Исторически под спрямлением понималось построение прямой, длина которой равна длине данной кривой. Графическая интерпретация этого понятия, на основе которой определяется метод приближенного вычисления длины, может выглядеть так: разделим кривую на последовательность прямолинейных участков как можно меньшего размера, после чего найдем сумму их длин.

Разделение кривой на прямолинейные отрезки.

Похожий метод использовал некий преподаватель средней школы, когда объяснял ученикам, как измерить длину морского побережья. Он объяснял: «Чтобы произвести измерения, необходима карта побережья в масштабе, достаточно длинная нить и линейка. Нужно смочить нитку водой и проложить ее вдоль всего побережья на карте. Теперь достаточно вытянуть нить и измерить ее длину с помощью линейки.

Масштаб карты укажет, как следует пересчитать размер и найти искомую длину». С древних времен одной из самых известных задач подобного рода была задача о спрямлении окружности. Древнеегипетские математики верно определили формулу расчета длины окружности, согласно которой отношение площади круга к длине его окружности равно отношению площади квадрата, в который вписана окружность, к его периметру. Это соотношение выполняется в точности и равно r/2, где r — радиус окружности, но значение π, которое использовали египтяне, было приближенным (3,16 или 3 и 1/6).

Спрямление, квадратура и возведение в куб также описываются в классическом древнекитайском трактате о математике «Цзю чжан суань шу», или «Математика в девяти книгах», написанном в I веке. В первой книге, озаглавленной «Измерение полей», приведены расчеты значения π методом исчерпывания: в окружность вписывается шестиугольник, после чего его периметр сравнивается с длиной окружности; так получается значение π = 3. Далее проводятся аналогичные действия с многоугольниками, имеющими 12, 24, 48 и 96 сторон, и рассчитывается значение π = 3,1410240.

В древнеиндийской математике спрямление также рассматривалось для вычисления длины окружности. Ариабхата в главе II своей книги «Ариабхатия» (ок. 500 г.) приводит приближенное значение π = 3,1416. Он вычислил периметр правильного 384-угольника, вписанного в окружность, применив метод исчерпывания, аналогичный приведенному в китайском трактате «Математика в девяти книгах», но выполнил еще два шага: он также начал с шестиугольника и последовательно удваивал число его сторон (6, 12, 24, 48, 96, 192, 384), пока не получил 384-угольник.

* * *

* * *

С древних времен в самых разных культурах предпринимались попытки выполнить приближение кривых прямолинейными отрезками равной длины при помощи различных методов. Даже в XVII веке еще проводились конкурсы по определению длин дуг некоторых кривых, в частности спирали Архимеда, цепной линии или циклоиды. Расчеты проводились геометрическими методами. Последний шаг к решению задач такого типа был сделан в конце XVII века с появлением дифференциального исчисления. В дифференциальном исчислении длина дуги рассчитывается по формуле

где f(x) — функция, длину графика которой требуется найти, f'(x) — ее производная, причем обе этих функции непрерывны на отрезке [а, Ь]. S будет длиной дуги, ограниченной а и Ь.

При доказательстве этой формулы используется прежняя идея: кривая представляется в виде последовательности прямолинейных отрезков, после чего для каждого из них применяется теорема Пифагора. Длина каждого отрезка будет равна

Δs = √(Δх² + Δу²⁾

Дуга кривой и отрезок Δs — гипотенуза треугольника с катетами Δх и Δу.

Приближенное значение S рассчитывается как сумма гипотенуз:

Чем меньше будет длина этих n отрезков, тем точнее будет полученный результат. В пределе все Δх_i будут стремиться с нулю, и, согласно определению определенного интеграла, на отрезке между а и Ь мы получим приведенную выше формулу:

Квадратура

Квадратура — построение квадрата, по площади равного данной фигуре. Исторически сложилось, что квадратом называется вторая степень числа, то есть число, умноженное на само себя. Схожесть этих терминов неслучайна — если возвести число во вторую степень, то есть умножить его на само себя, то мы найдем площадь квадрата, сторона которого выражается этим числом.

На следующем рисунке показано, как при возведении во вторую степень выражения (а + Ь) получается площадь квадрата со стороной а + Ь:

Здесь следует провести различие между площадью и поверхностью, так как эти понятия иногда путают. Поверхность — геометрический термин, площадь — величина, соответствующая этому геометрическому термину, то есть мера протяженности поверхности, выраженная в соответствующих единицах.

Кроме того, некоторые порой путают периметр и площадь. Их следует различать подобно тому, как различают окружность и круг. Периметр (от латинского perimetros, произошедшего от греческого это граница поверхности или фигуры, а также длина этой границы, а площадь — это мера, или численная характеристика, поверхности или фигуры, ограниченной периметром. Возникает вопрос: если задан определенный периметр, например дана веревка заданной длины, то каким будет прямоугольник наибольшей площади, который можно ограничить этой веревкой? Этот вопрос можно сформулировать и в более общем виде: как будет выглядеть фигура наибольшей площади, которую можно ограничить этой веревкой?

Ответом на первый вопрос будет квадрат, на второй вопрос — круг. Ответы на эти вопросы известны с глубокой древности и применяются в повседневной жизни множеством способов. В главе 1 мы упомянули, что традиционные жилища в самых разных культурах (у инуитов, североамериканских индейцев и аборигенов Кении) имели круглую форму — так обеспечивалась наибольшая площадь при минимальном расходе материала.

Парадоксально, но определенные фигуры имеют конечную площадь, но бесконечный периметр. К примеру, это справедливо для фрактала под названием снежинка Коха, который представляет собой непрерывную кривую, но задается функцией, не дифференцируемой ни в одной точке. Эту кривую описал шведский математик Хельге фон Кох (1870–1924) в 1904 году. Из четырех отрезков равной длины (например, 1), соединенных так, как показано на первом рисунке внизу (KQ), строится кривая Коха, на основе которой определяется снежинка Коха.

Четыре первых этапа построения кривой Коха. Сверху вниз: К₀, K₁, К₂ и К₃.

На первом этапе все 4 отрезка К₀ заменяются копией К₀ уменьшенной в 3 раза. Полученная кривая (обозначим ее K₁) будет состоять из 16 = 4² отрезков. Далее заменим каждый из этих 16 отрезков копией K₁, уменьшенной в З² = 9 раз. Полученная кривая (обозначим ее К₂) будет состоять из 64 = 4³  отрезков, и так далее. Кривая Коха определяется как предел последовательности К_i при i, стремящемся к бесконечности.

Для построения снежинки Коха возьмем 3 копии K₀, расположим их в форме равностороннего треугольника и заменим его стороны описанными выше кривыми.

Снежинка Коха.

Снежинка Коха имеет конечную площадь, но бесконечный периметр. Ее площадь конечна потому, что фигура умещается внутри круга конечного радиуса. В нашем примере длина исходных отрезков кривой K₀  равна 1, и можно доказать, что снежинка умещается внутри круга радиуса 3. Чтобы доказать, что снежинка Коха имеет бесконечный периметр, достаточно показать, что кривая Коха имеет бесконечную длину. Для этого вычислим длину l(К_i) на каждом шаге построения. Длина K₀ равна 4 (4 стороны длиной 1). Так как К₁ состоит из 16 = 4²  отрезков длиной 1/3, длина этой кривой будет равна:

Обобщив рассуждения, получим:

* * *

УЧАСТОК НАИБОЛЬШЕЙ ПЛОЩАДИ, ПОКРЫТЫЙ БЫЧЬЕЙ ШКУРОЙ

У Маттона, царя Тира, было двое детей — Пигмалион и Элисса (таким было тирское имя царицы Дидоны). После смерти Мапона трон занял его сын Пигмалион, еще ребенок. Элисса, подстрекаемая Пигмалионом, вышла замуж за его дядю Сикарба, жреца храма Геракла и второго человека в государстве после самого царя, так как Пигмалион хотел заполучить сокровища, спрятанные Сикарбом. Спустя некоторое время Пигмалион попросил Элиссу разузнать, где муж прячет сокровища. Она подчинилась, но не сказала брату, где находится тайник. Пигмалион повелел убить Сикарба, чтобы завладеть его богатством, а Элисса успела скрыться на корабле вместе со знатными тирийцами, захватив сокровища с собой. Беглецы высадились на севере Африки, где их тепло приняли местные жители, заключившие с прибывшими договор: тирийцам разрешалось занять столько земли, сколько можно было покрыть бычьей шкурой. Те разрезали шкуру на очень тонкие ремни, связали их вместе и опоясали ими достаточно большой участок. Местные жители в соответствии с договором передали им землю, где был основан город. Новый город получил название Бирса, что по-финикийски означает «бычьи шкуры». Спустя некоторое время царь соседнего племени Иарбант захотел жениться на Дидоне и угрожал объявить войну в случае отказа. Дидона отказалась и покончила с собой. На основе этой легенды Вергилий создал «Энеиду» — поэму о похождениях троянского героя Энея. Корабль Энея прибивает бурей к побережью Африки, и его подбирают жители Карфагена — города, основанного Дидоной. Дидона влюбляется в Энея и умоляет его остаться. Тот отказывается, и Дидона кончает жизнь самоубийством.

«Эней рассказывает Дидоне о несчастьях Трои». Картина французского художника Пьер-Нарцисса Герена.

* * *

При спрямлении мы измеряли длину морского побережья при помощи смоченной нити, наложенной на карту. Аналогичным образом можно вычислять и площади поверхностей. Для этого нам потребуется прозрачный лист бумаги, разделенный на квадраты. Подсчитав число квадратов, покрывающих поверхность, и зная масштаб изображения, можно с хорошей точностью определить искомую площадь.

С древних времен одной из самых знаменитых задач о квадратуре была задача о квадратуре круга. Она заключается в том, чтобы с помощью циркуля и линейки построить квадрат, по площади равный данному кругу.

Площадь круга должна быть равна площади построенного квадрата.

Папирус Ахмеса (также известный как папирус Ринда по имени его владельца Генри Ринда, который приобрел его в 1858 году), обнаруженный при строительстве здания в Луксоре, был написан писцом по имени Ахмес примерно в 1650 году до н. э. и содержит информацию из периода 2000 год до н. э. — 1800 год до н. э. В задаче 48 площадь круга диаметром в 9 единиц принимается равной площади восьмиугольника, вписанного в квадрат с длиной стороны в 9 единиц, как показано на рисунке.

Фрагмент папируса Ахмеса и рассматриваемый восьмиугольник.

Площадь круга равна: 

Приближенное значение площади многоугольника принимается равным 64. В действительности оно составляет 63, так как площадь каждого квадрата равна 3 х 3 = 9, а многоугольник состоит из 5 целых квадратов и 4 половин — всего 7 квадратов площадью в 9 единиц каждый. В расчетах мы будем использовать значение площади в 64 единицы, так как 64 — квадрат (8²). Кроме того, так мы сможем использовать только дроби с числителем, равным 1, подобно древним египтянам.

Так, ~= 64. Проведя необходимые расчеты и упростив выражение, получим:

Задача о квадратуре круга наряду с задачами об удвоении куба и трисекции угла принадлежала к числу трех классических задач древнегреческой математики. Задача о вычислении квадратуры плоских поверхностей, ограниченных кривыми, вызвала бы у греков довольно много трудностей, если бы Гиппократ Хиосский (ок. 470 г. до н. э. — ок. 410 г. до н. э.) не доказал, что возможно вычисление квадратуры определенных криволинейных фигур — двуугольников, построенных особым образом.

Площадь фигуры, выделенной серым цветом, равна площади треугольника АВС.

Для простоты примем АС = СВ = 1. Если мы покажем, что площадь двуугольника АВ, который дополняет треугольник AВС до сектора, составляющего четверть круга, равна сумме площадей двух двуугольников, которые дополняют треугольник до полукруга диаметром АВ, то мы докажем исходное утверждение. Достаточно заметить, что в малом круге сумма площади треугольника и площадей двух двуугольников равна площади полукруга, равно как и сумма площади двуугольника АВ и площади фигуры, выделенной серым цветом.

Радиус большого круга равен 1, следовательно, его площадь равна π. Площадь сектора в четверть круга равна π/4. Диаметр меньшего круга равен √2, радиус — √2/2, площадь — 1/2π. Половина малого круга вновь будет иметь площадь π/4.

Иными словами, половина малого круга и четверть большого круга имеют равную площадь. Таким образом, можно утверждать, что сумма площадей двух двуугольников равна площади большого двуугольника. Отсюда следует, что площадь треугольника равна площади фигуры, выделенной серым цветом.

В 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман (1852–1939) доказал, что число π является трансцендентным, поэтому решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки невозможно. Возможно, именно после многовековых попыток решить эту задачу и возникло выражение «квадратура круга», которое в обычном языке употребляется в переносном смысле и означает нечто очень сложное.

Задачами о квадратуре занимался Евдокс Книдский. Он применил геометрический метод, в котором по мере выполнения вычислений точность результата постепенно повышалась. Метод Евдокса был схож с теми, что использовали индийцы и китайцы для вычисления длины окружности и площади круга путем последовательного построения многоугольников. Позднее подобный метод применил Архимед для вычисления площади фигуры, ограниченной дугой параболы, и объема шара. Евклид привел все эти результаты в книге XII своих «Начал» (ок. 300 г. до н. э.). В XVII веке Грегуар де Сен-Венсан (1584–1667) назвал этот метод методом исчерпывания.

Задачи о квадратуре поверхностей, ограниченных кривыми, были окончательно решены с появлением дифференциального исчисления. Интегрирование — математическая операция, позволяющая вычислять площади плоских фигур, ограниченных кривыми, если известны уравнения этих кривых. Рассмотрим пример. Пусть дана кривая — график функции f(x) = √x. Чему будет равна площадь фигуры, ограниченной этой кривой и горизонтальной осью координат на интервале от 0 до 1?

На языке математики ответ записывается так:

Следующий рисунок иллюстрирует геометрический метод вычисления искомой площади, который завершается переходом к пределу. Суть этого метода заключается в построении последовательности прямоугольников, как в ранее приведенном примере с картой и листом бумаги, разделенном на квадраты. Вычислив сумму площадей построенных прямоугольников, можно найти приближенное значение площади фигуры. Площадь этой фигуры можно покрыть прямоугольниками сверху или снизу (полученная площадь будет соответственно больше или меньше искомой площади фигуры).

Покрытие пятью прямоугольниками сверху и двенадцатью прямоугольниками снизу (в этом случае первый прямоугольник не виден, так как имеет нулевую высоту).

Основная теорема анализа, открытая Ньютоном и Лейбницем, связывает операции дифференцирования и интегрирования. Применив эту теорему к функции f(x) = √x график которой ограничивает рассматриваемую фигуру, получим первообразную функцию

Необходимо вычислить значения этой функции на концах рассматриваемого отрезка (в нашем случае — в точках 0 и 1), после чего найти разность F(1) — F(0). Таким образом, точное значение площади фигуры, ограниченной кривой, вычисляется следующим образом

Возведение в куб

Кубом называется не только правильный многогранник, каждая сторона которого представляет собой квадрат, но и результат умножения числа на само себя трижды, то есть возведения в третью степень. Это совпадение не случайно — если мы возведем число в третью степень, то есть умножим его на само себя трижды, то получим объем куба, сторона которого выражается этим числом.

Если с квадратурой была связана классическая древнегреческая задача о квадратуре круга, то с возведением в куб — задача об удвоении куба. По легенде, эпидемия чумы, разразившаяся в Афинах в 428 году до н. э., так напугала горожан, что афинским правителям пришлось обратиться за помощью к богу Аполлону. Дельфийский оракул при храме Аполлона сказал, что если построить жертвенник в два раза большего объема, чем тот, что находился в храме Аполлона, то чума прекратится. Хотя со временем эпидемия затихла сама собой, все попытки построить жертвенник в два раза большего объема потерпели неудачу.

Еврипид в одном из своих произведений так описал задачу об удвоении куба. Царь Минос при постройке гробницы своего сына Главка объявил, что мавзолей кубической формы с длиной стороны в сто шагов слишком мал для царского сына, и повелел удвоить его объем, сохранив прежнюю форму, для чего потребовал увеличить сторону мавзолея вдвое. Минос допустил грубую ошибку: если удвоить сторону куба, то объем полученного куба будет не в два, а в восемь раз больше исходного.

Древнегреческие математики не располагали современной алгебраической нотацией и должны были решить задачу об удвоении куба исключительно при помощи циркуля и линейки. Чтобы найти сторону х квадрата, площадь которого в два раза больше площади квадрата со стороной а, они вычисляли среднее пропорциональное а и 2а:

a/x = x/2a, следовательно, x√2 = a

Эта же идея была применена и для решения задачи об удвоении куба. Было показано, что решение задачи сводилось к вычислению двух средних пропорциональных а и 2а. Чтобы удвоить куб со стороной а, нужно найти сторону х куба, объем которого будет равен 

Если удастся найти значения х и у, которые будут средними пропорциональными а и 2а согласно следующему равенству:

a/x = x/y = y/2a

то задача будет решена. Этот метод решения, при котором исходная задача сводится к другой, более простой, весьма характерен для математики. Новая задача заключается в том, чтобы найти эти два средних пропорциональных.

Помимо задачи об удвоении куба, древнегреческих математиков интересовали и другие задачи, связанные с объемом тел. Согласно Архимеду, Евдокс доказал, что объем конуса равен трети объема цилиндра того же основания и высоты. Архимед доказал, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один катет которого равен радиусу круга, а длина другого равна длине окружности. Он также выразил объем шара через объем цилиндра и конуса.

Для этого Архимед рассмотрел полушар радиуса R и поместил рядом с ним прямой конус и прямой круговой цилиндр. Радиусы оснований конуса и цилиндра также равнялись R.

Сечения полушара, конуса и цилиндра.

Затем он рассек все три фигуры плоскостью, параллельной основанию цилиндра и расположенной на одинаковом расстоянии d от верха всех трех фигур, и рассмотрел полученные сечения. Сечением цилиндра была окружность радиуса R. Сечением полушара также была окружность, но другого радиуса (обозначим его через r).

Соотношение между r, d и R для полушара.

По теореме Пифагора выполняется соотношение r² + d² = R².

Сечением конуса также была окружность, но другого радиуса, d, так как угол раствора конуса составлял 45°.

Соотношение между R и d для конуса.

Площади сечений таковы:

Так как r² + d² = R², имеем:

Площадь сечения цилиндра = Площадь сечения полушара + Площадь сечения конуса.

Сечения фигуры подобны ломтям хлеба: если для каждого сечения выполняется приведенное выше соотношение, то кажется вполне очевидным, что это же отношение будет выполняться и для объемов фигур. Иными словами,

Объем цилиндра = Объем полушара + Объем конуса.

Архимед знал, как вычисляется объем цилиндра и объем конуса:

V(цилиндра) = πR³; V(конуса) = 1/πR³.

Он получил равенство

V(полушара) = V(цилиндра) — V(конуса) = πR³ — (1/3)πR³ = 2πR³/3

Таким образом,

V(сфера) = 4πR³/3.

И вновь задачи о вычислении объемов были окончательно решены с появлением дифференциального исчисления. Рассмотрим в качестве примера, как с его помощью вычисляется объем шара радиуса г. Начнем с того, что приведем уравнение окружности

х² + у² = r².

Вращая полукруг вокруг оси абсцисс, получим шар.

Шар, полученный вращением полукруга.

Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями у = f(x), у = 0, х = а и х = Ь, вокруг оси ОХ, вычисляется по формуле:

Эта формула в некотором роде отражает метод Архимеда, если интерпретировать πf(x)² как площадь круга и представить, что тело вращения, как в примере Архимеда, состоит из «ломтей»-сечений. Напомним, что  обозначает интеграл — сумму объемов бесконечного числа сечений бесконечно малой толщины (dx), которые составляют объем тела вращения. В нашем примере