Прямые также можно определить как кривые, обладающие
нулевой кривизной. Можно ли дать похожее определение большим кругам
сферы? Кажется очевидным, что окружность, будучи плоской кривой, имеет
одинаковую кривизну во всех точках, и эта кривизна ненулевая. Кроме
того, чем больше радиус окружности, тем более вытянутой она будет, и тем
меньше будет ее кривизна (см. иллюстрацию на следующей странице).
Геометрически кривизна окружности радиуса r равна 1/r.
Следовательно, чем больше радиус окружности, тем меньше ее кривизна.
Изменение кривизны окружности в зависимости от ее радиуса можно
почувствовать, если проехать на велосипеде по кругу: в зависимости от
радиуса круга нужно будет поворачивать руль на больший или меньший угол.
Когда мы не поворачиваем руль, велосипед движется по «прямой», то есть
по большому кругу, имеющему наименьшую кривизну. Следовательно, большие
круги имеют наименьшую кривизну, а их радиус будет наибольшим.
Чем больше радиус окружности r, тем меньше ее кривизна k.
В действительности геометры определили новую
величину, которую можно назвать кривизной кривой на заданной
поверхности. Это так называемая геодезическая кривизна, которая
указывает степень кривизны кривой на поверхности, которой она
принадлежит. В качестве окружающего пространства рассматривается именно
эта поверхность, а не трехмерное пространство.
Геодезическая кривизна геодезических линий, в
частности больших кругов сферы, равна нулю, что является обобщением
кривизны прямой на плоскости.
| 
