С древних времен до наших дней стереографическая проекция используется при составлении карт звездного неба. Полярная стереографическая проекция использовалась исключительно в этих целях со времен Древней Греции до, возможно, 1507 года, когда она впервые была применена при составлении карты Земли. Как отмечает Джон Снайдер в книге «Как Земля стала плоской» (Flattening the Earth), эту карту изготовил Вальтер Людд из Сан-Дье. Первые печатные карты звездного неба, созданные с помощью полярной стереографической проекции, принадлежат знаменитому немецкому художнику Альбрехту Дюреру (1471–1528): в 1515 году он создал карту Северного полушария небесной сферы Imagines coeli septentrionales cum duodecim imaginibus zodiaci («Изображение северного звездного неба с двенадцатью зодиакальными созвездиями») и карту Южного полушария небесной сферы Imagines coeli meridionales («Изображение южного звездного неба»). Центры проекций этих карт располагались в Северном и Южном полюсах эклиптики соответственно. За ними последовали многие другие, например карты полушарий небесной сферы, выполненные Галлеем примерно в 1678 году, или опубликованная в «Бюллетене Французской академии наук» в 1756 году «Карта мира, содержащая небесные созвездия» (Planisphere contenant les constellations celestes) французского астронома Никола Луи де Лакайля (1713–1762), на которой изображены звезды, видимые в Южном полушарии. Карта Лакайля была включена в знаменитый атлас звездного неба Флемстида 1776 года.

Многие другие карты звездного неба в полярной стереографической проекции были созданы в золотой век небесной картографии великими астрономами, картографами и математиками: Иоганном Доппельмайером, Пьером Шарлем Ле Моннье, Жаном Домиником Кассини и многими другими.

Карта звездного неба Альбрехта Дюрера «Изображение северного звездного неба», на которой изображено Северное полушарие небесной сферы.

Полярная стереографическая проекция начала использоваться для составления карт Земли в начале XVI века. Немецкий гуманист Грегор Рейш (ок. 1470–1525) использовал ее в своей энциклопедии «Жемчужина философии» (1512) при составлении простой карты с центром в Северном полюсе. Немецкий картограф Петер Апиан (1495–1552) включил в свою «Космографию» (1524) небольшую карту Северного полушария до 25-го градуса южной широты. Французский картограф Гийом Делиль (1675–1726) в своем «Новом атласе, содержащем все части мира» (1730) привел карты Северного и Южного полушария, выполненные в полярной стереографической проекции. Аналогичные карты создал его племянник, картограф Филипп Буше (1700–1773). Так, ему принадлежит знаменитая «Карта южных земель между тропиком Козерога и Антарктическим полюсом, изображающая новые земли к югу от мыса Доброй Надежды, открытые в 1739 году». Существует два варианта этой карты: в одном из них отсутствует Антарктида, в другом на ее месте изображены две большие части суши. Последний вариант был составлен задолго до подробных исследований Австралийского континента, поэтому ее порой использовали, чтобы доказать существование Атлантиды.

Вслед за этими картами были созданы многие другие похожие карты двух полушарий, а также разработаны карты, на которых полушария изображались совместно, например «Карта магнитных меридианов и параллелей» (Karte Der Magnetischen Meridiane und Parallel-Kreise) и другие, включенные в «Физический атлас» (Physikalischer Atlas, 1848) немецкого картографа Генриха Бергхауза (1797–1884). Эти карты использовались в качестве иллюстраций к труду «Космос, или Физическое мироописание» немецкого натуралиста и путешественника Александра фон Гумбольдта (1769–1859).

«Карта магнитных меридианов и параллелей», на которой изображены два полушария в стереографической проекции, составленная немецким географом Генрихом Бергхаузом.

* * *

КАРТЫ ЗВЕЗДНОГО НЕБА, ЧАСТЬ ВТОРАЯ

Звезды на небе располагаются равномерно, и когда мы смотрим на них ночью, то кажется, что они закреплены на огромной сфере, заключающей в себе наш мир. Причина в том, что звезды находятся очень далеко от нас. Идеальная сфера неопределенного радиуса, центр которой совпадает с центром Земли и на которой, как нам кажется, находятся звезды, называется небесной сферой.

Существует две системы небесных координат, аналогичных земным, с небесным экватором, Северным и Южным полюсами мира, небесными меридианами и параллелями и углами, определяющими положение каждой звезды на небосводе подобно широте и долготе. Первая система небесных координат, которая чаще применялась в Античности, — это эклиптическая система. В ней за основу взята плоскость эклиптики — плоскость вращения Земли вокруг Солнца, которая играет роль небесного экватора. В основе второй, более современной системы координат, находится земной экватор. Зенит — это наивысшая точка небесной сферы над головой наблюдателя, надир — точка, диаметрально противоположная зениту.

Небесную сферу, для которой известны положения звезд и созвездий в этих координатах, можно спроецировать на плоскую поверхность и получить карту звездного неба подобно тому, как строятся карты Земли. При создании карт звездного неба применяются те же проекции, что и при составлении карт Земли. Однако в картах звездного неба чаще всего используются гномоническая, стереографическая и равнопромежуточная проекции. С их помощью можно создать карты, центром которых будет зенит, так как в этих проекциях искажения вокруг центра одинаковы. Кроме того, с помощью этих азимутальных проекций проще определить направление, вдоль которого следует смотреть, чтобы увидеть определенную звезду. Подходящая проекция выбирается в зависимости оттого, чего мы хотим: чтобы звезды, находящиеся на одном большом круге, были изображены на одной прямой; чтобы карта сохраняла углы; чтобы искажения были не слишком велики.

Карта участка небесной сферы вблизи Южного полюса мира, составленная Никола Луи де Лакайлем, приведенная в четвертом издании атласа звездного неба Флемстида.

* * *

Полярная стереографическая проекция достаточно часто используется при составлении карт приполярных территорий, так как если не рассматривать участки, далекие от центра проекции, общие искажения очень малы. Эту проекцию часто используют при составлении карт Антарктиды и территорий, лежащих за Северным полярным кругом, Геологическая служба США и многие другие международные агентства, например Центр изучения снега и льда (The National Snow and Ice Data Center) и Национальное управление океанических и атмосферных исследований США (National Oceanic and Atmospheric Administration). Применяется она и в случае, когда необходимо использовать конформную проекцию, например при составлении метеорологических карт, карт ветров Антарктиды и других.

Эта проекция лежит в основе системы координат UPS (универсальной полярной системы координат), которая вместе с системой UTM (от англ. Universal Transverse Mercator — универсальная поперечная проекция Меркатора) представляет собой систему координат, или проекций, для изображения всей земной поверхности. Система определяет ряд зон среднего размера, которые можно изобразить в выбранной проекции с очень малыми искажениями. Благодаря этому систему UPS использует большинство картографических служб мира при составлении карт определенных размеров. Мы вернемся к этой системе координат в главе 9, посвященной проекции Меркатора.

Полярная стереографическая проекция также применяется при составлении карт областей среднего размера, близких к полюсам: в картах России, Европы или некоторых европейских стран, в частности Швеции, а также в картах Австралии и Северной Америки.

Погодная карта Европы, выполненная в полярной стереографической проекции.

Еще одна разновидность стереографической проекции — экваториальная, в которой точка касания сферы и плоскости проекции, то есть центр карты, находится на экваторе. Эту проекцию использовал арабский математик Аз-Заркали при конструировании астролябии, а для создания карт Земли она начала применяться с XVI века. Старейшая карта в этой проекции, дошедшая до наших дней, — это простая карта двух полушарий, составленная французским картографом Жаном Ротцем.

* * *

* * *

Экваториальная стереографическая проекция в течение нескольких столетий была стандартной для изготовления карт мира благодаря Румольду Меркатору, сыну и наследнику Герарда Меркатора, который использовал ее в карте «Краткое описание мира» (Orbis terrae compendiosa descriptio, 1587), включенной в издание Атласа Меркатора 1595 года.

В зависимости от того, на какой части экватора располагается центр одного из полушарий (центром второго полушария будет диаметрально противоположная точка небесной сферы), карта мира будет выглядеть по-разному. На картах Румольда Меркатора, в «Новом и точнейшем представлении о мире» (Nova et accuratissima terrarum orbis tabula, 1664) голландского картографа Яна Блау (1596–1673), сына картографа Виллема Блау, или в «Новом точнейшем представлении мира» (Orbis terrarum nova et accuratissima tabula, 1666) Петера Гооса (на этих картах Калифорния изображена как остров, и эта картографическая ошибка повторяется на многих картах XVII и XVIII веков), центр расположен на меридиане Каспийского моря, поэтому на одном из полушарий изображены Европа, Африка, Азия и часть Океании, на другом — Тихий океан и Америка.

Карта двух полушарий «Краткое описание мира» (Orbis terrae compendiosa descriptio, 1587) Румольда Меркатора, выполненная в экваториальной стереографической проекции. На карте можно увидеть, как картографы того времени представляли себе Америку и Антарктиду.

Другие картографы, подобно Иодокусу Хондиусу (он в своем «Изображении всех морских экспедиций» (Vera totius expeditionis nauticae, стр. 106) отметил маршруты кругосветных путешествий Фрэнсиса Дрейка и Томаса Кавендиша), строили эту проекцию с поворотом на 90° и располагали центры полушарий в Атлантическом и Тихом океане соответственно. Некоторые изображали Европу и Африку в центре одного из полушарий — такую карту составил немецкий картограф Филипп Эккебрехт (1594–1667) в 1630 году для трактата по астрономии, написанного немецким математиком и астрономом Иоганном Кеплером (1571–1630).

