Вторник, 18.02.2020, 04:32
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ
В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Статистика

Онлайн всего: 2
Гостей: 2
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ

Живительные результаты гиперболической геометрии
04.11.2015, 20:58
До сих пор мы рассматривали основные понятия неевклидовых геометрий, а также исторические обстоятельства их появления и биографии первооткрывателей. В этой главе мы разберем одну из них более подробно, обращая внимание на математические последствия отказа от пятого постулата Евклида.

Для начала мы изложим основные результаты Бойяи и Лобачевского, чтобы лучше понять, как выглядит и работает их геометрия, но мы, конечно, не будем приводить полный перечень всех теорем и доказательств.

Наиболее важным результатом являются изменения в восприятии пространства человеческим разумом. Графические иллюстрации, конечно, играют вспомогательную роль и не являются строгими математическими аргументами, хотя они помогают наглядно пояснить эти понятия.

Как мы уже видели, гиперболическая геометрия является неевклидовой, когда пятый постулат о параллельных прямых заменен следующим: через точку Р вне прямой l можно провести по крайней мере две прямые, параллельные данной. Этот так называемый гиперболический постулат о параллельных прямых может быть проиллюстрирован двумя способами. Оба они эквивалентны и показаны на следующем рисунке:



Из этой гипотезы вытекают различные понятия, лежащие в основе гиперболической геометрии. Мы начнем с основной теоремы.


Углы параллельности

Результат, связанный с углами параллельности, считается основной теоремой гиперболической геометрии. Начнем со следующего рисунка:



Через точку Р вне данной прямой l проходят по крайней мере две прямые, m и n, параллельные l, так что все прямые внутри области I пересекаются с прямой l, а прямые в области II не пересекаются с прямой l. Это означает, что существует бесконечное число прямых, проходящих через точку Р и не пересекающих прямую l. Две крайние параллельные l прямые, тип, разграничивают две области (I и II).



Таким образом, область I ограничена линиями тип, образующими угол (β, который меньше двух прямых углов (180°), как видно на предыдущем рисунке.

Угол β/2α называется углом параллельности. Обратите внимание, что α является острым углом (меньшим, чем прямой угол). Это важный факт, так как в евклидовой геометрии такие углы всегда прямые.

На рисунке из точки Р на прямую l опущен перпендикуляр, а расстояние от точки Р до прямой l обозначено буквой d. Мы видим, что угол ОС зависит от длины d (напомним, что мы рассматриваем не плоскую поверхность), так что

1) при уменьшении d α стремится к прямому углу (90°);

2) при увеличении d α стремится к 0.

Этот результат можно наглядно представить с помощью резиновой ленты. Точка Р является концом растянутой резинки, расположенной перпендикулярно прямой l, так что точка Р может двигаться вверх-вниз, увеличивая и уменьшая длину резинки, вместе с которой будут двигаться прямые, проходящие через точку Р. Таким образом, мы увидим, как будет меняться угол параллельности.

При этом существует постоянная величина, которую мы обозначим k, зависящая от единицы измерения длины d и выражаемая следующим образом:


Предыдущий результат можно получить по-другому. Когда значение d увеличивается, правая часть уравнения будет стремиться к 0, и поэтому значение tg (α/2) также стремится к 0, что означает, что α практически 0.

Аналогично, когда d очень мало, значение tg (α/2) — будет приближаться к 1, что означает, что , то есть α будет прямым углом, так как π/2 = 90°.

В евклидовой геометрии этот угол не меняется при изменении расстояния. В гиперболической геометрии, как мы видим, угол всегда зависит от величины d.


Эквидистанты

В евклидовой геометрии расстояние между параллельными прямыми на всем их протяжении всегда одно и то же. Как и следовало ожидать, в мире гиперболической геометрии ситуация оказывается несколько иной.

Рассмотрим прямую l и параллельную ей прямую s. Выберем точку Р на s, как на следующем рисунке:



При перемещении точки Р вправо мы видим, что расстояние от Р до прямой l уменьшается. Выражаясь математическим языком, это расстояние стремится к нулю.

Мы также можем сказать, что прямые и s асимптотически сходятся справа.

Аналогично, если точка Р движется налево, мы видим, что расстояние от Р до прямой l увеличивается. В этом случае говорят, что прямые и расходятся. Поэтому, когда в гиперболической геометрии имеются прямые, расстояние между которыми остается постоянным, то такие прямые не могут быть параллельны. Иначе это противоречило бы пятому постулату гиперболической геометрии. Прямая, находящаяся на постоянном расстоянии от данной прямой, называется эквидистантой.

Категория: КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ | Добавил: admin | Теги: Неевклидовы геометрии, популярная математика, Мир Математики, занимательная математика, занимательная геометрия, дидактический материал по математик
Просмотров: 385 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ

ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2020
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru