Вторник, 19.01.2021, 04:47
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ

Меняя взгляды
08.01.2015, 10:19
Не многие философы сумели противостоять искушению применить собственную философию, иногда с пагубными результатами, к основам математики. Простейшая арифметика и начала геометрии казались большинству метафизиков предметами первой необходимости для любых логически последовательных явлений физической материи. Поэтому, если некая явно сложная система знаний не в состоянии объяснить видимую неизбежность чисел и простейших геометрических теорем, она остается малоубедительной.

Амбициозные в разумных пределах метафизики попытались каким-то образом дать рационалистическое толкование таким постоянным головоломкам, как «пространство» и «время». В противном случае физическое естествознание осталось бы без философских оснований. Если бы в дополнение к этому удалось «пространство» и «время» привязать к общепринятым геометрии, арифметике и физике конкретной эпохи, то соответствующая метафизика усложнила бы почти все вокруг. Когда «законы мысли» (классическая триада Аристотеля: тождество, исключенный третий и противоречие) были также включены во всевышний синтез, метафизика для всей философии, за исключением двух принципиальных деталей, стала завершенной. Теория этики, морали, полезности и аргумент в пользу существования Бога должны были быть представлены в системе.

Всего этого достиг Иммануил Кант, живший в 1724–1804 годах. Если отдельные части его колоссальной системы не производят должного впечатления на математиков и естествоиспытателей нашего времени, в отличие от их предшественников XVIII и XIX веков, то только потому, что как естествознание, так и математика стали в наше время более динамичными, чем они были в 1781 году, когда Кант опубликовал свою «Критику чистого разума». Какая бы дата ни была на календаре, ни естествознание, ни математика сегодня не являются всецело такими, какими были вчера. Да и сам Кант, без сомнения, частично признал данный трюизм как решающий фактор в постепенном устаревании универсальной философии, когда заявил, что ничто не являлось более разрушительным для философии, чем математика. Поскольку философия Канта долгое время была самой долговечной из математических философий со времен Платона и продержалась еще и в XIX веке, следует описать ее в нескольких штрихах в качестве нашей дани уважения великому философу прошлого.

Прежде чем рассматривать наиболее существенный вклад Канта в критику естествознания и математики, следует обратить внимание на личность и карьеру этого величайшего из современных философов. Если не принимать во внимание такой терпимый недостаток, что он всегда был чисто выбрит на протяжении шестидесяти лет, хотя мог бы отрастить бороду, Кант остается безупречным музейным образцом популярного идеала профессионального философа. Его называли педантом, но едва ли справедливо: педанты никогда, даже случайно ничего не создают. Все, что он имел, ушло в мысли. В противовес словам Декарта «Я думаю, значит, я существую» Кант мог бы заявить: «Я существую, значит, я думаю». Наделенный, как Декарт, с юности слабым здоровьем, Кант еще в молодые годы усвоил необходимость трепетно относиться к своему телу, и когда он возмужал, то начал в высшей степени хорошо следить за своим здоровьем и дожил до восьмидесяти лет. То ли от отсутствия инициативности и склонности, то ли потому, что презирал пустую трату времени, но он не был связан ни с одной женщиной, после того как вырвался от чрезмерно благочестивой и в определенной степени деспотичной матери. Как он отдыхал, если вообще отдыхал, в то время когда мыслил, осталось неизвестным. Ближе к старости он погрузился в прорицательство и не испытывал отвращения к знакам публичного уважения со стороны общества. Он наслаждался редкостным удовольствием быть легендой при жизни. Если стойкая приверженность единственной цели заключается в прижизненном людском восхищении, то Кант оказался одним из самых восхитительных смертных, которые когда-либо жили на земле. Его целью было создание философии, которая переживет его, и цель была достигнута. Складывается единое мнение, что его успех был настолько же скучным, насколько таковым был и он как личность. Хотя Кант много философствовал об эстетике, он тем не менее не имел ни художественного, ни артистического вкуса. Что касается бытовых деталей, они практически соответствовали жизни малооплачиваемого профессора философии во второразрядном колледже или университете наших дней. Все, что имел величайший философ со времен Платона, – так это свое величие.

Склонные к метафизике и теологии шотландцы заявляют свои права на Канта. Даже фамилию Кант его отец писал с другой буквы – «Cant». Германские Канты, как говорят отдельные приверженцы, ведут начало от шотландских Cant, когда семья эмигрировала в Пруссию. Утверждают, что по линии отца дедушка и бабушка Канта были шотландцами. Возможно, сейчас это не представляет особой важности, доказано или не доказано его шотландское происхождение. Однако на пике Первой мировой войны воюющие нации старались доказать, что никто из их врагов не может похвастаться личностью, заслуживающей вечной памяти. Бетховена приписали фламанд цам или голландцам, Канта – шотландцам, а Гаусса – евреям. Вторая мировая война, которая была ближе к понятию мировой, чем Первая, подобные различия отложила для академических диспутов.

