Суббота, 26.09.2020, 20:36
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Статистика

Онлайн всего: 6
Гостей: 6
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА

Определение и картографические свойства
19.01.2016, 21:28
Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта при проецировании сферы на касающийся ее цилиндр определяется так: проекция любой точки сферы А — это точка цилиндра А' такая, что она является точкой пересечения поверхности цилиндра с прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной оси цилиндра, как показано на рисунке. Эта проекция, очевидно, является геометрической, а Землю мы представляем как полупрозрачный пластиковый шар. Проекция земной поверхности на поверхность цилиндра образуется, если мы поместим источник света вдоль всей оси цилиндра, окружив ее линзой, которая пропускает только лучи света в горизонтальной плоскости, то есть перпендикулярно оси цилиндра.


В равновеликой цилиндрической проекции Ламберта точки земной сферы горизонтально проецируются на поверхность цилиндра, касающегося сферы. Затем цилиндр разрезается по меридиану и разворачивается на плоскости.

* * *

ИОГАНН ГЕНРИХ ЛАМБЕРТ (1728–1777)

Иоганн Генрих Ламберт родился в немецком городе Мюльхаузен в провинции Эльзас (в настоящее время — Мюлуз, Франция), куда члены его семьи переехали по религиозным причинам: они были кальвинистами. В 12 лет Ламберту пришлось оставить школу и помогать отцу-портному, но в свободное время Ламберт продолжал учиться самостоятельно. Позднее он работал клерком в сталелитейной мастерской, а в 1746 году занял должность частного секретаря швейцарского философа Исаака Изелина (1728–1782) в Базеле. Двумя годами позже он стал преподавателем в доме графа Питера фон Салиса в Куре. В этой должности у него оставалось достаточно свободного времени, чтобы заниматься математикой, астрономией и философией, а также пользоваться книгами из превосходной графской библиотеки.

Ламберт был исключительным математиком: он доказал иррациональность числа π и предположил, что числа е и π трансцендентны, то есть их нельзя представить как корни многочлена с целыми коэффициентами. Он одним из первых изучил проблему, связанную с пятым постулатом Евклида. Ламберт предположил, что пятый постулат ложен, и получил результаты, относящиеся к неевклидовой геометрии. Он занимался гиперболическими функциями, проводил важные исследования в сферической геометрии, картографии и науке о перспективе, а также совершил важные открытия в теории вероятностей. Интересы Ламберта не ограничивались исключительно математикой: он также был автором важных работ по физике, астрономии и философии.

* * *

Если мы примем радиус земной сферы равным единице и будем считать, что цилиндр касается ее в точках, лежащих на экваторе, то ось цилиндра будет проходить через Северный и Южный полюса. После построения проекции сферы на поверхность цилиндра он разрезается по меридиану и разворачивается на плоскости. Эта развертка цилиндра на плоскости является изометрической и сохраняет все интересующие нас метрические свойства. Первую карту мира в этой проекции составил Иоганн Генрих Ламберт в 1772 году.



Карта, выполненная в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта (1772).


Далее перечислены некоторые свойства карты, выполненной в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта.

1. Она имеет прямоугольную форму, как и все карты, выполненные в цилиндрических проекциях.

2. Меридианы и параллели отображаются как прямые, они имеют равную длину (но не равны между собой) и перпендикулярны друг другу.

3. Меридианы распределены равномерно вследствие того, что масштаб во всех точках каждой параллели постоянен, однако масштабы на разных параллелях отличаются. Параллели распределены неравномерно и сближаются друг с другом по мере приближения к полюсам.

4. Так как проекция является равновеликой, она сохраняет площади (с учетом коэффициента масштаба поверхности). Этот коэффициент возникает при уменьшении размеров земной сферы (то есть при гомотетии) и постоянен во всех точках карты. Однако величины углов и геодезические линии не сохраняются.

3. Искажение форм, углов и расстояний вблизи экватора очень мало и растет по мере приближения к полюсам.


Вернемся к основному вопросу этой главы — как изменяются площади, углы и геодезические линии в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта? Чтобы доказать, что эта проекция сохраняет площади, достаточно показать, что она сохраняет площади «прямоугольных» (достаточно малых, то есть бесконечно малых) участков, сторонами которых являются меридианы и параллели.

Как показано на следующем рисунке, для данной точки сферы на широте φ отображением меридиана (достаточно малого) длины будет отрезок прямой на поверхности цилиндра длиной l'l·cos φ, а отображением параллели (достаточно малой) длины k будет дуга окружности на поверхности цилиндра, длина которой будет равна k' = k/cos φ. Следовательно, бесконечно малый «прямоугольник» с основанием k и высотой l на поверхности сферы, площадь которого равна l·k, преобразуется в «прямоугольник» с основанием k' = k/cos φ и высотой l' l·cos φ. Площадь полученного прямоугольника также будет равна l·k. Как следствие, проекция Архимеда сохраняет площади неизменными.

Напомним, что в этой книге мы приводим только интуитивно понятные доказательства в духе классической геометрии. Более строгое доказательство требует использования дифференциальной геометрии и методов математического анализа.



Проекция Архимеда является равновеликой.


Тем не менее величины углов на карте, выполненной в проекции Ламберта, не сохраняются. Чтобы убедиться в этом, посмотрите на предыдущий рисунок. В силу искажений меридианов (они сжимаются) и параллелей (они расширяются) угол между основанием и диагональю прямоугольника на сфере будет больше, чем этот же угол в проекции прямоугольника на плоскость. Однако прямые углы между меридианами и параллелями сохраняются. Из вышеизложенного можно сделать вывод о необходимых и достаточных условиях сохранения величин углов.

1. Должны сохраняться углы между меридианами и параллелями (эти углы прямые, то есть равны 90°).

2. Искажение в направлении меридианов μ должно быть равно искажению в направлении параллелей λ.

По теореме Пифагора, если оба этих свойства выполняются, то искажения в любом направлении всегда будут одинаковыми. В частности, мы показали, что для равновеликой цилиндрической проекции Ламберта искажение в направлении меридианов равно μ = cos φ, искажение в направлении параллелей — λ = 1/cos φ, а круг, центром которого является точка на сфере, в этой проекции преобразуется в эллипс на плоскости, вытянутый в направлении «запад — восток». На следующей иллюстрации изображены эллипсы, построенные в различных участках Земли, которые позволяют увидеть искажения на различных широтах.



Индикатриса Тиссо, или эллипс искажения — один из способов графического изображения искажений на карте. В разных участках земной поверхности строятся небольшие окружности, после чего по их проекциям на карте можно увидеть проективные искажения в различных участках карты. Так, если мы примем радиус окружности равным λ, она преобразуется в эллипс, длины полуосей которого будут равны λ и μ. Если λ μ, то эллипсы примут форму окружностей, а отображение будет конформным. При λ = 1/ μ отображение будет равновеликим. На иллюстрации представлена индикатриса Тиссо для равновеликой цилиндрической проекции Ламберта.


Наконец, очевидно, что эта проекция не сохраняет геодезические линии, за исключением меридианов и экватора. Вывод таков: равновеликие проекции могут не быть изометрическими, и одного лишь сохранения площадей для создания точной карты Земли недостаточно.

Категория: КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА | Добавил: admin | Теги: ИТК и мате, Мир Математики, искусственный интеллект, машинное обучение, популярная математик, математика и информатик, дидактический материал по матем
Просмотров: 522 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2020
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru