Многие думают, исходя из трехмерности нашего мозга (что вовсе не очевидно, так как, может быть, мозг в нашем мире является одним из сечений четырехмерного мозга), что четвертое измерение представить невозможно. Конечно, это сложная задача, но можно рассуждать, как предлагал Пуанкаре. Как, например, художники используют двумерное полотно для изображения трехмерных фигур или инженеры применяют несколько проекций для проектирования инструментов, машин и зданий, так и мы могли бы попытаться визуализировать четырехмерные объекты, «рисуя» их в трехмерных проекциях. Хотя даже имея «трехмерные картины», нарисованные в разных ракурсах, сложно представить, как выглядит четырехмерный объект.

В конце XIX и начале XX вв. одной из главных проблем многомерных пространств была их визуализация. Многие ученые пытались изобразить гиперкуб — четырехмерную версию куба. Исследованием гиперкуба и других n-мерных многогранников занимались такие специалисты, как Чарльз Хинтон, Клод Брэгдон, Вашингтон Ирвинг Стрингхем, Алисия Буль Стотт (сестра жены Хинтона), американец Генри Мэннинг (автор книги «Простое объяснение четвертого измерения»), француз Эспри Жуффре (автор нескольких работ о четвертом измерении), Анри Пуанкаре и многие другие. На самом деле методы визуализации четвертого измерения заключаются в переходе к трем измерениям с помощью различных проекций, сечений или разверток.

Эти методы уже были известны и широко использовались в начале XX в. Описывая различные методы визуализации, мы будем опираться на интуицию и, как и в других главах книги, использовать многомерные аналогии.

Гиперкуб и гиперсфера

Гиперкуб, также известный как тессеракт (термин, введенный Чарльзом Хинтоном в книге «Новая эра мысли»), является обобщением куба в четвертом измерении.

Как и в первой главе, предположим, что точка, имеющая нулевую размерность, будет также 0-мерным кубом, то есть кубом в нулевом измерении. Если точка находится на прямой линии (в одномерном пространстве) и перемещается на определенное расстояние по этой прямой, то мы получим отрезок (который будет одномерным кубом). Если точка находилась в начале оси координат и переместилась на единицу вправо, то полученный отрезок будет отрезком [0, 1], другими словами, он состоит из всех точек между 0 и 1 (см. рисунок на странице 106). Если этот отрезок находится на оси X координатной плоскости, то, перемещая его на одну единицу по оси Y, перпендикулярной оси X, мы получим квадрат (двумерный куб) со сторонами 1.

Если мы переместим единичный квадрат на одну единицу в перпендикулярном направлении к плоскости ХУ по оси Z, то мы получим трехмерный куб. Перемещая трехмерный куб в направлении, перпендикулярном к трем остальным, по новой оси, которую мы будем называть W, мы, наконец, получим гиперкуб, или четырехмерный куб.

В нашем пространстве мы не можем визуализировать гиперкуб, поэтому мы будем представлять куб, перемещающийся в перпендикулярном направлении к трехмерному пространству, как показано на с. 106.

* * *

ПОМОГАЮТ ЛИ ТРЕХМЕРНЫЕ ПРОЕКЦИИ ВИЗУАЛИЗИРОВАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ?

Многие считают, что невозможно полностью представить четырехмерный объект в трех измерениях, а тем более в двух. Это в некоторой степени правда, хотя, с другой стороны, люди привыкли представлять окружающий мир в двух измерениях с помощью картин, фотографий и кино. Другими словами, мы не подвергаем сомнению достоверность плоских изображений реальности. Более того, для получения информации о реальности эти двумерные изображения иногда просто необходимы, если учитывать изменение ракурсов и моментов времени. Приведем пару несложных примеров. Театр теней, например, несмотря на простоту плоских черных силуэтов, не мешает нам узнавать форму предметов и следить за сюжетом пьесы.

Вторым известным примером является бег лошади. Вплоть до 1870 г. завсегдатаи калифорнийских скачек вели дебаты о том, существует ли такой момент, когда ни одно из копыт лошади не касается земли. Спор был решен после того, как британский фотограф Эдвард Мейбридж (1830–1904) сделал ряд снимков, на которых было видно, что такой момент действительно существует.

Серия фотоснимков Мейбриджа, показывающих движение лошади. В один из моментов копыта лошади не касаются земли.

* * *

Отрезок прямой, квадрат, куб и гиперкуб со стороной 1 в соответствующих пространствах.

Интуитивно понятно, что каждый n-мерный куб, то есть куб в n-м измерении, получается путем перемещения (n — 1) — мерного куба из измерения на единицу меньше в направлении, перпендикулярном к предыдущим. Однако в математических терминах n-мерный куб может быть задан всеми точками в n-мерном пространстве, координаты которых больше 0 и меньше 1, то есть:

Каждый n-мерный куб состоит из элементов меньших размерностей — k-мерных кубов, где 0 <= k <= n. Например, гиперкуб состоит из следующих элементов: точек (вершин или углов), отрезков (ребер), граней (квадратных поверхностей), кубов (кубических граней) и самого гиперкуба. Для того чтобы попытаться понять, что такое гиперкуб, мы начнем с анализа элементов, из которых он состоит, используя следующие рассуждения и аналогии (с помощью рисунка).

Рассмотрим сначала элементы одномерного куба, то есть отрезка прямой линии.

Отрезок состоит из двух вершин и, конечно, самого себя. Теперь, переместив отрезок в перпендикулярном направлении и получив квадрат, мы имеем две начальные вершины и две конечные, следовательно, число вершин при перемещении удвоилось. Таким образом, квадрат имеет 4 вершины, куб — 8, а гиперкуб — 16. Теперь посчитаем ребра квадрата. У нас был начальный отрезок, затем конечный плюс два отрезка, образованные при перемещении каждой вершины, поэтому квадрат имеет 1 + 1 + 2 = 4 ребра. Аналогично куб будет иметь 4 + 4 + 4 = 12 ребер, а гиперкуб — 12 + 12 + 8 = 32 ребра.

Далее мы посчитаем грани. При перемещении квадрата в перпендикулярном направлении у нас получится начальная и конечная грани, плюс каждое ребро при движении образует новую грань, поэтому куб имеет 1 + 1 + 4 = 6 квадратных граней.

Гиперкуб будет иметь 6 + 6 + 12 = 24 квадратные грани. Наконец, при перемещении куба получаются начальный и конечный кубы, плюс каждая грань куба при движении образует новый куб, так что гиперкуб имеет 1 + 1 + 6 = 8 кубических граней. Занесем полученные данные в таблицу.

Гиперсфера является эквивалентом сферы в четвертом измерении. Но чтобы дать определение гиперсферы, мы должны понять, что такое сфера. Сфера образована всеми точками, находящимися на одном и том же расстоянии (радиусе) от данной точки (центра). В терминах аналитической геометрии, если О = (0, 0, 0) — координаты центра, а r — радиус, это можно записать следующей формулой:

Кроме того, сфера является двумерной поверхностью.

* * *

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ЭЛЕМЕНТОВ N-МЕРНОГО КУБА

С помощью комбинаторики мы можем получить общие формулы для определения количества элементов n-мерного куба. Пусть Е(k,n) обозначает количество k-мерных кубов в n-мерном кубе. Для расчета Е(k,n) мы сначала определим, сколько k-мерных кубов выходит из данной вершины. Если из каждой вершины выходит n ребер, то достаточно посчитать, сколькими способами мы можем выбрать k ребер из n. Это число и будет количеством k-мерных кубов, выходящих из данной вершины. Таким образом, задача свелась к комбинаторике:

где n! является факториалом n, другими словами, n! = n(n — 1)∙(n — 2)…3∙ 2∙1. Так как всего вершин 2n, то общее количество k-мерных кубов равно

Но каждый k-мерный куб имеет 2k вершин. Это значит, что каждый k-мерный куб мы посчитали 2k раз, поэтому мы разделим результат на это число. Получим

В общем случае количество k-мерных кубов считается так

Можно убедиться, что результаты в приведенной выше таблице согласуются с этой формулой.

* * *

В общем случае для любого (n + 1) — мерного пространства соответствующая n-мерная сфера образуется точками (n + 1) — мерного пространства, которые находятся на одинаковом расстоянии от ее центра. Мы имеем следующую формулу:

В одномерном пространстве 0-мерная сфера с центром в точке 0 и радиусом 1 представляет собой две точки {—1, 1}, как показано на рисунке. На плоскости одномерная сфера является окружностью с центром в начале координат и радиусом 1, а в трехмерном пространстве двумерная сфера будет тем, что мы обычно понимаем под сферой.

N-мерные сферы с радиусом 1 и с центром в начале координат в пространствах размерности (n + 1), где n = 0, 1, 2.

Теперь мы подошли к задаче, как можно визуализировать и лучше представить себе, что такое гиперсфера. Предположим, что пространственное четвертое измерение существует, и мы находимся на огромном поле. Мы смотрим на пятиметровую мачту и хотим представить себе, как выглядит гиперсфера с центром на верхушке мачты и радиусом 5 м. Конечно, можно представить обычную сферу (двумерную) с центром в этой точке и радиусом 5 м (как показано на рисунке ниже), состоящую из точек нашего трехмерного пространства, которые находятся на расстоянии 5 м от центра. Ясно, что эти точки также принадлежат гиперсфере. Но можно ли визуализировать остальные точки гиперсферы, которые не находятся в нашем пространстве? Предположим, что мы переместились на 4 м от центра сферы в любом направлении, а затем — на 3 м в направлении к ана. Это направление, кстати, перпендикулярно к предыдущему. Тогда по теореме Пифагора 3²  + 4² = 5². Другими словами, мы оказались в точке в 5 м от центра, которая, следовательно, принадлежит гиперсфере.

Сфера с центром О и радиусом 5 м является частью гиперсферы, той частью, которая находится в нашей трехмерной вселенной. Если мы отойдем от центра сферы на 4 м, а затем на 3 м в направлении к ана, то окажемся в точке Р, которая будет точкой гиперсферы с радиусом 5.

Так можно получить все точки гиперсферы. Чтобы лучше понять эту идею, мы повторим этот процесс на поверхности Флатландии. Предположим, что Квадрат, главный герой книги Эбботта, захотел изобразить на плоскости сферу с центром в точке О и радиусом 5. Сначала он нарисовал в своей плоской вселенной окружность радиуса 5, которая, как он знает, является частью трехмерной сферы, то есть той частью, которая находится во Флатландии. Затем он действует так же, как и мы: он перемещается в любом направлении от центра на расстоянии 4 м, а затем представляет движение на 3 м вверх. По теореме Пифагора (которую он, к счастью, знает) полученная точка также будет точкой сферы (см. рисунок ниже). Кроме того, из точек окружности меньшего радиуса, например 4 м, Квадрат может представить другую окружность в верхней части сферы (то есть плоское сечение сферы), расположенную в 3 м над Флатландией. Другая меньшая окружность может быть получена при движении вниз.

Окружность с центром О и радиусом 5 м, нарисованная Квадратом, является той частью сферы, которая находится во Флатландии. Если мы переместимся от центра круга на расстояние 4 м, а затем на 3 м вверх, то мы окажемся в точке Р, которая также будет точкой сферы радиуса 5 м.

Квадрату удалось понять, что такое сфера, но теперь он должен попытаться представить ее. Учитывая, что каждая окружность с центром О и радиусом меньше 5 м соответствует окружности сферы (на самом деле двум окружностям), квадрат-математик представляет себе половину сферы как группу всех окружностей с центром О и радиусом меньше 5 м, как показано на рисунке.

Полусфера, изображенная на плоскости в виде плоских окружностей с радиусами меньшими, чем радиус сферы (рисунок Хосу Арройо).

Квадрат может мысленно представить себе это изображение, но все еще с большим трудом, поэтому он идет дальше и разделяет все круги по длине отрезка (отрезка прямой линии с концами —5 и 5) так, что каждая точка отрезка обозначает высоту h от плоскости: положительная — вверх, отрицательная — вниз. Круг, соответствующий этой точке, будет кругом сечения сферы на высоте h (радиус которого равен положительному числу с, вычисляемому по теореме Пифагора: h² + с² = 5²). Следующий рисунок получен именно так.

