Перейдем к краткому изложению некоторых очевидных свойств, высказанных Платоном в поддержку «математического реализма». Во-первых, некоторые детали технического языка. Поскольку его Идеи оставались для Платона продолжающимися во времени «реальностями», его система стала разновидностью «реализма», несмотря на его убежденность в идеальности «сущностей», то есть Идей, находящихся за пределами прямого опыта и органов чувств.

Краеугольным камнем платоновского математического реализма является доктрина припоминания и размышления. Схематически она представлена в диалоге «Менон». Сократ и Менон спорят о возможности обучения добродетели. Сократ обязался доказать, что «обучению нет места» в том смысле, что один ум сообщает или пересылает знания другому, «только размышление». Он просит Менона, одного из его «бесчисленных сопровождающих лиц», послужить грешным телом в его наглядной демонстрации. Сократу требовался предположительно необразованный, но смышленый мальчик-раб, понимающий по-гречески и «рожденный в доме».

– Прислушайся к вопросам, которые я задаю ему, и определи, учится он у меня или только запоминает, – обращается он к Менону.

Изобретательными наводящими вопросами и простыми геометрическими диаграммами Сократ предлагает мальчику «запомнить» отдельные простейшие математические сведения. Например, он заставляет его посчитать 3 × 3 = 9; 2 × 4 = 8, прочитать на диаграмме, что 8 не является квадратом 3. Его неспособность показать квадратный корень из 2 на диаграмме остановила мальчика. Но он «запомнил», что квадрат удвоенного числа не является дважды квадратом этого числа, и случайно показал корень квадратный из восьми. После дальнейших уговоров Сократ попросил Менона сообщить ему выводы. Они имели большое значение.

Согласно Сократу, опыт показал, что слуга не знал, какие знания хранятся в его голове до поры до времени, пока они не потребуются. Способность мальчика дать правильные ответы на вопросы доказывает, что математические истины, спящие в его мозгу, «были просто разбужены в нем» во время опроса, «как под гипнозом». Далее, «знания, которые он теперь имеет» он должен «или накапливать, или навсегда оставить при себе». Но поскольку мальчик никогда не ходил в школу и не изучал математику, следует отдать предпочтение второй возможности.

Сократ, кажется, сам поверил, что сформулировал свой тезис. Математические знания непреходящи. Души владеют ими до нашего рождения, забывая их при входе в нашу жизнь, но их можно вызвать усилием воли при наличии соответствующей потребности. В частности, математика не плод творения ума, а только «памяти». И следует важный вывод: «…и если истина каждой вещи всегда существует в душе, значит, душа бессмертна. По этой причине веселитесь и взывайте, чтобы достать то, чего вы не знаете или, часом, позабыли». На что Менон (не названный в диалоге скептиком) ответил:

– Я чувствую, что мне нравится то, что вы говорите. Не очень искушенный в правилах поведения, Сократ ответил:

– И мне, Менон, нравится то, что я сказал. Известнейшим образцом доктрины припоминания на чисто интуитивной основе стала «Ода намеку на бессмертие» Вордсворта. Подобно большинству поэтов, подпавших в юности под влияние реализма Платона, Вордсворт не верил, в отличие от верившего Сократа (Платона?), что логические и научные знания были унаследованы вместе с душой. Реализм в понимании Платона исходит от эмоций, а не от разума. Мистику, математику и прочее найти еще можно. Одно из предназначений мистицизма – моментальное знание о реальности прямой интуицией без посредничества чувств или разума. Настоящая мистика не нуждается в доказательствах, как у Сократа. Для него они не нужны, неуместны и бессмысленны.

Доказав бессмертие души, Сократ быстро перешел к бессмертию добродетели. Нет необходимости следовать за ним. Все его (или Платона?) усилия по доказательству предположения такого рода фундаментально не отличаются от представленного. Для ума, жаждущего быть убежденным, наиболее убедительными из всех попыток Платона установить «объективную реальность мироздания» (таких, как истина, добродетель, любовь, человек, знания и т. д.) были те, что касались общеизвестных истин арифметики и геометрии. И значит, так оно и было, раз Сократ убедил Менона. Платон не был ни первым, ни последним, кто искал математическое постоянство среди ускользающих воспоминаний о событиях прошлого. Из века в век у думающих людей сохраняется потребность найти отдельные признаки постоянного убежища в вечно существующем потоке, который время от времени бросает их на скалы (или в болото) предполагаемо вечной математики.

Суть реализма Платона – мистическая доктрина об Идеях и Формах. По мнению ряда экспертов, записи Платона содержат как минимум две теории Идей. Математики, согласные с Харди, которого уже цитировали в первой главе, в том, что «математическая реальность лежит вне нас», не нуждаются в убеждении самих себя, которую из теорий Идей им стоит использовать для поддержания собственной уверенности. Одна, чтобы объединить все, предоставляет им изобилие взаимно подтверждающих аргументов. Нет необходимости беспокоить тех, кто интересуется вместе с Казнером, как человеческие создания когда-то додумались поверить в платоновскую реальность математики, школьными сомнениями о том, в которую из версий своей теории, если таковые имеются, в конечном счете верил сам Платон. Любой единичный аргумент из скопления всевозможных аргументов в состоянии показать, что подтолкнуло реалистически мыслящих математиков разглядеть «объективную реальность» математики. Выбрав один из самых простых, рассмотрим его по «Фаэдо» в части «реального» равенства.

Чувства никогда не указывают на точное равенство двух предметов, очищение путем измерений всегда показывает расхождения, не установленные простым наблюдением. Следуя этим путем, если чувственная очевидность что-то и говорит нам, то необходимо беспредельное количество очисток от примесей. Хотя действительно достоверное равенство находится за пределами чувств, разум не испытывает проблем в установлении равенства с абсолютной точностью. Если это «реальное» равенство никогда не достижимо для чувственного наблюдения, где оно и что оно собой представляет?

Логик-позитивист из школы экстремалов мог бы сказать, что этот вопрос лишен смысла. Экспериментатор будет настаивать, что любое предположение, например «длина этих двух палочек равна», имеет значение, только в случае, если предположение включает в себя средства его проверки. «Абсолютное равенство существует» в предположении, которое не выдержит этот тест. Это образец метафизических утверждений, что с научной точки зрения лишено всякого смысла. Такие утверждения не обязательно не важны. Многие из них ограничивают человеческое поведение, а некоторые начинали длительные и кровавые войны. Они просто не имеют значения для науки. Важны ли они для чистой математики? Математик-реалист не сомневается в данном вопросе. Для него абсолютное, идеальное равенство существует, но никогда полностью не проявляется.

Равенство как идея всегда одинаково. Будучи неизменным, оно остается единственно возможным объектом знания во всех данных вопросах. Поскольку, если измеренные длины двух металлических прутов, скажем, «равны» по длине, измеренной микрометром, но подвергнутся воздействию температуры, а сам микрометр начнут трясти совершенно непредсказуемым образом, кто может знать наверняка, что пруты равны по длине? И что это значит, если скажут, что равны? Текущий научный ответ, что все эти вопросы не могут иметь значения, потому что все эмпирические измерения есть статистические по сути, просто отодвигают к началу вопросов. Чувства, как в научном эксперименте, формируют мнение, размышление, как в математике, формирует знание. В этом и заключается, как отмечал математик-реалист, последователь Платона, разница между мнением и знанием. Вырабатывая свою позицию, реалист критикует интерпретацию типичного опыта.

Экспериментатор А придерживается точки зрения, что шесть дециметров в длине прута, измеренного в соответствии с общепринятыми стандартами, равны 7 с допуском плюс-минус 2. По мнению экспериментатора В, 5 плюс или минус 1 вполне достаточно. Математик-реалист настаивает на том, что ни А, ни В не могут знать ничего о «реальном» размере прута до тех пор, пока каждый продолжает апеллировать к своим чувствам и к своим приборам. Теперь числа, соответствующие длине, что А и В заложили в свои формулы и равенства, также сопровождаемые возможными погрешностями, рассматриваются как неизменные на все время процессов математической дедукции. И пока размышления корректны, утверждает реалист, А и В находятся в сфере знания. Когда же они перестают мыслить

абстрактно и переводят свои выкладки в экспериментальную фазу, они возвращаются обратно в поток простых мнений. Такова приблизительно точка зрения реалиста, и он никогда не перестанет удивляться тому, что, по мнению экспериментаторов, именно они преумножают накопленные знания человечества. Для него единственная часть любой науки, которая имеет право именоваться знанием, – это математика. Так как естествознание как раздвоенная личность находится в вечном конфликте само с собой, математика же, существующая монолитно в окружении разума, самодостаточна и отличается здравомыслием.

Бесконечный раздор между знанием Сократа и мнением нашел отражение в науке в виде конфликта между теорией и наблюдением. Тот факт, что подобные расхождения действительно имеют место, и достаточно часто, отрицать нельзя. Кто виноват, пока не решили, но есть подозрение, судя по некоторым примерам, что могут быть виновны оба фактора. Но реалист уверен в одном, что его математика всегда права, а потому вечно права. Но права так, как это понимает реалист, а математика реалиста по этой причине не имеет никакого значения в областях научного эксперимента и здравого смысла.

Возможно, что в большей степени, чем общие сведения о математике (равенства, точки, линии и т. д.), ее теоремы дают математику-реалисту бесчисленные подтверждения его уверенности. Вместо поиска доказательств этого постулата у Платона (или Сократа) процитируем другого знаменитого философа, известного как математика высокого уровня. Обратимся к Декарту, жившему в 1596–1630 годах, потому что он типичный великий математик, чье научное чутье метафизично и не однозначно. Как можно предположить со стороны такого ума, Декарт верил в реальность математических понятий. В «Пятой медитации» он раскрывает видение реального в Вечном треугольнике.

«Я представляю себе треугольник, – говорит он, – хотя такая фигура, возможно, и не существует и никогда не существовала нигде в мире за пределами моего разума.

Несмотря ни на что, эта фигура имеет определенную природу, или форму, или детерминированное содержание, которое неизменно и вечно и которое не я изобрел, но которое, при любом раскладе, зависит от моего восприятия. Это очевидно, потому что я могу продемонстрировать различные свойства треугольника, например что все три его угла в сумме равны двум прямым углам, что против наибольшего угла расположена наибольшая по длине сторона и т. д. Хочу я того или нет, я вижу достаточно четко и ясно, что эти свойства принадлежат треугольнику, хотя я никогда ранее о них не думал, и, даже если я впервые представил себе треугольник, никто никогда не сможет утверждать, что я изобрел или придумал их».

Загадочный треугольник, чьи свойства представил Декарт, не был плодом его фантазий, а являлся универсальным треугольником, что практически соответствует «Идее» Платона, согласно которой все треугольники, воспринятые органами чувств, представлены в нем в силу своей треугольности. Для реалистов аргумент Декарта вполне ясен и устраивает их. Другие же, необходимо честно признать, находят его очаровательно наивным. Повторим еще раз, это больше вопрос эмоций, чем разума, чтобы его рассудить.

Как только Платон осознал абстрактность математики, эстетики, этики и морали в «Идеях», он, видимо, почувствовал уверенность в себе и своем реализме. Но когда менее симпатичные ему понятия начали настаивать на своем метафизическом праве и также стали копиями соответствующих Вечных Идей, он засомневался. Между несомненными Идеями, такими как Равенство, и стоящими выше всех Истиной, Красотой и Добродетелью оказались Идеи, соответствующие обыденным, но бесспорным растениям и животным. Были ли эти Идеи совершенно чисты? Хотя вопрос следовало задать немного иначе, Платон мог бы спросить, обращаясь к Добродетели: «Что есть человек, яко помниши его?» Ответ прост.

Из числа сотен миллионов индивидуалов, к кому можно отнести слова «вот это человек», ни один не является

Человеком. Как заметил Протагор, вам никогда не встретить Человека идущим вдоль по улице, вы видите человека и узнаете его, если придется, если даже вы никогда его не видели. Но, игнорируя данные софизмы, как это делал Сократ, реалист считает, что каждый индивидуум представлен в Идее «Человек». Универсальный предлагаемый общий термин «Человек» являет собой некую Реальность. Эта Реальность может быть воспринята разумом, но не чувствами, человек, а не «Человек» – вот о чем докладывают чувства. Идея «Много», то есть множество людей, делится на идею «Один», то есть на идею «Человек», и «Человек» существует в навеки неизменяемой сфере «Идей» как «объективная реальность».