Каковы бы ни были корни, Иммануил Кант родился в 1724 году в Кенигсберге, в Прусском королевстве, одним из одиннадцати детей много трудившегося шорника, рьяного поборника веры и бедного материально. Из четверых сыновей только Иммануил и еще один брат, старше его на одиннадцать лет, не умерли во младенчестве. Родители Иммануила, особенно его мать, костьми легли, чтобы их наиболее прилежный сын выучился на лютеранского пастора. В возрасте семнадцати лет Иммануил поступил в Кенигсбергский университет с твердым намерением отплатить родителям за их старания достойным изучением теологии. Либеральность академической атмосферы (резко контрастирующей со сверхнабожной атмосферой дома) быстро стала причиной того, что он передумал. Теологию он заменил математикой и философией – зловещее сочетание. Его студенческие годы можно назвать феноменальными. К беспримерной алчности к знаниям он добавил беспощадное прилежание. Посещая бесчисленные лекции и непрерывно читая книги по естествознанию и теологии, изучая классиков Античности, ненасытный молодой человек сформировал себя как ученого с энциклопедическими знаниями для своего времени.

Среди других вопросов, которым Кант уделял настойчивое внимание, оказались «Математические начала натуральной философии» Ньютона. С позиций будущих достижений в естествознании начинающего философа Иммануил Кант очень многое почерпнул из прочтения Ньютона, а отдельные критики уверены, что натуральная философия Ньютона оказала пагубное влияние на метафизику Канта.

Одно неоспоримо: философия Канта не вызвала задержек в развитии математической астрономии Ньютона.

Вполне возможно, что в результате сосредоточенного изучения «Начал» Кант создал в 1755 году знаменитую небулярную гипотезу происхождения Солнечной системы. Эта смелая догадка стала высшей точкой его философской карьеры, и он подошел к ней с подобающей серьезностью. Все, что хоть в некотором приближении способно было испытать ее на прочность, находилось далеко за пределами возможностей математики времен Канта и даже, очевидно, наших дней. Лаплас, выдающийся астроном и математик XVIII века, также предлагал небулярную гипотезу, но с одним весьма существенным отличием. Он понимал, что у него нет ее научных обоснований, и преподнес его в виде почти шутки. Этот эпизод вторжения Канта в естествознание воспроизведен, чтобы проиллюстрировать тот факт: сделать предположение, не подтвержденное признанными научными методами, легче, чем старательно выстраивать факты и жестко тестировать гипотезы, как принято у профессиональных ученых. Хотя непроверенное предположение, подсказанное интуицией, может устроить всех, оно не может относиться к разряду правдивых и наиболее доверенных истин, а скорее напоминает научные гипотезы, предложенные в понедельник и забытые уже в среду.

Академическое образование Кант получал необычайно извилистым путем для человека столь высокой и признанной гениальности. После смерти отца материальное положение молодого человека изменилось настолько, что он был вынужден на девять лет заняться частным преподаванием. Благодаря поддержке друзей, которые видели его предназначение и верили в него, он в конце концов получил возможность вернуться в университет, где защитил докторскую диссертацию в возрасте тридцати одного года. Затем последовал испытательный срок в течение пятнадцати лет в Кенигсбергском университете в должности приват-доцента – неоплачиваемой должности преподавателя, который много работает, но деньги получает только от добровольных взносов студентов. Кант предлагал занятия по подготовке к экзаменам практически по всем предметам в курсе обучения для любого, кто готов был платить. Он также писал многочисленные работы по тем темам, которым владел. Вся эта неблагодарная, тяжелая, монотонная работа, без сомнения, дала положительные результаты для медленно вызревавшего философа. По крайней мере, она дала ему полный обзор и понимание уровня человеческого знания, каким оно представлялось в то время. Широта и разбросанность подготовки Канта в области философии напоминает более жизнерадостную попытку Платона самообразовать себя для столь сложной и трудно-постижимой профессии.

Университетское начальство оценило талант Канта и попыталось облегчить условия его существования. Пошли даже на экстремальные меры: в 1762 году ему была предложена должность профессора поэзии. Кант знал свои возможности, ему хватило здравого смысла отказаться. В следующем году он принял более подходящую должность ассистента библиотекаря. Наконец в 1770 году, когда ему уже исполнилось сорок шесть лет, Кант был назначен на желанную должность профессора логики и метафизики, которую ему следовало бы занять на двадцать один год раньше. Следующие одиннадцать лет поглотило напряженное сочинительство его шедеврального произведения «Критика чистого разума», изданного в 1781 году.

Спустя одиннадцать лет Кант позволил себе ввязаться в единственную серьезную склоку за всю свою смиренную жизнь. Философ вышел из нее моральным победителем, но проиграв как человек. Его единственным достижением стало то, что он доказал друзьям и себе, что он, бедный и болезненный профессор, имеет больше твердости, чем все поборники веры в Германии, включая короля Пруссии.

Хотя еретиков больше не подвергали пыткам и не заставляли покупать индульгенцию, Кант рисковал не меньше, чем Галилей или Бруно. Какие-то административные гении придумали, что инноваторов можно изжить без публичной казни, отлучив их от кормушки. В случае с Кантом было бы достаточно отстранить его от профессорства. Если бы он был изгнан из университета как опасный радикал или богохульный атеист, его академическая карьера тотчас бы закончилась. Он был пригоден только для университетской жизни или частного преподавания, и было почти невозможно представить себе, что в Пруссии 1790-х годов так уж легко было найти солидного человека со столь либеральными взглядами, чтобы он доверил образование своего сына развенчанному профессору. Прекрасно осознавая, что его ждет и каков может быть конец, Кант сражался за свое свободомыслие.

Основная схватка продолжалась в течение пяти лет. «Критика» выдержала священную войну, более жестокую, чем обычно. Оторванный от жизни метафизик, еще молодым студентом сменивший теологию на изучение математики и философии, оказался достаточно оптимистичен, чтобы вообразить, что он сможет создать «религию в рамках разумного» и в то же время удовлетворить всех ортодоксальных лютеран в Германии. Ошибка Канта стала определенно усовершенствованным вариантом XVIII века того заблуждения, которое сбило с пути Августина и его последователей в их попытке подчинить бога нумерологии. К своему ужасу, Кант осознал, что спустил с цепи дьявола.

Кажется, ныне общепризнано, что религия полностью в рамках разумного не так уж желанна, как представлял себе лишенный эмоций Кант. Он храбро сражался за свою бескровную веру, а его противники, включая болезненно набожного короля, были слишком многочисленны и слишком хорошо организованы, чтобы разбить даже самого рассудительного ученого. Почти против воли, вынужденно начав отражать более грозную полемику, Кант не мог позволить себе, чтобы его заставили замолчать. Смерть короля через пять лет после того, как Кант поклялся себе не возбуждать враждебности большей, чем необходимо для защиты своей интеллектуальной целостности, развязала язык философу. Он мог бы сказать многое. Но пять лет угроз и репрессий повлияли на Канта, и война потеряла смысл. То, что он узнал об ортодоксальном мышлении, царившем в Пруссии того времени, видимо, лишило его желания предпринимать дальнейшие попытки ее просвещения. Он продолжил свою работу, для которой был создан, адресуя критику в дальнейшем нескольким достаточно спокойным ученым, чтобы распутать лабиринты своего мышления.

Попытки Канта решить раз и навсегда проблему статуса математической истины – это единственная представляющая для нас практический интерес деталь его системы. Но следует при этом помнить, что математика для Канта была почти так же важна, как и для Платона. Поэтому если он ошибся в своей оценке математики, то, следовательно, возможно, что он был внутренне не прав и в остальных деталях своей обширной системы. Точка зрения Канта на природу математики изложена в «Элементах трансцендентализма», в начале второй части «Критики» и наиболее ясно в «Трансцендентальной эстетике». Видимо, у него были определенные сомнения, сумел ли он изложить материал ясно и понятливо, как того хотелось бы ему самому и его «пытливому читателю», которому он предназначал свои выводы. Чтобы донести свое осознание, он придумал пояснительное продолжение, рассчитанное, в частности, на преподавателей, которые окажутся достаточно квалифицированными, чтобы предложить «Критику» в качестве учебного пособия. Продолжение названо весьма скромно: «Введение в изучение каждой будущей системы метафизики, которая может претендовать на место науки».

В «Век разума и просвещения» были гиганты. Среди «Главных вопросов», затронутых и, по общему мнению, решенных в «Введении», приведем здесь два: «Возможна ли вообще метафизика?» и «Возможна ли чистая математика?». Ответ Канта на первый вопрос, как и следовало ожидать: «Да». Экстремальный позитивист-логик XX века утверждает, что правильный ответ: «Нет».

Вопрос Канта о чистой математике не потерял актуальности. Полностью неправильное понимание природы математики достаточно наглядно отражено в его ложном предположении, которое он высоко ценил, что геометрия состоит из «синтетических суждений априори». Достаточно описать, что он имел в виду, и указать, почему математики знают (а это вопрос знания, а не мнения), что высказывание ошибочно. Предположительно, Кант был введен в заблуждение различием (не безусловно признанным на момент написания им «Критики», но теперь общеизвестным фактом) между геометрией как абстрактной дедуктивной системой и геометрией как частично эмпирической наукой, используемой для изучения физической вселенной. Сходное заблуждение Канта касалось арифметики и, что правда, то правда, всех других направлений математики. Как Эйнштейн сформулировал различие между прикладной и чистой математикой: «В той части, где теоремы математики касаются реальности, они не верны, в той части, где они верны, они не о реальности».

Мы не хотим дискредитировать Канта за то, что он просмотрел фундаментальное отличие. За исключением похороненной геометрии Саккери, о существовании которой Кант просто не знал, хотя ее отдали в набор за сорок восемь лет до того, как опубликовали «Критику», математики едва ли к тому времени предоставили философам достаточно материалов, на базе которых можно было бы сформировать разумное мнение. И мы видели, как сами математики медленно приходили к пониманию важности неевклидовой геометрии Лобачевского, опубликованной четверть века спустя после смерти Канта. Только в конце XIX века профессиональные математики начали серьезно интересоваться сущностью математики, а затем начали понимать то, что их предшественники от Фалеса до Пуанкаре (жившего в 1854–1912 годах) реально совершили.

Было бы справедливо послушать самого Канта, прежде чем переходить к опровержениям. Достаточно и нескольких выдержек. Он начал с объяснения: «Я вспоминаю все доклады, где нет ни слова объяснения восприятию понятия «чистая». Чистая форма всех чувственных интуиций, та форма, в которой просматриваются несколько элементов этого феномена, выстроенных в определенном порядке, априори должна быть найдена в разуме. И эта чистая форма чувственности может быть названа чистой интуицией». После ряда дальнейших толкований определений Кант декларирует: «В ходе данного исследования станет ясно, что существуют две чистые формы чувственной интуиции как принципов априорного знания, Пространство и Время. Что такое, – спрашивает он дальше, – Пространство и Время? Они реальны? А если нет, они формы или отношения вещей, но такие, какие присущи им, даже если они перестанут восприниматься? Или они есть формы или отношения, присущие исключительно форме интуиции и, следовательно, субъективной реальности нашего разума, без которых такие понятия, как пространство и время, никогда не получится отнести к чему-либо?»

Прежде чем услышать ответы Канта на данные вопросы, обратимся за двумя разъяснениями к словарю. «Кант… считал, что априорное знание состоит из конкретных «допущений» (как пространство и время) и принципов понимания, которые предположительно необходимы, чтобы опыт в целом стал интеллигибельным (постижимым умом)». Это устанавливает постоянно циркулирующую a priori, к которой обращается Кант. Другое техническое слово «аподиктический», которое означает «вовлекающий или выражающий неопровержимую истину, абсолютно верную, а также способную быть продемонстрированной ясно и удобно». Считая, что эти смысловые определения ясны (хотя едва ли такие четкие, как те, что приняты в элементарной геометрии, к которой адресует их Кант), постараемся понять, что же он хотел сказать. Ниже мы приводим изложенные Кантом выводы в четырех обобщенных предположениях, из которых нам необходимо взять только основное.

1. «Пространство не есть эмпирическое понятие, которое появляется из опыта… Образно пространство не может быть взято через опыт из отношений внешнего феномена, но, напротив, внешний феномен становится возможным только через представление о пространстве».

2. «Пространство есть априорное необходимое представление, фомирующее каждое обоснование всех внешних интуиций… Пространство, таким образом… есть условие возможности феномена, а не… форма созданного ими. Это априорное представление, которое необходимо предвосхищает внешний феномен».

Поскольку следующий текст достаточно сложен и ложен в деталях в свете современного знания, то приведем его полностью.

3. «По этой необходимости априорного представления пространство противостоит аподиктической несомненности всех геометрических принципов и возможности их априорного создания. Если интуиция пространства стала концепцией, полученной апостериори (a posteriori), только из общего внешнего опыта, первые принципы математических дефиниций становятся не чем иным, как перцепциями. Они будут распространены на все издержки перцепций, и, например, существование только одной прямой линии между двумя точками станет не необходимостью, а только чем-то полученным из опыта в каждом конкретном случае. Что бы ни было получено из опыта, оно будет обладать только соответствующей обобщенностью, основанной на умозаключении. Таким образом, мы не сможем сказать больше, поскольку до настоящего времени никакое пространство еще не найдено, кроме трехмерного».

Мы еще вернемся к некоторым положениям. Четвертый и последний вывод Канта мало что добавляет к первым трем.

4. «Пространство есть… чистая интуиция… Интуиция, которая априори не основана на опыте, должна сформировать обоснование всех концепций пространства. Тем же путем все геометрические принципы (например, «любые две стороны треугольника вместе больше третьей стороны») никогда не могли быть получены из общей концепции стороны или треугольника, но формируют интуицию, и это априорно с аподиктической верностью».

Это (по Канту) восприятие пространства и геометрии, с его априорными интуициями и его аподиктическими истинами, длительное время воспринималось как окончательное среди многочисленных метафизиков. Кант сформулировал похожую доктрину чисел и арифметики. Обе не заслуживают внимания в данной работе, поскольку не имеют ничего общего с математическим фактом. Его априорное «время» пошло путем его геометрии и арифметики, не потому, что конфликтовало с математикой, которая не связана с рассуждениями на тему природы времени, а потому, что оно опровергается современной экспериментальной и теоретической физикой. Здесь остановимся только на том, что имеет отношение к геометрии Канта.

Кант был уверен, что геометрия состоит из положений (декларативных суждений), которые не зависят от опыта (являются априорными), необходимо справедливых (аподиктичных) и которые содержат фактический материал (то есть синтетичны). Что таких положений нет в математике (или где-либо еще, насколько это известно человечеству) – одно из простейших заключений математической логики наших дней. Ошибка Канта произошла от его непонимания разницы двух абсолютно разных вещей. Читатель придет в замешательство от бесплодной борьбы Канта за объяснение обоих вещей одновременно и одними и теми же словами, если не поймет, что он говорит не об одном понятии, а сразу о двух. Его пара – «физическая геометрия» и «математическая геометрия».

Физическая геометрия в своем прикладном варианте только отчасти эмпирическая наука, созданная затем, чтобы дать связное описание мира чувственного (и научного) опыта. Математическая геометрия – это система постулатов и дедуктивных выводов из них, созданная безотносительно к чувственному опыту или намеренно соотнесенная с ним. Как определяет одна из современных школ математической философии, в математической геометрии «истина» представляется как устойчивая логическая последовательность (свобода от противоречий внутри системы), в физической геометрии «истина» включает приближенное соответствие с наблюдаемым феноменом. Досконально проанализированные предположения математической геометрии «истинны» просто как форма логических предположений. Такие предположения именуются «аналитическими», например: «Сейчас идет дождь» или «Сейчас не идет дождь». Но «Сейчас идет дождь» либо конкретно «фактически истинно», либо «фактически ложно», и какое оно, можно определить, выглянув на улицу. Это предположение имеет фактическое содержание. А первое его не имеет, поскольку ничто не говорит о фактической погоде.

Отличие физической и математической геометрии можно проиллюстрировать неудачным примером Канта в его третьем общем выводе, процитированном выше. Если «прямая линия» определена четко, из этого не следует, что через две точки можно провести единственную прямую ни в математической, ни в физической геометрии. Определение Евклида гласит: «Прямая линия – это линия, которая ровно соединяет крайние точки». И, судя по всему, Кант мог иметь в виду именно это нечеткое интуитивное понятие. После минутного раздумья понимаем, что предполагаемое определение Евклида ничего не определяет вообще. Как часто указывают в школьных геометриях: «Прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками». Это определение интуитивно удовлетворительно и полезно, а данное чуть позднее «точке» и «расстоянию» – дается ясное численное определение. Чтобы избежать загадок там, где ничего таинственного нет, «прямая линия» заменяется на «геодезическую». Геодезическая в «пространстве» может быть малым и большим расстоянием между двумя точками в пространстве. (Это достаточно близко к четкому математическому определению для конкретных целей этой книги.) Если пространство рассматривать как поверхность сферы (не то, что поверхность включает, а ее саму), диаметрально противоположные точки могут быть соединены бесконечным множеством таких геодезических прямых (дугами больших окружностей на сфере). «Случайности восприятия», на которые намекает Кант, кажется, создают для него иллюзию, что Земля плоская. Его второй пример: «никакое пространство еще не найдено, кроме трехмерного» – очень давно потерял смысл вместе с появлением возможности строить пространство любой размерности. Наиболее известен пример пространства, имеющего более трех измерений, – полезное в научном плане четырехмерное пространство из теории относительности.

То, что Кант воспел евклидову геометрию как единственно верную истину, оказалось неудачным для продвижения его метафизики. Следствием создания неевклидовых геометрий стало разграничение математической и физической геометрий. Каждая из этих геометрий, в том числе геометрия Евклида, когда устранены очевидные недостатки, самосогласованна, и они не конкурируют между собой. Каждая математически «истинна». А которая физически «истинна»? Как оказалось, для научных задач применение нескольких геометрий вполне разумно и достаточно, но иногда отдельная геометрия полезнее всех остальных для решения конкретной задачи. Каждая «истинна», то есть самосогласованна в абстрактном, логическом или математическом смысле, одна из нескольких «истинна» в физическом смысле для определенного набора задач, но, будучи не согласованы между собой, две не могут быть истинны для того же круга задач. Когда во всем этом разобрались, в начале 1900-х годов, отдельные ученые и математики совместили понятие «истины» с применимостью. Но не было никакой необходимости вносить очередную путаницу в область, из которой наконец-то, после почти двух тысяч лет неверного толкования, была исключена путаница.

Было бы интересно познакомиться с нумерологией Канта, особенно по его знаменитой таблице из двенадцати категорий, представленной в виде четырех триад, каждая из которых находится в кардинальных точках. Но мы не будем занимать место для того, чтобы продемонстрировать или обсудить его самые интересные трихотомические ветвления, в которых философ впервые отказался от пифагорейского «деления на два», дихотомии и отважно разделил все на три. Вместо этого перейдем к словам Гаусса (выдающегося математика и современника Канта, уже упомянутого как одного из трех величайших математиков в истории), которыми тот охарактеризовал математическую философию Канта и других любителей математики. Для начала несколько слов о самом Гауссе.

Гауссу (1777–1855) исполнилось двадцать семь лет, когда Кант умер. К тому времени он уже был признан ближайшими соперниками выдающимся математиком в мире. Если Кант и слышал что-нибудь о Гауссе, то не придал этому значения. Оба, математик и философ, были известными домоседами. Самое длинное путешествие Канта составило сорок миль от Кенигсберга, рекорд Гаусса составлял двадцать семь миль от Геттингена, и для каждого из них столь далекое путешествие оказалось единственным приключением. Во всем остальном «величайший философ со времен Платона» и «величайший математик со времен Ньютона» были удивительно не похожи. Здоровяк Гаусс, всю свою жизнь обладавший крепким здоровьем, был законченным ипохондриком. Миниатюрный и хрупкий Кант поддерживал в себе жизнь только благодаря жесткой самодисциплине и постоянной заботе о здоровье. Но они были схожи в боязни собственной смерти. Когда они теряли друзей, то бывший друг вычеркивался из списка живых, и его было запрещено даже упоминать. Гаусс никогда не добивался почитания и, хотя всегда был полностью уверен в своем огромном вкладе в развитие современной математики, никогда не проявлял признаков самолюбования. Кант к старости несколько утомлял окружающих, уверовав в свою первосвященническую безгрешность. Интеллектуальные способности у метафизика ухудшались с возрастом, а у математика оставались все такими же полноценными и мощными вплоть до самого смертного часа. Интерес представляет радикальное отличие Канта и Гаусса. Если сравнение между такими несоизмеримостями, как метафизика и математика, возможно, то допустимо утверждать, что Гаусс лучше разбирался в метафизике, чем Кант – в математике. После окончания университета Кант не имел даже слабого представления о том, что происходит в жизни математики. Гаусс же всю жизнь продолжал прилежно изучать философию. Свободное владение языками позволяло ему не отставать от событий в мире философии не только Германии, но и других стран. Разумеется, он всегда считал себя лишь заинтересованным любителем, не претендуя на сколь-нибудь значимую роль в философии. Но любитель уровня Гаусса вполне может «стоить трех» профессионалов, особенно в философии математики. Пожалуй, в этом случае у Гаусса явное преимущество. Будь он честолюбив, он, а не Лобачевский получил бы титул «Коперника геометрии». Его интерес к фундаментальной геометрии возник еще в возрасте двенадцати лет. Когда умер Кант, Гаусс уже сделал некоторые шаги к неевклидовой геометрии, но нарочно отложил эти исследования, чтобы избежать бесполезных словесных препирательств с фанатиками от математики и профанами от метафизики. Поэтому нет ничего удивительного, что Гаусс не испытывал симпатий к философии математики Канта. Хотя Кант и читал работы Ньютона, а может быть, и из-за того, что он их читал, математические инструменты Канта, применяемые им при изучении проблемы математической истины, были так же стары, как и Евклидовы. С точки зрения математики «Критике» вместо XVIII века следовало появиться в IV веке до н. э.

Кант мог бы чему-нибудь научиться у «Аналитика» Беркли, если бы он не унял чувства, подозрительно напоминающие профессиональную ревность к своему сопернику-идеалисту. Возможно, он ничему не научился бы и у Гаусса, поскольку «принца математиков» никогда сильно не интересовало научить кого-то чему-то. Гаусс ненавидел любые формы наставлений, его шедевры были вполне законченными, но трудно читаемыми. Сравнительно мало людей разбирались в них, а еще меньше постигали всю глубину написанного. В своих опубликованных произведениях Гаусс всегда был взыскательно справедлив или холодно уважителен по отношению к предшественникам или современникам. Но в своих письмах к верным друзьям он бывал по-крестьянски резок. Не слишком грубый пример 1844 года рассказывает нам, что Гаусс действительно думал о математиках-любителях, когда те берутся разъяснить математику, что показывает его точку зрения на одну из кардинальных идей метафизики Канта: «Вы видите все то же самое [математическая некомпетентность] у современных философов (Шеллинга, Гегеля, Нес фон Эзенбека) и их последователей. У вас волосы не встают дыбом от их определений? Почитайте в истории древней философии, что великие люди той эпохи (Платон и другие (я исключаю Аристотеля) приводили в качестве доказательств. Даже у самого Канта зачастую не лучше. С моей точки зрения, его различия между аналитическими и синтетическими суждениями либо тонут от тривиальности, либо ложны».

Что называется, профессиональное знание против мнения любителя. Но и знание, и мнение могут меняться.

Не все идеи Канта о природе математики противостояли прогрессу, каким его понимали в начале XX века. Мы упоминали в предыдущих главах многообразие школ интуиционистов в философии математики, начало которым положил Брауер около 1912 года и которые медленно развивались под влиянием Вейля и др. В связи с математической бесконечностью было отмечено, что Брауер вслед за Кронекером, жившим в 1823–1891 годах, отказался признавать, что предположение либо истинно, либо ложно до тех пор, пока не найдется какой-нибудь способ подтвердить либо то, либо другое. Интуиционисты отрицают закон Аристотеля об исключенном третьем, где подобные средства отсутствуют. Между прочим, это отрицание оставляет за бортом многое из давно признанного «доказательства существования» классической математики, как чистой, так и прикладной. Это, однако, не является предметом сиюминутного интереса. Именно философия интуиционистов приводит нас обратно к Канту и «интуиции» в математике, на которой он настаивал. Сначала Брауер вообразил, что его философия вытекает из философии Канта, но позднее решительно отверг любую связь и заимствование и отрекся от Канта и почти всей его математической метафизики. Поскольку только создатель современного интуиционизма, как никто другой, может сказать, что вдохновило его, несерьезно оспаривать вопрос.

Математика для интуиционистов сродни (интуитивно?) «точной части нашего мышления» и является предшествующей как для логики, так и для философии. Источником математики декларировано «интуитивное предположение, которое представляет существующие математические концепции и подразумевает, что они для нас сразу ясны». Имеет место отрицание факта, что интуиция в любых отношениях мистична, для них она просто «способность рассматривать раздельно конкретные концепции и умозаключения, появляющиеся регулярно в общественном сознании». Интересно слегка дополнить данное отрицание и утверждение тем, что словарь определяет как понятие «мистицизм»: «Доктрина или вера в то, что прямое знание Бога, духовных истин и высшей реальности и так далее доступно через посреднические институты, предвидение или просветление, способом, отличным от обычного чувственного восприятия и логического рассуждения». «Объекты», с которыми имеют дело математики-интуиционисты, содержатся непосредственно в мысли. Напоминает «априорно синтетическую» геометрию Канта, но, в отличие от нее, эти объекты интуиционистов не зависят от опыта и не существуют вне мысли.

Античные и средневековые догмы заново появились также и в интуиционистских утверждениях о способности человека представить последовательность «четких, отдельных объектов», полученных путем неограниченного присоединения объектов к тем, что уже представлены. Начиная с «единицы» и концептуальной процедуры по «добавлению единицы», интуиционист таким образом постигает интуитивно бесконечную последовательность натуральных чисел 1, 2, 3… бесконечным повторением процедуры. Эта способность интуитивно постигать бесконечную последовательность чисел, как мы видим, далеко не универсальна как среди примитивных, так и среди цивилизованных людей, если, конечно, эта «способность» по умолчанию, согласно гипотезе, латентна, хотя и ненаблюдаема. Бескомпромиссный финитист (такой, как Кронекер) начнет утверждать, что бесконечность интуиционистов имеет только не имеющее смысла устное существование или на бумаге, а не интуитивное существование в уме человечества. Финитист отрицает бесконечность как обман, унаследованный от вышедших из моды философий и осмеянных теологий, поскольку может существовать и без них.

Пребывая в благоговейном страхе перед Кантом, Брауер придерживался мировоззрения Канта в отношении пространства и времени. Позднее (1912) он избавится от априорного пространства, но более преданно воспримет априорное время. Год 1912-й вспомнили, чтобы подчеркнуть тот факт, что математический интуиционизм старше на четырнадцать лет, чем современная квантовая теория физики. Эта теория и последующее развитие атомной физики побудили физиков-теоретиков как минимум очистить свои интуитивные познания «пространства», «времени», «числа» и «идентичности» до концепции, адекватной для описания всех наблюдаемых физических явлений, особенно тех, за которые, как утверждалось, были ответственны атомные ядра. Ситуация в философии в определенном смысле аналогична той, которая последовала за появлением неевклидовой геометрии в описании природы после успеха общей теории относительности. Почти как в классической геометрии (евклидовой), были найдены положения, неадекватные конкретным научным задачам, поэтому традиционное «время» и все остальное требовали пересмотра, чтобы соответствовать идущей вперед науке. Казалось, если математика не вернется к стерильному формализму, ей придется обратиться к науке, где ею пользуются и продолжают оживлять.

Хотя ядра атомов слишком малые частицы, чтобы оказаться поводом для встречи с несколькими величайшими в истории философами-математиками, по меньшей мере трое из них объединились на этой почве. В процессе приспособления к современному научному окружению Пифагору, Аристотелю и Канту пришлось отказаться от некоторых своих самых бережно оберегаемых убеждений. Пифагор отбросил универсальное «число», Аристотель – «тождество», а Кант – свое «время». На макроскопическом (большого масштаба) уровне нет проблем с идентификацией и счетом обозреваемых объектов. Например, каждый камень в куче может быть идентифицирован и отличается от соседнего, а все вместе камни легко пронумеровать: один, два, три… пока куча не будет пересчитана. Это иллюстрирует одну из четырех вообразимых возможностей в плане идентификации и счета. А что три оставшиеся? Физики нашли примеры для двух. Приведем только выводы: квант света нельзя идентифицировать и посчитать, электроны нельзя идентифицировать и посчитать. Таким образом, как минимум в физике древнее понятие «число» лишилось своего универсального значения. Что касается «пространства» и «времени», то они тоже потеряли свою традиционную универсальность, когда перешли к жизни атомных ядер, если вообще не утратили значения, став второразрядными и искусственными «конструкциями», применяемыми из экономии языка для математического описания наблюдаемых явлений. Еще один-два шага в указанном направлении, и, может быть, обнаружится, что эти мнимые «неизбежности» мысли оказываются даже не «применимостями», а вышедшими из моды препятствиями, мешающими пониманию явления.

Чтобы завершить перечень главных изменений, происходящих с базовыми рассуждениями в попытке объяснить природу математики, приведем вердикт по традиционной философии, вынесенный современным логиком и математиком. В 1933 году Рудольф Карнап, позднее присоединившийся к знаменитому Венскому кружку, в своей работе оценил ситуацию следующим образом: «Большинство философов уделяют ей скудное внимание [новой логике, созданной математиками с 1854 года и, особенно, примерно с 1890 года]. Подозрительная сдержанность, с которой они подходят к этой новой логике, немного удивляет.

Математические одеяния, в которые она рядится, действительно пугают, но она побуждает и более глубокую враждебность, которую мы начинаем ясно различать. Недоверие порождено опасностью, которая угрожает позициям старой философии. И действительно, каждая философия, в старом смысле слова, относится ли это к Платону, святому Фоме Аквинскому, Канту, Шеллингу, Гегелю, или к появившимся новым «метафизикам сущего», или к «диалектической философии», подвергается неумолимой критике со стороны новой логики как доктрины, не ложной по содержанию, но логически несостоятельной, а потому лишенной смысла».

