Работая над своими сложными математическими теориями,
Бойяи и Лобачевский вывели тригонометрические выражения для
гиперболической геометрии. Удивительным является тот факт, что, как и
все остальное, они сделали это независимо друг от друга. Это
свидетельствует об их гениальности, но также показывает, что результаты,
которые они получили, действительно являются правильными.
Соотношения, выведенные Бойяи и Лобачевским, в малых
областях могут быть сведены к формулам классической тригонометрии, но в
других случаях они характеризуют новые, совершенно неисследованные миры.
Для переменной х гиперболический синус и гиперболический косинус определяются следующим образом:
Аналогично элементарной тригонометрии, гиперболический тангенс определяется следующей формулой:
th x = sh x/ch x
Здесь мы вкратце напомним так называемую теорему синусов.
В треугольнике со сторонами а, b и с и с углами А, В и С
справедливо следующее соотношение:
a/sin A = b/sin В = c/sin С
Аналогичное соотношение можно сформулировать в гиперболической тригонометрии:
sin A/sh a = sin B/sh b = sin С/sh c
Чтобы проверить гиперболические равенства, нужно подставить вместо гиперболических функций их определения:
и затем, выполнив соответствующие расчеты, убедиться, что получится один и тот же ответ.
Используя определения гиперболических синуса и
косинуса, можно вывести и другие тригонометрические тождества,
аналогичные известным тождествам из евклидовой геометрии. Например, мы
можем проверить, что
ch(x + у) = chx·chy + shx·shy
аналогично традиционному выражению
cos(x + у) = cosx·cosy + sinx·siny
* * *
ОСНОВНОЕ ТОЖДЕСТВО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ
В евклидовой тригонометрии есть важное соотношение, называемое основным тригонометрическим тождеством, которое утверждает, что sin2x + cos2x = 1. Аналогом в гиперболической тригонометрии является следующее тождество:
ВОПРОС ТЕРМИНОЛОГИИ
В евклидовой терминологии синус и косинус называются
круговыми функциями, поскольку они получаются из свойств круга.
Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале системы координат.
Уравнение этой окружности записывается как х2 + у2 = 1. В этом простом уравнении мы можем сделать замену переменной, выразив переменные х и у через параметр t следующим образом: х = cost и у = sint. Здесь х и у удовлетворяют соотношению х2 + у2 = 1. Такое уравнение называется параметрическим уравнением окружности.
Если вместо круга мы возьмем гиперболу, график функции х2 — у2 = 1, то х = ch t и у = sh t удовлетворяют соотношению х2 — у2 = 1. Это уравнение называется «уравнением гиперболы».
Эти графики нам уже знакомы. Гипербола напоминает нам псевдосферу.
* * *
Что касается тангенсов, то можно показать, что
аналогично традиционному выражению
* * *
ЕВКЛИДОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ
Тригонометрические тождества для суммы и разности выглядят следующим образом:
sin(x + у) = sinx·cosy + cosx·siny
cos(x + у) = cosx·cosy — sinx·siny
sin(x — y) = sinx·cosy — cosx·siny
cos(x — y) = cosx·cosy + sinx·siny
* * *
РЕШЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ЕГО УГЛАМ
Пусть в гиперболическом треугольнике даны внутренние углы А = 8°, В = 22° и С = 40°. Надо найти угловой дефект и длины сторон треугольника.
Угловой дефект считается по формуле 180° — (8° + 22°
+ 40°) = 110°. Для вычисления длин сторон мы воспользуемся
гиперболической теоремой косинусов и получим
Это позволяет нам вычислить значение а. Для
этого воспользуемся калькулятором и посчитаем функцию, обратную
гиперболическому косинусу. Получим значение 2,642857562. Далее
что дает нам длину b = 3,628644458. И наконец
К счастью, современные калькуляторы имеют эти функции, и расчеты можно делать без утомительных промежуточных вычислений.
* * *
Аналогично можно проверить другие соотношения с помощью определений гиперболических синуса и косинуса.
По таблице традиционных тригонометрических тождеств
можно составить аналогичные соотношения гиперболической геометрии.
Просто надо от функций sinх и cosх перейти к гиперболическим функциям shх и chх
соответственно, внося необходимые поправки, поскольку, как мы видели,
разница состоит не только в обозначениях. Необходимо, например, изменить
знак каждого члена, содержащего произведение двух гиперболических
синусов.
Это простое правило позволяет получить соотношения для гиперболической тригонометрии из их евклидовых аналогов:
sh(x + у) = shx·chy + chx·shy
sh(x — у) = shx·chy — chx·shy
ch(x + y) = chx·chy + shx·shy
ch(x — y) = chx·chy — shx·shy
Классическая и гиперболическая тригонометрии
Как мы видели, гиперболическая тригонометрия похожа
на традиционную, изучаемую в школе: обе имеют аналогичные соотношения.
Приведенные ниже выражения содержат функции из обеих тригонометрий.
Рассмотрим треугольник с углами А, В и С и сторонами а, b и с, как показано на рисунке:
Для него справедливы следующие соотношения:
1) гиперболическая теорема косинусов для углов:
cosА = —cosВ·cosС + sinВ·sinС·chа;
2) гиперболическая теорема косинусов для сторон:
chа = chb·chс — shb·shс·cosА;
3) cosА = chа·sinВ;
4) β/2 = α.
Приведенные выше выражения также справедливы, если мы заменим а, Ь, с и А, В, С на Ь, с, а и В, С, А
соответственно в результате так называемой круговой перестановки. Таким
образом мы можем составить полную таблицу соотношений между
традиционной и гиперболической тригонометриями.
| 