Таким образом, переходя к неосязаемому, реалист мог бы вначале представить всю красоту вселенной, расстилающейся перед ним. У каждого объекта есть изъян, и только некоторые похожи друг на друга. Хотя все они обладают «изюминкой», которую реалист воспринимает как красоту из идеи «Красота», которая охватывает все красивые вещи и входит незамеченной в его мозг. И эту «Красоту» он ощущает как «объективную реальность», более реальную, в несколько отличном и постоянном восприятии, чем любую мимолетную красоту, которую он до этого уже признавал красивой. Чувствуя, что «Красота» – это что-то хорошее, а «Добродетель» – это что-то красивое, а оба вместе – это правдиво, реалист в результате познает мистическое откровение, что «Красота», «Истина», «Добродетель» как «Идеи» каким-то образом проникают друг в друга. И поскольку арифметика и геометрия проникают в «Истину», следовательно, они также красивы и добродетельны.

На столь бесспорном выводе среднестатистический математик-реалист традиционно чувствует удовлетворение и успокаивается. Но, если он неколебимо метафизичен, как Платон, он продолжит поход к менее радостным «Идеям». Что бы вы сказали об Идеях «Чистки ногтей», «Волос», «Грязи», «Женщины легкого поведения» и тому подобного? Как Идеи они существуют. Когда Парменид задал этот заковыристый вопрос Сократу, на тот момент еще молодому, Сократ возмутился и отверг возможность пребывания столь вопиюще отвратительных идей вместе с «Истиной», «Красотой» и «Добродетелью» в «Сущем». Поскольку Сущее само есть Идея, в которой каждая Идея участвует в полном объеме, постольку, в противном случае, это вообще не будет неизменяемая Идея, а простое заблуждение чувств и кратковременное «становящееся». Парменид уверил Сократа, что философская зрелость вылечит его от юношеской щепетильности в отношении Реальности, и действительно так и случилось. Его выздоровление вернуло его человечеству.

Предполагая, что Платон был уверен в объективной реальности своих Идей, мы встаем на спорную почву. Вес авторитета в философии, казалось, способствовал формированию этого мнения, хотя некоторые критики возражали, что Платон в свои преклонные годы отказался от объективной реальности Идей, и в поддержку своих возражений приводили отрывки из «Парменида» и иных работ Платона. Для реалистов-математиков не суть важно, кто прав, а кто нет, ведь они, разумеется, остаются верными объективной реальности математических «Идей», во что бы там верил или не верил Платон, состарившись. Иначе их реализм не имеет никакого смысла.

«Идеи», хотя и «объективные реальности», не есть «объекты» в прямом смысле слова: кирпичи, народ, эмоции, – а по существу стоят ближе к мыслям. «Идея», однако, не есть мысль в чьем-то человеческом мозгу, даже не в Мозгу Абсолютном, если Абсолют, он же Бог, вообще имеет мозг или, если таковой и имеет, хоть изредка думает. Идеи – существующие сами по себе сущности, которые могут быть мыслями думающего человека. Они над пространством и над временем, независимы от разных богов и людей, вечны, неизменяемы и прекрасны, они не плод разума, но воспринимаемы им и «известны» только благодаря разуму или душе, а не через чувства.

Все это становится очевидно для математика-реалиста. Но коварные трудности проявляют себя. Застарелый конфликт Единицы и Многого разгорается вновь в различиях между Идеями и миром чувств. Например, полным-полно треугольников, но есть только один Треугольник, бесконечность целых чисел и только одно Целое число. Сфера Идей из Абсолютной реальности, Абсолютного существования, мир чувств нереален и нестабилен, за исключением Объектов чувств, составляющих его или участвующих в Идеях. Идея есть Единица, выделенная посредством частичной реальности из Многого, если это Много вообще реально. Хотя реализм как Идея есть Единица, его неясность, как было показано в «Пармениде» Платона, множественна. Например, чем является «реальный» статус следующего предположения, что «дважды три равно семи»? К какой Идее он относится? Решение абсолютно простое – к реалистичной.

Чтобы сравнить свое Абсолютное существование и рассмотреть свою Абсолютную реальность, Платон включил созидательное воображение и легко превзошел подвиг пифагорейцев, которые изобрели Антипод (Анти-Землю). Он убедил себя, что постиг Абсолютную несущность. «Нереальная» составная часть предметов в мире чувств, так же как и ошибочные предположения, публикуемые время от времени невнимательными реалистами, типа «дважды три равно семи», и есть это Абсолютное несуществующее.

Вечное существование этого монстра не должно смущать нас, поскольку оно происходит благодаря участию в Истине, Красоте и Добродетели, чей реализм делает действительными как математику, так и древние верования, дожившие до наших дней. Но не следует забывать, что Зенон объяснял Сократу, что парадоксы Одного и Многого вдохновили его на собственные парадоксы. Пока все это, включая фундаментальный парадокс Единицы и Многого, к удовлетворению сторон не преодолено, математический реализм (как и математический анализ) оставался без прочного фундамента. Но это не превращалось в серьезное препятствие. Еще предстоит показать, что противоречивость неизбежно противостоит убежденности.

Вкратце рассмотрев Идеи как «объективированные концепции», задаем вопрос: как выявить Идею? Разумеется, не с помощью чувств. С помощью умозаключений тоже вряд ли уловишь их во всей полноте. Хотя разум может подойти для подобного распознавания, если применить диалектику.

Полностью порвав с чувствами, диалектика оперирует исключительно в царстве Идей. Она имеет целью определить понятие и распознать его истинность. С помощью диалектического процесса происходит «распределение» на составляющие, выявление общего для разных вещей и выделение в конкретном виде подвидов с окончательным распознаванием мельчайших составляющих. Но поскольку все существует парами, согласно теории пифагорейцев, платоновское деление находится в родстве с дополнительным «сочетанием». Усовершенствованное распределение и сочетание, как кажется, могут стать эквивалентом современному аппарату перекрестной классификации по правилам символической логики.

Животные, например, когда их начинают «распределять» с учетом пар противоположностей, мужских, женских, разделяются на два взаимно исключающих класса, каждый из них может быть дальше «распределен» надвое, с учетом других пар противоположностей, и т. д. Когда остаются только 30 типов, 153, 485, 404 подкласса, практически все животные укладываются в ячейки, каждая предположительно внесет свой вклад в Идею, а в целом – в Абсолютное существующее. Изначальная пара, мужское, женское, например, могут оказаться в Идеях «Мужского», «Женского». Пифагорейцы, как уже было показано, распределяли из расчета своих десяти пар противоположностей. Диалектика Платона последовательно распределяет на две части из расчета категорий Реальности (Одинаковость, Несходство, Неподвижность, Движение и Существование). Только диалектика, и это понятно, способна создать обоснованную науку. Как можно предположить, реализм Платона допускает определенные парадоксы, с которыми до настоящего времени не полностью разобрались. Часть из них установил сам Платон. Каким образом, звучит вопрос в «Фаэдо», «Идея», которая согласно гипотезе является неизменной и вечной, вообще входит в состав изменчивых вещей этого чувственного мира и как объяснить обратное вхождение? В который раз, как только начинаем «реализовывать» свидетельство своих чувств в Идеях, ожидаемый прогресс от замены многостей единичностями превращается в иллюзорный. В «Идеях» необходимо накапливать «Все» Фалеса, Анаксимандра и Пифагора, преумножая внутри себя до высокого уровня, пока мощность множества Идей парадоксально не превзойдет мощность множества вещей. Простые софисты во времена Платона также задавали вопрос, что делают Идеи типа «Горячо», «Холодно», если не участвуют в чувственных образах «горячий», «холодный». Менее очевидно, чувственные «хороший», «истинный», «красивый» воспринимались всеми расформированными душами, освобожденными наконец-то из колеса жизни, и эти освобожденные духи не восприимчивы к переменам температуры. Следовательно, для них «Горячо» и «Холодно» существуют в несуществующем. На этом месте в античной дискуссии Аристотель, живший в 384–322 годах до н. э., отпустил ряд нелицеприятных комментариев. Зададим вопрос, насколько компетентен он был, чтобы критиковать метафизику Платона.

Сын врача, сам обученный профессии медика, Аристотель, в отличие от Платона, не был враждебно настроен в отношении эмпирического естествознания. Примерно в возрасте девятнадцати лет он уже регулярно посещал лекции Платона. С двадцати одного года вплоть до смерти Платона в 349 году до н. э. Аристотель был учеником, критиком и уважительным последователем основателя Академии. Именно в тот период Платон посвятил себя развитию теории Идей. У Аристотеля, таким образом, были широкие возможности получать информацию из первоисточника и уже на основе этого формировать свое критическое отношение к реализму Платона. Но два препятствия, возможно, не позволяли ему стать настолько объективным, насколько вообще философ в состоянии объективно оценивать труды своего соперника. И обе причины имели личностный характер.

Говорят, что Аристотель надеялся занять пост директора Академии после Платона. Когда же Платон умер, завещав пост Спевсиппу, Аристотель в гневе покинул Афины. Потом остыл и, вернувшись в Афины, основал свой собственный лицей в противопоставление Академии. Платон знал Аристотеля лучше его самого. Трудолюбивый естествоиспытатель и ворчливый логик не соответствовал тому типу последователя, который станет взращивать Идеи в Академии или где-либо еще. Не был он похож и на человека, который, будучи таким же равнодушным, как Сократ, к красотам математики, станет развивать высшую нумерологию Абсолютного существования. По этой причине Аристотель оказался не соответствующим своим надеждам. Испытанное разочарование, а также особенности собственных научных интересов, скорее всего, не позволяют считать его абсолютно беспристрастным критиком философии Платона, если только он не был настолько погружен в науку, что приобрел иммунитет к человеческим слабостям.

Наиболее острой критике Аристотеля подвергался реализм Платона в его конечной форме, где Идеи становятся Числами. Следуя Аристотелю и сделав допущение, что письмо Теано подложно, а с ним и все похвалы, которые не были заслужены, просто отнесем неясности в реализме Платона к их происхождению в пифагорейской нумерологии. Подлог, как помнится, приписывал Пифагору следующее высказывание. «Вещи представлены числами» или «Вещи и есть числа». Аристотель заявлял, что Платон, как ни странно, никуда не продвинулся в метафизическом плане дальше неработающих древностей, поскольку «числа» и «представлены» он заменил на «Идеи» и «участвующие в», то есть сделал чисто редакторскую правку. Но поскольку Аристотелю очень сильно не нравилось многое в учении

Платона, а, как отмечают некоторые платонисты, остальное он был не способен понять, его обвинение звучит легковесно. Существует общепринятое мнение, что Платон отождествлял свои Идеи со своими Идеальными числами и что это было изобретение его престарелого ума, когда он уже утратил способность к немистическому мышлению.

Аристотель и сам отдавал предпочтение концепции натуральных чисел как «совокупности единиц». Но появление иррациональных чисел продемонстрировало, что иррациональные числа (типа корня квадратного из 2) либо вообще не порождены числами, либо не все числа есть «совокупность единиц». Иррациональные числа не могут быть получены ни присоединением единицы, ни конечной суммой рациональных чисел, созданных таким образом. Платон отвергал идею, что натуральные числа 2, 3… являются результатом суммирования 1 + 1, 1 + 1 + 1…, и утверждал, что они «по качеству то, чем они являются». Безусловно, говорил он, они не «совокупности единиц». «Совокупность» – это одно, а «число» – это другое. Это, кажется, придавало некое значение его теории формирования Идеальных чисел, в которой «участвовали» как натуральные числа, так и иррациональные.

Если более ранний вариант теории Идей математикам-нереалистам казался невразумительным, то продолжение, воплощенное в Идеальные числа, стало таковым вдвойне, даже в насмешливом изложении Аристотеля. Отдельные вопросы, вынесенные на обсуждение Аристотелем, звучали слегка сатирично, словно он пытался скорее выпятить свое превосходство, выставляя покойного наставника Академии как пустозвона мистагога, чем добиться понимания его зрелой философии. Почему, вопрошал он, число, воспринимаемое как единое множество, есть единица? Это та самая единица из платоновской нумерологии, единица, что порождает Все сущее из «Большого-и-Малого», та таинственная тень континуума, который Платон так и не объяснил?

Вопрос остался без ответа, поскольку Платон разместил «математические объекты» в диапазоне много выше области чувств, но ниже Единицы из Идей. Хотя вечные и неизменные объекты математики расположены ниже, чем Идеи, каждая идея остается лишь образцом данного рода, в то время как множество математических объектов могут быть похожи, например ненумерологическая чувственная три, но только одна Идея «Три».