Достаточно красноречиво. Поскольку мы завершили рассуждения о великих философах математики Кантом, мы вынуждены воздержаться от удовольствия открыть для себя гениальные мысли Гегеля по вопросам естествознания и математики. Чтобы компенсировать это упущение, опять же процитируем Карнапа: «Поскольку все законы логики тавтологичны и пусты [без фактического наполнения], они ничего не могут нам сказать о реально существующем мире. Любая диалектическая метафизика (и больше всего у Гегеля) по этой причине нелегитимна».

Естественно, не все философы едины во мнении по данному смертному приговору. Но только единицы из числа философов и прочих бросят вызов пророчеству (1925) философа из Оксфорда Жоада (С.E.M. Joad): «Если господин [Бертран] Рассел прав, большая часть философии лишена всякого смысла, если он не прав, мы можем продолжать надеяться выявить истину о вселенной методами, которые философия традиционно использует. Но прав он или нет, ясно, что человечество будет продолжать философствовать, хотя бы из-за одного только облагораживающего и расширяющего познание влияния философских размышлений на интеллект и глубоко запрятанный инстинкт любознательности, к которому они взывают». Не согласны были только те научные деятели, историки культуры и обозреватели человеческой природы, которых волновал вопрос «облагораживающего и расширяющего познание влияния философских размышлений на интеллект». Но в данной работе, как это часто случалось во время путешествия из прошлого в настоящее, несогласие может корениться во мнении, а вовсе не в знании.

Кто-то может разглядеть в этом беспрерывном потоке изменений теорий и убеждений безрадостную картину нестабильности и бесполезной борьбы. Их можно заверить, что наиболее стабильное состояние покоя – это смерть. Другие заметят, что каждое изменение замещает старое знание на новое, что вчера было истинно, больше таковым не является, и что должно наступить, возможно, будет отлично от всего, что существует сейчас. За исключением предположения о будущем, все остальное – исторический факт, и назовем мы это прогрессом или проклянем как регресс, мы не в силах исключить это из истории. Те же, кто принимает изменения, останутся довольны, а кто нет – опечалятся. Конечно, в изменениях нет такой уж трагедии, как пытаются представить нам те, кому они во вред и кто помешал бы им, если бы сумел. По крайней мере, это не стагнация. Если какая-то вечная истина из прошлого теперь становится ложной и невечной, будет только лучше, потому что устранятся сразу две ошибки. И если ни естествознание, ни математика не могут нигде найти конечность, то это философская истина. Пока еще ни одно из трех не было признано бесполезным. Кто возжелал стабильности в чем-либо, он должен ее искать где угодно, но только не здесь, если он, конечно, не нумеролог или математик-реалист. Остальные последуют за изменяющимся рисунком в калейдоскопе времени, поскольку каждый легкий поворот в ходе событий меняет цвета в новом и непредсказуемом сочетании, чуть замысловатее или красивее по сравнению с тем, что было ранее, или наоборот.

Что же сталось с математиком-реалистом, с которым мы начали данное путешествие в прошлое? Для него никаких значительных изменений не произошло. Все, что сегодня реально, практически осталось таким же, каким было в начале времен. Где-то и как-то числа и математические истины существуют, как они существовали раньше и как будут существовать всегда. Это не злое искажение верований реалиста. Только за первые четыре десятилетия XX века можно привести в пример сотни конфессий, уверенных в себе.

До сих пор слово имели только ученые мужи, давайте дадим возможность женщине высказать авторитетное мнение и процитируем отрывки из содержательного обращения (1925) выдающейся англичанки, геометра Хильды Фоэб Хадсон (Hilda Phoebe Hudson):

«Для всех нас, христиан, вера в то, что Бог есть истина, все, что истинно, есть факт в пользу Бога, а математика – лишь раздел теологии…»

«Старик грек, французский ребенок, индус-самоучка, каждый находит для себя одну и ту же теорию геометрических конических фигур. Простейший, а потому наиболее научный способ описания этого состоит в признании, что они открыли, а не создали геометрию, которая существует сама по себе вечно, одна для всех, одинаковая для учителя и для обучаемого, одинаковая для человека и для Бога. Истина, единая для человека и для Бога, есть чистая математика, которая отличается от прикладной…»

«И что бы мы ни думали о небесах, трудно представить астрономию и ботанику неизменными, при этом сохранившими интерес или значимость… С другой стороны, также тяжело представить себе, что чистая математика не выжила. Законы мысли, и особенно чисел, останутся на прежнем, высоком уровне на небесах, не важно, место это или состояние ума, поскольку они не зависят от конкретной сферы существования, неотъемлемы от самого Сущего, законы Его разума принадлежат Богу и нам, прежде чем мы о них узнали. Таблица умножения заслуживает признания и на небесах…»

«Бог сияет сквозь свои труды так же ясно в логике, как и в сущности».

«Вся геометрия так пропитана славой Божьей, что никто не знает, где начать говорить о ней».

«Два основных направления математики, анализ и геометрия, соотносятся с некоей точностью в двух великих таинствах христианской веры: Троице и Инкарнации».

Категория: МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ | Добавил: admin | Теги: Мир Математики, занимательная математика, магия чисел, дидактический материал по математик, популярная математика
Просмотров: 504 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru