Джироламо Саккери (1667–1733) произвел не больше впечатления, чем Беркли, на упрямцев с «волей к вере» (как сказано в классической фразе Уильяма Джеймса) в XVIII веке. Этот расчетливый век прозвали «веком разума», что весьма иронично, если вспомнить, как «Аналитик» Беркли был принят этими же разумниками. Попытка Саккери перетряхнуть догматизм того времени окончилась провалом отчасти из-за его темперамента, отчасти из-за условий строжайшей дисциплины, в которых ему приходилось работать.

Если величайший тест на веру потребовался бы от Саккери, ему следовало доказать то, во что он сам не верил. И вовсе не потому, что он будто был скептиком или циником, поскольку ни тем ни другим он не был. Он просто обладал природным даром верить во что он хотел. И пусть это наипростейшее объяснение его извилистой карьеры, но оно не единственно возможное, другие объяснения напросятся сами, когда мы проследим кружные пути его злосчастного шедевра.

Блестящий успех Саккери в борьбе за то, чтобы убедить самого себя в абсолютизме геометрии Евклида, – один из наиболее курьезных психологических парадоксов в истории разума. Обязанный поверить в систему Евклида как абсолютную истину, он создал еще две геометрии, каждая из которых имеет законченный вид и так же приемлема для повседневного применения, как и геометрия Евклида. Затем, каким-то чудом, он разуверился в обеих. Поскольку в действительности существует три заслуживающих доверия варианта (один из вариантов был геометрией Евклида, а два других – забракованной парой Саккери), получилось, что непоколебимо верующий человек признал возможной только геометрию Евклида. Но именно это он и хотел доказать. Как Превосходный Саул, который отправился искать ослов своего отца, а вернулся домой с королевством, Саккери в поисках Евклида в одиночку создал несколько вселенных. Но в отличие от Саула он вернулся с тем, за чем его послали.

О жизни Саккери известно мало, так как, возможно, мало что можно узнать из сухой формальной записи об успешном посвящении в члены Общества Иисуса или ордена иезуитов. Иезуиты, казалось, старались избавиться от персонализации, утопив ее в дисциплине своего ордена, и Саккери был, к сожалению, почти полностью деперсонализирован. Но прежде чем он умер в 1733 году, он успел рассказать о своем открытии, подрывающем все устои основополагающего направления развития глубоко безразличного мира. Труд Саккери по неевклидовой геометрии на время пропал из виду вместе с ним, всплыв на поверхность только спустя сто пятьдесят шесть лет после его кончины.

Легенды о его детстве в Сан-Ремо описывают Джироламо всегда с книгой Евклида «Элементы» под рукой, даже во время игры. То, что он часто открывал книгу и просматривал содержание, становится очевидно из его последующей жизни. До того как ему исполнилось двенадцать лет, Саккери уже распрощался со свободой мысли на всю оставшуюся жизнь. Он стал преданным рабом Евклида, ублажая свою веру во вред разуму. Если это и несправедливая оценка интеллектуальной жизни Саккери, то, может быть, он сам пожелал, чтобы его наставники сформировали его таким.

В остальном Саккери был также не по годам развит. В возрасте десяти лет он уже хорошо разбирался в устном счете. К одиннадцати годам он глубоко погрузился в философию, а еще глубже в шахматы, в них он был лучше чем просто хороший игрок. В восемнадцать лет он ушел с головой в теологию и начал успешное продвижение на пути к карьере уважаемого профессора-иезуита. В 1690 году, в возрасте двадцати трех лет, после окончания послушничества Джироламо был направлен учителями в иезуитский колледж в Милане в качестве преподавателя риторики, философии, теологии. После нескольких последовательных назначений на более выгодные преподавательские должности он стал профессором математики в университете города Павия.

Саккери был плодотворным автором. Закрыв глаза на его эпохальный провал с попыткой возродить абсолютизм Евклида, его основные работы можно расценить как логичные. Проникновенная острота его ума видна также (по мнению компетентных судей) в работах Саккери по теологии. Запутанная проблема Божьей благодати, например, потребовала напряжения всех познаний в казуистике, преж де чем приемлемое решение было найдено.

