В завершение этой главы мы расскажем еще об одной группе проекций, обладающих общими метрическими свойствами. Как мы уже говорили, каждый картограф мечтает о карте с постоянным масштабом (коэффициентом уменьшения), единственным искажением которой будет равномерное изменение размера. Однако мы доказали, что построить такую карту невозможно: масштаб любого изображения Земли на плоскости не является постоянным и отличается в разных точках и направлениях, поскольку любая картографическая проекция неизбежно вносит искажения. Тем не менее существуют проекции, в которых некоторое семейство кривых будет иметь постоянный масштаб, а их длина будет пропорциональна длине этих кривых, начерченных на поверхности Земли (такие кривые называются стандартными). Проекции, обладающие этим свойством, называются равнопромежуточными. Рассмотрим три примера проекций этой группы: цилиндрическую, азимутальную и коническую.

Цилиндрическая равнопромежуточная проекция

С математической точки зрения эта проекция тривиальна. В простейшем случае, когда линия касания проходит по экватору, широта и долгота точки интерпретируются как ее декартовы координаты (см. следующий рисунок). В равновеликой цилиндрической проекции Ламберта участки земной поверхности, расположенные на высоких широтах, словно сжимаются, в проекции Меркатора — расширяются, а в цилиндрической равнопромежуточной проекции все параллели равноудалены друг от друга. Вдоль меридианов и экватора масштаб остается постоянным (в этом случае сетка меридианов и параллелей будет квадратной: такая проекция носит название plate саrréе). Кроме того, искажения отсутствуют вдоль меридианов и любых двух параллелей, равноудаленных от экватора (такая проекция называется равнопрямоугольной). Авторство этой проекции обычно приписывают Эратосфену, хотя Птолемей указывает, что ее создал Марин Тирский примерно в 100 году н. э. Начиная с этого времени цилиндрическая равнопромежуточная проекция благодаря простоте построения использовалась весьма часто, особенно в навигации. Она очень удобна для составления карт городов и любых малых участков земной поверхности.

Эта проекция используется в простых картах мира и в картах регионов, не содержащих много географических данных. Однако для составления более или менее подробных карт эта проекция в XX веке практически не применяется. Геологическая служба США и другие агентства обычно используют ее для индексных карт, на которых схематично указываются различные карты, включенные в сборник или атлас, и страница, на которой они находятся.

Карта, выполненная в проекции plate саrréе. Эта проекция — частный случай равнопрямоугольной проекции, в которой стандартной параллелью является экватор.

Азимутальная равнопромежуточная проекция

Это четвертая классическая азимутальная проекция. В отличие от трех вышеупомянутых она не является геометрической. Как и в других азимутальных проекциях, геодезические линии, то есть большие круги, проходящие через точку касания сферы и плоскости, изображаются на плоскости прямыми, проходящими через центр карты, при этом угол между геодезическими линиями сохраняется. Эта проекция обладает частным свойством: ее масштаб не изменяется вдоль прямых, проходящих через центр карты (это стандартные линии равнопромежуточной проекции). Иными словами, в этой проекции сохраняются расстояния от любых точек до центра карты. Кроме того, азимутальная равнопромежуточная проекция позволяет представить на одной карте поверхность всего земного шара, однако при выходе за пределы большого круга — границы полушария, проходящей через точку касания сферы и плоскости, — искажения становятся очень велики. Эта карта имеет одну особую точку, которая становится «центром мира». Все расстояния до этой точки сохраняются.

Карта, выполненная в азимутальной равнопромежуточной проекции с центром в Северном полюсе. Справа — флаг ООН.

В полярной разновидности этой проекции меридианы изображаются прямыми, исходящими из центра карты — проекции точки касания. Параллели изображаются в виде концентрических окружностей, равноудаленных друг от друга. Карта, выполненная в проекции, центр которой совпадает с Северным полюсом, прекрасно нам знакома — ее можно увидеть на флаге и эмблеме Организации Объединенных Наций (ООН). Вместо Антарктиды на флаге ООН изображена оливковая ветвь. Так как построение полярной азимутальной равнопромежуточной проекции очень просто, логично предположить, что эта проекция использовалась с древности. Считается, что древние египтяне с ее помощью строили карты звездного неба, однако древнейшая из известных нам карт, выполненных в этой проекции, была изготовлена Конрадом де Диффенбахом в 1426 году. При составлении карты Земли первым эту проекцию применил Меркатор в своей знаменитой карте мира 1569 года. На ней были изображены два круга с изображениями приполярных областей. Позднее эта проекция использовалась для решения самых разных задач: она широко применяется при составлении карт отдельных полушарий и всей земной поверхности, также ее можно встретить во множестве атласов приполярных зон, изданных в последние два столетия. В этой проекции строятся карты приполярных областей, помещаемые рядом с картами мира, выполненными в других проекциях, как, например, на картах в проекции Ван дер Гринтена, выпускаемых Национальным географическим обществом, или в картах Геологической службы США.

Карта, выполненная в азимутальной равнопромежуточной проекции, с центром в Кабуле — столице Афганистана.

Так как построить косую и экваториальную разновидности этой проекции сложно, до XIX века они не рассматривались. Косая азимутальная равнопромежуточная проекция используется для составления карт континентов и карт мира с центрами в крупных городах, в отличие от экваториальной разновидности этой проекции — возможно, потому что экватор не проходит через какие-либо «важные», по мнению составителей карт, города или страны.

Эта проекция представляет большой интерес в ситуациях, когда необходимо рассмотреть расстояния или кратчайшие пути из данной точки. Например, карту в этой проекции может использовать командующий военной базы, чтобы определить, какие города попадают в зону поражения ракет, капитан корабля или самолета — чтобы определить фиксированный курс из порта или аэропорта отправления до различных частей света или, совместно с картами в проекции Меркатора (о них мы поговорим в главе 9), для прокладки курса между двумя точками. Эта проекция используется не только в навигации, но и при изучении землетрясений. Применяют ее и радисты, работающие с направленными антеннами, для определения направлений сигнала.

Коническая равнопромежуточная проекция

Как и в любой другой прямой конической проекции, полученная карта имеет форму сектора кольца, в котором меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из одной точки, и разделены интервалами с одинаковыми угловыми размерами. Параллели изображаются дугами концентрических окружностей, пересекающими меридианы под прямым углом, при этом они обладают дополнительным свойством, вносимым равнопромежуточной проекцией: параллели равноудалены друг от друга, поэтому масштаб будет неизменным вдоль всех меридианов, которые, таким образом, будут стандартными кривыми этой проекции. Эта проекция не является ни конформной, ни равновеликой и не сохраняет формы.

Как и другие конические проекции, она подходит для изображения регионов с умеренным климатом. Если линия касания конуса и сферической модели Земли проходит вдоль параллели, проекция будет удобной для изображения стран и территорий, расположенных вблизи этой параллели. Для составления карт протяженных регионов, например России, Европы или Северной Америки, удобнее использовать разновидность этой проекции с двумя стандартными параллелями, проходящими по изображаемой территории.

В первой карте Птолемея использована проекция, напоминающая коническую равнопромежуточную. С севера карта Птолемея обрезана вдоль параллели легендарного острова Туле, с юга — вдоль экватора.