Точки, находящиеся на отрезке, указывают высоту, на которой расположена каждая из окружностей. Этот рисунок является визуализацией сферы на плоскости (рисунок Хосу Арройо).

Возвращаясь к случаю гиперсферы радиуса 5 м в четвертом измерении, мы можем применить аналогичный метод и представить полугиперсферу как семейство всех сфер с центрами на вершине мачты и с радиусами, меньшими 5 м или равными 5 м. Мы можем представить гиперсферу как все сферы, расположенные на различных высотах h в направлении ана или ката.

Все сферы в направлении, перпендикулярном к трехмерному пространству (в направлении ана или ката), являющиеся частями гиперсферы, изображены на отрезке, точки которого указывают высоту каждой сферы. Этот рисунок является визуализацией гиперсферы в нашем трехмерном пространстве (рисунок Хосу Арройо).

Ортогональные проекции

Одним из методов, используемых для визуализации четырехмерного объекта, в данном случае гиперкуба, в трехмерном или даже в двумерном пространстве, являются математические проекции, которые преобразуют четырехмерное пространство в трехмерное. Как правило, мы можем использовать математические проекции для преобразования любого n-мерного пространства в пространства меньших размерностей.

Существует два типа проекций — геометрические и алгоритмические. Первый является более естественным, его можно интерпретировать как лучи света, дающие изображения и тени. Алгоритмические проекции выражаются с помощью математических формул. Это означает, что геометрическая интерпретация теряется, зато можно использовать мощные математические средства.

В этой главе мы рассмотрим два типа естественных геометрических проекций, используемых в повседневной жизни. Это ортогональные проекции, соответствующие освещению солнечным светом, и центральные проекции, связанные с близко расположенным источником света, например лампой или фонарем. Именно так работает наше зрение, и именно их имитирует перспектива в живописи.

* * *

* * *

Для начала вспомним, как мы в детстве рисовали куб. Наверняка наши изображения были похожи на рисунок слева. Но мы тогда и не подозревали, что рисуем ортогональную проекцию куба.

Ортогональная проекция — это отображение, а именно проецирование в определенном направлении n-мерного координатного пространства любой размерности n на одно из его подпространств (n — 1) размерности. Иными словами, все точки, которые находятся на одной прямой линии, расположенной в заданном направлении, проецируются в одну точку (n — 1) — мерного подпространства, в которой эта прямая линия пересекает подпространство. В трехмерном пространстве подпространство, на которое мы проецируем, является плоскостью. Образ объекта, полученный в результате ортогонального проецирования, представляет собой своего рода тень объекта, полученную при освещении его параллельными лучами света, падающими на плоскость проекции в заданном направлении (см. рисунок ниже). Например, так как Солнце находится очень далеко от Земли, солнечные лучи можно считать параллельными, и они падают на Землю в определенном направлении. Таким образом, тени предметов являются ортогональными проекциями. Конечно, если изменить направление проецирования, то получаются различные плоские проекции одного и того же объекта.

Ортогональная проекция куба из «Начертательной геометрии» французского математика Гаспара Монжа.

Рассмотрим теперь трехмерный куб и спроецируем его на плоскость. Чтобы лучше представить проекцию, возьмем кубическую рамку — стержни, показывающие структуру куба и представляющие линии, из которых состоит куб. Проецируя в разных направлениях, мы получим следующие изображения. Как видим, они очень хорошо отражают интуитивный подход, который мы использовали на протяжении всей книги: куб — это результат перемещения квадрата в перпендикулярном направлении.

Ортогональные проекции куба в следующих направлениях: а — перпендикулярном к двум граням куба и параллельном четырем другим; б — параллельном только верхней и нижней граням куба; в — параллельном диагонали; г — не параллельном ни граням, ни диагонали.

В этом случае хорошо видно свойства ортогональных проекций: они переводят отрезки прямых в отрезки или точки и сохраняют параллельность. Кроме того, параллельные отрезки равной длины проецируются в параллельные отрезки также равной длины.

Если мы теперь ортогонально спроецируем четырехмерный гиперкуб (точнее, его каркас) на трехмерное пространство, мы получим трехмерную фигуру, изображенную на рисунке ниже.

Ортогональная проекция каркаса гиперкуба на трехмерное пространство, сделанная с помощью конструктора Zometool.

Если мы ортогонально спроецируем ее на плоскость, то получим классическое изображение гиперкуба.

Как видно, оно соответствует интуитивному образу гиперкуба, который мы получали ранее, представляя, как куб перемещается в перпендикулярном направлении. Вернемся снова к этой идее. Если куб перемещается в перпендикулярном направлении, то он порождает гиперкуб, изображение которого на плоскости выглядит следующим образом:

В зависимости от направления перемещения и симметричности гиперкуба его изображение будет отличаться. Но можно пойти еще дальше: при перемещении гиперкуба в перпендикулярном направлении получается 5-мерный куб.

И так можно продолжать бесконечно, получая все более красивые изображения.

* * *

НОВЫЙ ЯЗЫК АРХИТЕКТУРНОГО ДИЗАЙНА

Американский архитектор, писатель, дизайнер и теософ Клод Брэгдон (1866–1946) в своей книге «Проективный орнамент» (1915) описал систему для получения геометрических узоров, которые можно использовать в архитектуре, графическом дизайне и украшениях. Этот метод широко использовался в современной архитектуре, например при строительстве Торговой палаты в Рочестере (1915–1917), а также в дизайне журналов, плакатов и книг. Брэгдон писал о необходимости создания нового языка архитектуры и орнаментов, основанного на геометрии. Более того, четвертое измерение оказалось одним из основных инструментов для декоративного дизайна. Брэгдон утверждал, что «новые декоративные мотивы следует искать в четырехмерной геометрии».

Иллюстрация из книги «Проективный орнамент», показывающая, как четвертое измерение используется для создания новых декоративных мотивов.

Центральная проекция

Изображения куба и гиперкуба, полученные в предыдущем разделе, являются «тенями» при падении на объект параллельных «лучей света». Но теперь мы будем рассматривать тени, порожденные лучами света, исходящими из одной точки.

Именно такие изображения видит наш глаз или объектив фотокамеры. Соответствующая проекция называется центральной проекцией. Это отображение n-мерного координатного пространства в (n — 1) — мерное подпространство, при котором лучи соединяют центральную точку (источник света) с подпространством проекции, так что все точки, которые находятся на одном таком луче, будут проецироваться в одну точку (n — 1) — мерного подпространства.

* * *

МЕТОД ПЕРСПЕКТИВЫ В ИСКУССТВЕ

Метод перспективы в искусстве Ренессанса был научной и художественной революцией в подходе к представлению пространства на плоскости. В древности и в средние века образы на картинах были плоскими, в том смысле, что у них не было глубины, пропорции не сохранялись, а формы и объемы искажались. В Средние века, например, более крупно изображали более важных с религиозной точки зрения персонажей. В эпоху Ренессанса художники обратились к науке в поисках методов и приспособлений, позволяющих получить изображение, более близкое к тому, что видит глаз художника. Среди великих художников, использовавших метод перспективы, были Джотто, Пьеро делла Франческа, Брунеллески, Леон Баттиста Альберти, Рафаэль, Дюрер и Леонардо да Винчи. Метод перспективы доминировал в искусстве с XV до XIX в.

Сцена с картины «Альфонсо Мудрый и его двор» (рис. вверху). Это пример плоской живописи Средневековья. Ниже — «Бичевание Христа» (1444–1469) Пьеро делла Франчески. Ренессанс принес с собой метод линейной перспективы.

* * *

Если спроецировать трехмерный куб, используя центральную проекцию из трех различных точек, то мы получим следующие изображения.

Как видим, центральная проекция не сохраняет параллельность. В этой проекции образом параллельных линий будут линии, которые пересекаются в точке схода. Как видно на рисунке, куб имеет три группы параллельных линий (или ребер), и его проекция может иметь одну, две или три точки схода (рисунки А, Б и В соответственно).

