Первыми математиками, которые разделили все геометрии на три типа, были Феликс Клейн и основатель современной британской школы чистой математики Артур Кэли (1821–1895). Выделив гиперболическую и эллиптическую геометрии, они описали евклидову геометрию как параболическую. О причинах этого мы расскажем позже.

Неевклидовы геометрии не затмили их знаменитую предшественницу. Конечно, они все отличаются, но и сходств между ними достаточно много. В евклидовой геометрии две прямые пересекаются в точке, то же самое происходит в геометрии Лобачевского. У Римана две прямые (большие окружности) всегда пересекаются в точке и в ее антиподе с другой стороны сферы.

У Евклида через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной. Лобачевский утверждал, что таких прямых по крайней мере две. По словам Римана, таких прямых вообще не бывает.

У Евклида параллельные прямые находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, у Лобачевского это не так. Что касается суммы углов треугольника, у Евклида она всегда 180°, у Лобачевского — меньше 180°, а у Римана — больше 180°.

Если взять точку на прямой линии, то у Евклида и Лобачевского линия будет разделена на две части, но у Римана это не так. У Евклида два треугольника с одинаковыми углами подобны, а у Лобачевского и Римана такие треугольники конгруэнтны.

В следующей таблице приведены основные различия этих геометрий:

Евклидова геометрия может быть построена на плоскости, гиперболическая геометрия — на поверхности псевдосферы, а эллиптическая — на поверхности сферы.

Эти модели наглядно показывают интерпретацию пятого постулата в каждой геометрии, что изображено на следующих рисунках вместе с соответствующими проекциями. Обратите также внимание на то, как выглядят прямоугольники в каждой геометрии.

В евклидовом прямоугольнике все углы по 90°, в геометрии Лобачевского углы «прямоугольника» меньше 90°, а в эллиптической геометрии — больше 90°.

На евклидовой плоскости только одна прямая параллельна l. На псевдосфере бесконечное число прямых, проходящих через Р и лежащих между прямыми l₁ и l₂, не пересекаются с прямой l. На сферической поверхности через точку Р не проходит ни одной линии, параллельной l. Прямая l пересекает любую другую, проходящую через точку Р.

* * *

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ В РЕАЛЬНОСТИ

На всех глобусах Земли изображены меридианы. Все эти линии, перпендикулярные экватору, пересекаются в двух точках, в полюсах сферы. Кроме того, меридианы являются конечными линиями. Тот же эффект можно наблюдать вдоль длинной прямой дороги: кажется, что параллельные линии встречаются на горизонте. Даже евклидова реальность предполагает существование других геометрий.

С другой стороны, если мы представим себя на поверхности шара и нарисуем там треугольник, чему будет равна сумма его внутренних углов? А если мы представим себя на внутренней поверхности шара, чему тогда будет равна сумма внутренних углов треугольника? А теперь представьте себе огромный воздушный шар, бесконечно большой, на поверхности которого живут крошечные, бесконечно малые существа. В их мире, кривая поверхность будет казаться плоской, то есть, евклидовой.

* * *

Муравьиные бега

Воображаемые муравьиные бега являются очень удобным способом ясно и наглядно смоделировать три типа геометрии и проиллюстрировать их сходства и различия.

Представьте себе двух муравьев, участвующих в бегах. Они начинают бежать примерно одновременно, и в принципе они бегут параллельно друг другу. Муравьи всегда бегут вперед, не поворачивая налево или направо, но их прямолинейная траектория будет выглядеть по-разному в зависимости от типа геометрии, используемой для описания поверхности.

Если два муравья бегут по идеально ровной поверхности — евклидовой плоскости, — их пути не будут ни сходиться, ни расходиться, а будут оставаться на равном расстоянии друг от друга.

Если муравьи бегут по искривленной поверхности, их пути либо сходятся, либо расходятся, поскольку являются прямыми линиями на данной поверхности. Как показано на следующем рисунке, если поверхность имеет сферическую форму, муравьи в конечном итоге встретятся, потому что пространство, в котором они движутся, не просто кривое, но и вогнутое. Если поверхность гиперболическая, муравьи постепенно разойдутся, потому что это пространство выпуклое.

Чтобы оставаться на одинаковом расстоянии друг от друга в сферическом или гиперболическом мире, его жителям придется постоянно корректировать свои пути, двигаться не по параллельным линиям и вообще отказаться от постулата о параллелях. Действительно, если такой мир существует, понятие параллельных линий там будет сильно отличаться от евклидова. Таким образом, важно понимать, что жители сферического или гиперболического мира даже не замечают, что их пути сходятся или расходятся, потому что приборы для измерения расстояния в их мире также другие. Они бы могли что-то заметить, если бы имели измерительное оборудование из евклидова мира.