XVIII век остался в истории веком Просвещения. Целью
этой книги ни в коей мере не является критика Просвещения, однако нет
сомнений в том, что в XVIII веке не было сделано значимых открытий в
области исчисления и счета. Возможно, в XVII веке был совершен столь
крупный прорыв в науке, что в последующем столетии ученые занимались
исключительно изучением уже открытого ранее. Как бы то ни было,
вычисления, логика и расчеты числа 71 в этот период следовали по пути,
очерченному в XVII веке.
Вычисление числа π в XVIII веке
В XVIII веке было предложено несколько новых выражений для вычисления числа π. Первое из них получил астроном Джон Мэчин (1680–1751). Оно использовалось для вычисления π
в течение нескольких веков, в том числе при компьютерных вычислениях.
Использовав формулу Грегори, Лейбница и Мадхавы, Мэчин обнаружил, что
угол, арктангенс которого равен 1/5, можно выразить так:
α = arctg(1/5) = (1/5) — ((1/5)3)/3 + ((1/5)5)/5 — ((1/5)7)/7 +…
На основе арктангенса угла (4α — π/4) он составил ряд, позволяющий вычислить число π,
в котором используется функция, обратная котангенсу. В отличие от
предыдущих, этот ряд сходился быстрее. С его помощью этому английскому
математику удалось верно вычислить 100 знаков числа π. Этот ряд соответствовал следующему выражению:
π/4 = 4·arctg(1/5) — arctg(1/239).
Это выражение можно представить в виде следующего ряда:
Леонард Эйлер также внес вклад в исследование рядов, позволяющих вычислить число π. С помощью одной из своих формул ему удалось вычислить 20 знаков π менее чем за полчаса.
* * *
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783)
Швейцарский математик и физик Леонард Эйлер прожил
большую часть жизни в России и Германии. Он считается ведущим
математиком XVIII века и одним из крупнейших математиков всех времен. Он
совершил важнейшие открытия в области анализа бесконечно малых и теории
графов, а также ввел множество терминов и обозначений современной
математики, особенно в области анализа, в частности обозначение функции.
Он также совершил важные открытия в механике, гидродинамике, оптике и
астрономии. Он был невероятно плодовитым ученым: полное собрание его
сочинений насчитывает от 60 до 80 томов.
ЗНАК π
Обозначение числа к греческой буквой пи
ввел Леонард Эйлер в своей книге «Введение в анализ бесконечных»,
изданной в 1748 году. Он использовал первую букву греческого слова periphereia
— «окружность». Эйлер ввел и другие популярные обозначения, которые
используются в современной математике. Он стал обозначать основание
натурального логарифма буквой е, квадратный корень из минус единицы — буквой i, сумму ряда — знаком Σ, конечную разность — знаком Δ.
Логика
В XVIII веке не было совершено значимых открытий в
логике, однако нет никаких сомнений, что Кант, который хоть не внес
прямого вклада в эту дисциплину, тем не менее способствовал ее
дальнейшему развитию. По сути, на основе идей Канта позднее
сформировался логический позитивизм, а также аналитическая философия.
Позднее Фреге, Гильберт, Рассел и Гёдель внесли огромный вклад в логику.
Немецкий философ Иммануил Кант (1724–1804)
заложил фундамент трех основных свойств современной логики: различие
между понятием и объектом, первенство высказывания как основной единицы
логического анализа и понятие логики как средства изучения структуры
логических систем, а не только подтверждения отдельных умозаключений.
Иммануил Кант, преподававший логику и
метафизику в университете родного Кёнигсберга, является одним из
величайших мыслителей в истории философии. Его работы охватывают
множество разнообразных дисциплин, в частности право и эстетику. Особую
важность имеют его труды по логике.
* * *
РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ ПОНЯТИЕМ И ОБЪЕКТОМ
Готлоб Фреге (1848–1925) установил,
что любое предложение или высказывание содержит выражение, обозначающее
объект, и предикат, обозначающий понятие. Например, в высказывании
«Сократ является философом», «Сократ» — это объект, понятие «являться
философом» — предикат. Эта точка зрения существенно отличалась от
принятой ранее, согласно которой высказывание рассматривалось как два
термина, соединенных глаголом «являться». Новый взгляд на отношение
«понятие — объект» стало основным для понимания теории множеств и
отношения принадлежности элемента ко множеству.
|