Кроме того, частям объекта, которые ближе к центральной точке проекции, соответствуют более длинные отрезки на проекции. Другими словами, у куба все ребра имеют одинаковую длину, а длина отрезков на проекции будет различаться в зависимости от расстояния от ребра до центральной точки проекции. Аналогично на рисунке А внешний квадрат соответствует грани, которая ближе к источнику света, а внутренний — той грани, которая дальше.

Как и для куба, можно получить разные центральные проекции гиперкуба в нашем трехмерном пространстве в зависимости от положения источника света в четырехмерном пространстве. Проекция гиперкуба, изображенного на рисунке Б, соответствует рисунку А. Как и в трехмерном случае, внешний куб представляет собой кубическую грань гиперкуба, которая расположена ближе к центральной точке проекции, в то время как внутренний куб является образом дальней кубической грани.

Одним из самых интересных примеров визуализации гиперкуба является фильм Томаса Бэнчоффа и Рихарда Страусса «Гиперкуб: проекции и сечения», который показывает проекции гиперкуба в различных ракурсах.

Сечения гиперкуба

В прошлом при изучении морфологии цветов и различных растений ботаники использовали особый метод, состоящий в том, что изучаемый объект помещали в контейнер, куда наливали специальное вещество. Это вещество делало растение твердым, так что его потом можно было нарезать тонкими слоями. Вспомним, что во Флатландии такой способ использовался для передачи информации между мирами различных размерностей. Квадрат использует «небольшие срезы», чтобы описать Флатландию или чтобы показать себя королю Лайнландии. Для этого он пересекает своим телом одномерный мир Лайнландии. Аналогично Сфера, пересекая Флатландию, пытается объяснить реальность существования самой себя и трехмерной вселенной. Что же видит Квадрат, когда Сфера пересекает Флатландию? Сначала он видит точку, затем — круг (хотя круг может быть жрецом Флатландии), который увеличивается, а затем снова уменьшается до точки и исчезает. Мы бы увидели то же самое, если бы наш мир посетила Гиперсфера, только вместо круга мы бы увидели меняющийся в размере шар. Иными словами, трехмерные срезы Гиперсферы являются сферами, которые меняются в размере.

* * *

ГИПЕРКУБ В ИСКУССТВЕ

С тех пор как четвертое измерение стало частью поп-культуры, многие художники пытались воссоздать различные визуализации гиперкуба, в том числе его проекции. Гиперкуб стал центральной темой произведений многих архитекторов, художников и скульпторов. Например, одна из скульптур, которая использует центральную проекцию гиперкуба, называется Monumento a la Constitution и находится в саду музея естественных наук в Мадриде. Она изготовлена из андалузского белого мрамора, символа чистоты. Сторона ее внешнего куба равна 7,75 м, четыре боковые грани открыты, и в каждой имеется шесть ступенек, ведущих к центральному кубу, так что к нему можно подойти с четырех сторон света, что символизирует демократические ценности. Гиперкуб представляет собой более высокую реальность, чем наше трехмерное пространство, соответствующее трем конституционным принципам: свобода, равенство, братство. Идею гиперкуба можно также найти в Большой арке Дефанс (La Grande Arche de la Defense), расположенной в пригороде Парижа.

Построенное по проекту датского архитектора Отто фон Спрекельсена в 1989 г., это внушительное сооружение высотой 110 м имеет форму центральной проекции гиперкуба. В верхней части арки располагаются зал для конференций и выставочный центр, музеи и смотровая площадка, а в боковых частях — правительственные учреждения.

На фотографии слева — Большая арка Дефанс, гиперкуб к 200-летию Французской революции. Справа — Monumento a la Constitucidn (1979) по проекту архитектора Мигеля Анхеля Руиса Ларреа, который использовал центральную проекцию гиперкуба.

* * *

Центральная проекция четырехмерного гиперкуба в трехмерном пространстве.

Прежде чем анализировать форму гиперкуба с помощью трехмерных срезов, рассмотрим случай в пространстве на размерность меньше, а именно плоские сечения куба в различных направлениях, чтобы далее использовать эту аналогию.

Трехмерные сечения гиперсферы (рисунок Хосу Арройо).

Если рассекать куб вдоль одной из его граней, другими словами, делать параллельные срезы, то полученные сечения будут квадратами, как видно на рисунке на следующей странице. Если сделать срез, проходящий через одно из ребер по диагонали куба, и другие сечения, параллельные этому срезу, то получаются прямоугольники, квадраты и отрезки. Самые интересные сечения, которые труднее всего представить, получаются, когда делаются срезы, начиная с одной из вершин и перпендикулярно к диагонали куба, соединяющей эту вершину с противоположной.

Сначала получается треугольник, который увеличивается в размерах, затем уменьшается, пока не исчезнет на противоположной вершине. Но какую фигуру мы увидим в середине этого процесса? Как ни странно, это правильный шестиугольник, то есть шестиугольник с равными сторонами и углами.

Это происходит потому, что треугольные сечения изменяются при прохождении через другие три вершины куба, образуя шестиугольник со сторонами разной длины, который потом снова становится треугольником, уменьшающимся в размере.

Но вершины этого треугольника теперь ориентированы в направлении, противоположном направлению изначального треугольника, поэтому в силу симметрии в средней точке мы получаем правильный шестиугольник.

Плоские сечения куба в зависимости от направления среза.

* * *

ГОРИЗОНТАЛИ

Плоские сечения трехмерных объектов с целью получения информации об их геометрии и форме используются, например, в топографии. На топографических картах можно видеть различные контуры, которые представляют собой точки, находящиеся на одной высоте над уровнем моря. Они показывают горизонтальные сечения поверхности местности на различной высоте. При пересечении поверхности горизонтальными плоскостями как раз и получаются такие кривые линии. Если они расположены очень близко друг к другу, то на местности это означает наличие крутого склона, а если они находятся далеко друг от друга, то поверхность более пологая. Горизонтали наряду с использованием цвета на топографических картах дают дополнительную информацию о рельефе.

Горизонтали служат для изображения рельефа местности.

* * *

Чтобы получить трехмерные сечения гиперкуба, мы, как и в случае с кубом, будем делать срезы вдоль кубической грани, затем параллельно квадратной грани, затем параллельно ребру и, наконец, начиная с вершины. Можно представить, будто гиперкуб падает сквозь наше трехмерное пространство. Мы будем изучать те части гиперкуба, которые мы видим во время его движения.

Если принять во внимание, что гиперкуб, или тессеракт, представляет собой куб, движущийся в дополнительном перпендикулярном направлении, то очевидно, что его трехмерные сечения вдоль кубической грани всегда являются кубами. И действительно, эти сечения — различные положения трехмерного куба при его движении в четвертом измерении.

Чтобы понять, как выглядят сечения гиперкуба при срезах параллельно квадратной грани, надо представить сечения куба вдоль его граней или ребер. Как видно на рисунке ниже, квадратная грань образует квадратные сечения при движении, в то время как кусочки рассекаемой квадратной грани образуют прямоугольники, поэтому сечения гиперкуба будут представлять собой прямоугольные призмы с квадратными основаниями.

Сечения куба со стороны ребра и вершины помогают понять форму трехмерного сечения гиперкуба при срезах параллельно ребру. Последовательность трехмерных срезов будет линией, треугольной призмой, затем шестиугольной призмой и правильной шестиугольной призмой. Затем эти фигуры будут повторяться в обратном порядке.

Наиболее интересный случай, как и в примере с кубом, — это сечения гиперкуба, начиная с его вершины. Последовательность сечений представляет собой точку, тетраэдр, усеченный тетраэдр, икосаэдр, снова усеченный тетраэдр, тетраэдр и опять точку.

Развертка гиперкуба

Другим методом визуализации гиперкуба является изучение его развертки в трехмерном пространстве. В нашем трехмерном пространстве обычная коробка образована внешней частью куба — его квадратными гранями. Если открыть одну из них, как крышку, мы получим внутреннюю часть куба — пространство для хранения вещей. Во Флатландии, например, коробки представляли собой квадраты, а гранями таких коробок были стороны квадрата, одна из которых являлась крышкой, с помощью которой флатландцы открывали и закрывали коробку, используя внутреннее двумерное пространство для хранения вещей. Гиперкоробкой будет являться внешняя часть гиперкуба, образованная трехмерными кубическими гранями, одна из которых будет использоваться как крышка, и гиперсущества смогут хранить в четырехмерном внутреннем пространстве гиперкоробки свои вещи.

Если развернуть квадрат, или куб, или гиперкуб, мы получим их внешнюю часть: для квадрата — отрезки, для куба — квадраты, для гиперкуба — кубы, то есть фигуры на одну размерность меньше. Следовательно, мы можем развернуть их в пространстве меньшей размерности. Коробка из Флатландии — квадрат — может быть развернута в Лайнландии, и ее сможет увидеть король Лайнландии, чтобы понять, что такое квадрат. Наша обычная кубическая коробка может быть развернута на плоскости. Таким образом флатландцы могут попытаться понять форму куба. И, наконец, мы можем развернуть гиперкоробку в нашем трехмерном пространстве и лучше понять, что такое гиперкуб. На следующих рисунках изображены развертки в каждом описанном случае.

Давайте представим, как Квадрат — житель Флатландии — развернул одну из своих коробок в Лайнландии. Для этого он сначала открыл крышку коробки (если у нее не было крышки, то две из ее сторон нужно отделить друг от друга в вершине), а затем развернул ее в прямую линию. В конечном итоге он получил четыре равных отрезка, расположенных на одной линии, то есть в Лайнландии.

Теперь рассмотрим хорошо нам знакомую развертку кубической коробки. Как обычно, сначала мы откроем крышку. Если крышки нет, то одну из граней надо отделить от других, разрезав по трем ребрам. Когда крышка открыта, отделим друг от друга четыре боковых грани, разрезав коробку по четырем соединяющим их ребрам. После этого кубическая коробка может быть разложена на столе, образовав так называемую развертку куба, как показано на рисунке, хотя возможны и другие развертки.

* * *

ГЕКСАМИНО

Плоские фигуры, образованные путем соединения шести квадратов ребро к ребру (квадраты не могут касаться только вершинами), называются гексамино. Примером такой фигуры является развертка кубической коробки. Рассмотрим интересную задачу: сколько существует различных таких фигур? Их количество, конечно, зависит от числа квадратов. В общем случае полимино, или n-мино, образовано из n квадратов. Существует одно-единственное домино (n — 2). Добавив один квадрат, мы можем построить два тримино (n — 3). С еще одним квадратом мы получим пять тетрамино. Именно эти фигуры, кстати, используются в игрететрис. Существует 12 пентамино, которые также появляются в интересных играх. Наконец, добавив еще один квадрат к 12 пентамино, мы получим 35 гексамино. Но какие из них являются развертками куба? Попробуйте сами ответить на этот вопрос!

35 возможных гексамино, но лишь 11 из них являются развертками куба.

* * *

Теперь, используя аналогии для случаев меньших размерностей, мы попробуем получить развертку гиперкуба. Как и раньше, мы откроем крышку гиперкоробки — верхнюю кубическую грань, соединенную с шестью другими гранями. Для этого мы должны отсоединить кубическую крышку от пяти граней гиперкуба, разрезав по пяти квадратам. Теперь гиперкуб открыт, но мы должны сделать дополнительные разрезы, чтобы развернуть его. Нужно разрезать по квадратам, которые соединяют те шесть кубов, что прилегали к крышке (таких разрезов будет восемь). Таким образом мы получили гиперкуб, развернутый в нашем трехмерном пространстве.

Каждый из подходов для представления гиперкуба в трехмерном пространстве дает нам часть информации о четырехмерном объекте, но скрывает другую часть информации и даже искажает ее. Например, проекции искажают форму гиперкуба, но сохраняют информацию о пространственных соотношениях элементов гиперкуба друг с другом в четвертом измерении. Сечения дают очень мало информации, так как показывают очень небольшую часть объекта, но зато без искажений, а последовательность нескольких сечений также несет в себе полезную информацию о внутренней структуре гиперкуба. Развертки показывают нам без искажений элементы гиперкуба, но мы теряем информацию о четырехмерных соотношениях элементов и изначальной форме гиперкуба.