решали египтяне, и о способах их решения. Первые задачи папируса Ахмеса — это задачи о делении чисел на 10. При их решении использовалась уже упомянутая таблица чисел вида п/10. Далее приводятся некоторые задачи из арифметики и геометрии, а также задачи, которые можно решить с помощью линейных уравнений вида ах + Ьх = с. Некоторые из задач папируса Ахмеса содержат неизвестные, возведенные в квадрат (в современной нотации), однако, несмотря на это, считается, что египтяне не умели решать уравнения второй и третьей степени.

Большинство задач решаются методом, который сейчас известен как метод ложного положения. Лишь задача 30 решается современным способом — с помощью факторизации и деления. Чтобы объяснить метод ложного положения, рассмотрим в качестве примера задачу 24, которая в наши дни решается с помощью линейного уравнения. Задача звучит так:

«Определите цену кучи, если куча и седьмая часть кучи стоит 19».

В современной нотации условие задачи записывается так: х + 1/7х = 19.

Метод ложного положения заключается в следующем. Мы предполагаем, что неизвестная равна определенному числу, и вычисляем результат для этого значения неизвестной. Так как выбранное нами значение неверно, результат также будет ошибочным, поэтому мы скорректируем значение переменной так, чтобы получить верный результат. Допустим, что цена кучи в нашей задаче равна 7, то есть х = 7. Цена кучи и ее седьмой части будет равна 8. Иными словами, при х = 7х + 1/7x = 8. Далее нужно определить, как следует изменить выбранное нами значение 7, чтобы результат выражения был равен 19, а не 8. Нужно умножить 8 или х на 19/8. Используя только дроби с числителем, равным 1, получим, что 2 + 1/4 + 1/8 = 19/8. Умножив 7 на (2 + 1/4 + 1/8), получим 16 + 1/2 + 1/8. В папирусе также показывается, что это решение верно, так как это значение и его седьмая часть в сумме дают 19.

* * *

* * *

Все эти расчеты можно было выполнить благодаря изобретению папируса. Ранее использовались таблички из глины, воска и других материалов и выполнять подобные операции на них было сложно и неудобно. Египтяне могли писать на папирусе почти так же, как мы делаем записи на бумаге. Для записи на папирусе было создано иератическое письмо — упрощенное иероглифическое письмо, которое использовали писцы в государственных учреждениях. Позднее появилось демотическое письмо, которое, как следует из названия, использовали простолюдины («демос») в повседневной жизни, а иератическое письмо применялось только для записи религиозных текстов. В ходе упрощения письма форма записи чисел изменилась, и стало возможным появление цифр.

Папирус Эберса (слева), датируемый XVI веком до н. э. Он содержит медицинский текст и является примером иератического письма. В отличие от него Розеттский камень, датируемый II веком до н. э., содержит три типа письма: иероглифическое, демотическое и греческое.

В демотическом письме была решена проблема исходной египетской нотации, в которой каждая степень 10 обозначалась отдельным символом, поэтому для записи, например, числа 9 требовалось девять раз записать символ единицы, для записи числа 99 — девять раз записать символ десятки и девять раз — символ единицы. В демотическом письме были введены отдельные символы для чисел от 1 до 9, для десятков от 10 до 90, аналогично для остальных степеней десяти. Для представления чисел требовалось запоминать соответствующие символы. Может показаться, что запомнить столько символов было непросто, но это не было чем-то непривычным для египетских математиков. Например, для записи сумм и разностей в папирусе Ахмеса используются изображения камней на разных позициях.