Аргумент едва становится понятен после перехода к распутыванию сложной ситуации с закручиванием платонической триады: чувственные объекты, математические объекты, Идеи. Участие в одном сочетании «Большие-и-Малые» создает Идею, эта Идея та же самая, что и Число. Идеи лежат в основе всех вещей, все вещи состоят из примитивных элементов, элементы есть числа. Числа порождаются из «Больших-и-Малых», как и в Идеях. Таким образом, настоящие элементы всех вещей есть как Идеи, так и Числа, лежащие в основе всего. Но поскольку Числа есть Идеи, они недоступны для чувств, и не следует ожидать, что они поведут себя как математические числа, которые не являются Идеями. Идеальные числа воспринимаются разумом, а математические числа – чувствами.

Чтобы отодвинуть Числа, имеющие земное происхождение, от полезной и сложной арифметики, Платон объявил, что они не могут быть ни дополнены, ни умножены. Полностью релевантный Аристотель задался вопросом, как одна идея может создать много идей, если иметь в виду, что Идеи есть Числа. Казалось, Платон ответил ему: так быть не может. Поскольку, если Идея, которая есть Число, потенциально есть «скопище единиц», как это должно было быть, тогда оно в состоянии создать другие Числа или Идеи, но это делает возможным добавление чисел. Но сам же Платон заявил, что это невозможно. Аристотель также спрашивал, в чем точная разница между математической единицей и реальной единицей, если последняя есть число, или Число вообще? Поскольку Платон был мертв, когда Аристотель задал этот вопрос, он до сих пор остается без ответа. Допуская возможность последнего шага в универсальной нумерологии, Платон внес в иерархию Идей под видом наипервейшей Идеи «добродетель». Добродетель, таким образом, стала Числом, а Число стало Добродетелью. Предел был исчерпан. Число было обожествлено.

Возможно, только математик-реалист в состоянии полностью понять теорию, которую я попытался передать вкратце. Я прекрасно осознаю недостатки моей попытки. Она была предпринята, чтобы дать некоторое представление о глубине или ширине сомнений, внесенных в человеческое знание в результате неосторожного высказывания Пифагора, что «все сущее есть число». Если то малое, что знали древние пифагорейцы в области математики и ее научного применения, создало философию, охватившую все от физиологического чувства голода до духовного познания Абсолютного Бога, едва ли удивительно, что бо_льшая математика вдохновила современных пифагорейцев всего-то лишь на открытие физической вселенной в собственных головах.

Сознавшись в одном из возможных недостатков законченного понимания, скептически настроенный ум признает и другое. Верный математик-реалист, скажем И.И.И., все еще верящий в Колесо жизни, может случайно вспомнить тривиальные фрагменты математической Идеи, как мальчик-раб Менона вспомнил заложенные в нем до рождения знания, что дважды четыре будет восемь. Потом начнет регулярно писать свои припоминания и отсылать их в математическую периодику, чтобы их напечатали под его собственным именем: «Написано И.И.И.». А если не реалист, если он и правда верит в реализм, опубликует то, что припомнит или считает верным под именем настоящего автора: «Написано Абсолютом»?

Теория Платона об Идеях была окончательно сформирована в IV веке до н. э. Зачем, спросит беспристрастный ученый, кому-то в XX веке н. э. воспринимать ее всерьез? И на какой результат рассчитывают искатели противоречий после истечения всех сроков давности той или иной детали примитивной попытки объяснить мироздание?

Какое возможное значение может быть у «старых, несчастных, давно позабытых вещей и схваток» для мира, шагнувшего вперед вместе с наукой? Конечно, задачи истории науки или математики не состоят в том, чтобы сберечь устаревшее от забвения. Тогда зачем перечислять эти античные дебаты давно умершей Академии Платона? Разве не правы в своем высказывании те философы, что заклеймили абсолют Платона как «наносящую ущерб тщетность»? Правы они или нет, ни один ученый ум реакционного XX века не называет доктрину Идей некритической ошибкой прошлого. Озлобленные и непримиримые враги науки – это не догматичные теологи, как предполагают некоторые ученые, а реализм в духе Платона. Это антипод науки, но его популярность возрастала с 1920 года, быстрее, чем в любой другой период после XVI века. В сравнении с огромной живучестью чистой магии, земным интуитивным мистицизмом реализма, травлей Галилея в XVII веке и поношением Дарвина выстроившимися в боевой порядок теологами в XIX веке – все это прошедшие недопонимания, малозначимые для науки. Но неторопливое непрекращающееся давление общих донаучных мифологий и суеверий не уменьшилось со временем. Стоящие за ними тысячи лет все еще превосходят три века современной науки.