Начиная с этого времени экваториальная стереографическая проекция стала использоваться для составления карт различных участков земного шара. Так, немецкий картограф Иоганн Баптист Гоманн (1664–1724) использовал эту проекцию не только в типичной для того времени карте мира, разделенной на два полушария, но и в картах Европы, Азии, Африки и Америки. По его стопам пошли и другие картографы, например Йодокус Хондиус, применивший эту проекцию для «Вновь начерченной карты Америки» (America noviter delineata, 1640).

Косую стереографическую проекцию первым использовал при составлении карт звездного неба в IV веке н. э. греческий математик и астроном Теон Александрийский, возможно, последний управитель Александрийской библиотеки и отец известной женщины-математика Гипатии. Сегодня стереографическая проекция указывается в числе рекомендуемых для составления карт звездного неба наряду с другими азимутальными проекциями, гномонической и равнопромежуточной.

Использовать косую стереографическую проекцию для составления карт Земли предложил австрийский картограф Иоганнес Стабиус (1450–1522). Эта проекция стала популярной благодаря немецкому математику Иоганнесу Вернеру (1468–1522), который включил ее в перевод «Географии» Птолемея на латынь. Следует учесть, что одной из основных задач, связанных с использованием новых проекций, было не их геометрическое определение, а создание методов их построения, что в те годы происходило вручную. Так, в книге Джона Снайдера «Как Земля стала плоской» (Flattening the Earth) приведены некоторые методы построения стереографической и других картографических проекций.

В XVI и XVII веках эта проекция использовалась очень редко. Одним из исключений стал атлас мореплавателя и космографа Жака де Воля (ок. 1555–1597), который в 1583 году построил карту двух полушарий в этой проекции. Центр первого полушария располагался в Париже, центр второго, с изображением Антарктиды, был диаметрально противоположен ему. Эта проекция также использовалась в картах Европы и Азии английского историка Джона Спида (1552–1629). Хотя косая стереографическая проекция не снискала большой популярности, она применяется до сих пор: в публикации «Картографические проекции Европы» (Map Projections for Europe, 2003) Института экологии и окружающей среды ЕС (Institute for Environment and Sustainability) отмечается, что эта проекция используется, например, при составлении карт Нидерландов, Польши и Румынии. Применяла ее и Геологическая служба США при составлении карт Луны, Марса и Меркурия. Кроме того, на основе этой проекции Анри Руссель в 1922 году создал новую проекцию, которая использовалась в СССР и Геологической службой США.

Благодаря богатству геометрических свойств стереографическая проекция нашла применение во многих областях науки, в частности в таких разделах математики, как комплексный анализ, неевклидова геометрия, дифференциальная геометрия, аналитическая геометрия и топология. Эта проекция используется в физике, структурной геологии и инженерном деле, а также применяется в кристаллографии для изучения свойств симметрии кристаллов, так как благодаря конформности она сохраняет углы между гранями и ребрами кристаллов. В фотографии эта проекция используется при конструировании широкоугольных объективов типа «рыбий глаз» с максимально широким углом обзора.

Фотографии, выполненные в стереографической проекции широкоугольным объективом типа «рыбий глаз», стали популярными в фотоискусстве

_{(источник: Александр Дюре-Лутц).}

Конформные проекции особенно удобны, когда важны углы или направления (румбы), например в морской и воздушной навигации. Помимо уже упомянутых ортодром, в навигации важную роль играют локсодромы (кривые, пересекающие меридианы под постоянным углом), так как при прокладке курса вдоль локсодромы нужно всего лишь держаться одного и того же румба, указываемого, например, стрелкой компаса. По этой причине сохраняется актуальность проекции Меркатора, в которой локсодромы изображаются прямыми, следовательно, их можно легко начертить на карте. Так как эти проекции сохраняют величины углов, они также применяются в геодезии, метеорологии (для изображения, например, направлений ветров или перпендикулярных им изобар) и океанографии. Они также находят применение при анализе распространения волн, например сейсмических или радиоволн, которое, как известно, происходит радиально: не будем забывать, что в конформных проекциях окружности изображаются как окружности или прямые. Наконец, как показала американский биоматематик Моника Хёрдал из Университета штата Флорида, конформные проекции важно использовать при составлении карт мозга.

Квинкунциальная проекция Пирса — это конформная проекция, определяемая с помощью методов комплексного анализа на основе стереографической проекции. В квинкунциальной проекции Пирса сфера принимает форму квадрата.

Наконец, так как конформные проекции сохраняют формы на локальном уровне, они удобны для составления карт небольших участков земли.

Чаще всего используются следующие конформные проекции: уже рассмотренная нами стереографическая проекция, проекция Меркатора, равноугольная коническая проекция Ламберта и биполярная косая равноугольная коническая проекция. Существуют и другие конформные проекции, например проекция Лагранжа, представленная Ламбертом в 1772 году, проекции Августа и Айзенлора, представленные около 1870 года, квинкунциальная проекция Пирса, в которой Земля изображена в виде квадрата (1879), и квадратная проекция Гойю (1887).