Разглядеть природу величайшего достижения Саккери несложно. Как уже было сказано, она связана с решающим поворотным моментом в эволюции геометрической истины и в концепции «математической реальности». По этой причине она заслуживает некоторых размышлений.

Если любое из двух предположений подразумевает другое, то говорят, что предположения эквивалентны. Иными словами, предположения А, В эквивалентны, если А подразумевает В, а В подразумевает А. Если одно из предположений доказано, следовательно, доказано и второе.

Вернемся к пятому постулату Евклида, который является предположением о существовании параллельных прямых. Он намного сложнее любых других постулатов Евклида, и если Евклидова геометрия рассматривается как абстракция чувственного опыта, то нет видимых причин поверить, что пятый постулат должен быть универсальной истиной в этом опыте. Следует установить, что при измерении, например, очень больших расстояний, какие бывают в астрономии, опыт может противоречить отдельным эквивалентам пятого постулата. Один такой эквивалент – полезное предположение, которое Декарт рассматривал как вечную неизбежность: сумма углов любого плоского треугольника равна двум прямым углам. Гаусс, как ни странно, предполагал астрономический тест этому предположению как средство для принятия решения, является ли геометрия Евклида правильным мерилом «пространства», определенного для опыта. По причинам, в которые лучше не вникать, опыт никогда не был проведен, а если бы это случилось, он бы не был достаточно тщательно проведен, чтобы урегулировать проблему.

Еще более достоверный эквивалент пятому постулату Евклида, чем предшествующий, был замечен Саккери. Это одно из трех взаимоисключающих предположений, исчерпывающих возможности для параллельных линий. Вместо эквивалента Саккери, увидеть суть вопроса можно в еще более упрощенном и более достоверном эквиваленте постулата Евклида, а следовательно, и Саккери.

Точка р и прямая линия l, не проходящая через точку р, задают одну плоскость в пространстве. Представим пучок всех (прямых) линий, лежащих на данной плоскости и проходящих через точку р. Существует три варианта: только одна линия из всего пучка не пересечет l, более чем одна линия из пучка пересечет l, ни одна линия не пересечет l.

Первый из этих трех вариантов эквивалентен пятому постулату Евклида. Он также эквивалентен предположению, которое Саккери обязался вывести из другого предположения Евклида. Ему пришлось убедить себя, что второй и третий варианты (и даже их относительные эквиваленты) приводят к противоречию. По очереди из каждого он выводил цепочку рассуждений. Пока он верил своим дедуктивным рассуждениям и придерживался желания поверить в зависимость, он не мог достичь желанного противоречия в неевклидовых эквивалентах. Его строгая логика ничего не выводила, кроме непротиворечивости. Этого не могло быть.

Либо обдуманно, либо по объяснимому недосмотру разочарованный фанат Евклида опроверг одну из своих новых геометрий, добавив дополнительный постулат, пренебрегая его формулировкой: ложно, что прямая линия, достаточно длинная, возвращается в себя саму и становится конечной величиной. Второй вариант он отрицал успешнее, ложным использованием бесконечно малых величин. Игнорируя правила игры, в которую он подвязался играть честно, он сдался, хотя должен был выиграть. Приз был уже у него в руках, когда он отступил. Но поскольку он, безусловно, подсознательно настраивался на победу во имя Евклида еще до начала игры, возможно, он не смог изменить себе. Одна из двух неевклидовых геометрий, которую он выпустил из рук, видимо, сильно искушала его. Он отверг ее с явным сожалением. Ту самую, которую человек по фамилии Лобачевский откроет через девяносто семь лет.

В безмятежной уверенности, что именно он установил неизбежность и вечную истинность геометрии Евклида на все времена, Саккери назвал свой труд «Евклид, очищенный ото всех пятен». Практически со времен Евклида гениальные геометры старались вывести пятый постулат Евклида из его собственных предположений, и все потерпели фиаско. Теперь известно, что поражение было неизбежно: пятый постулат не связан с остальными, как непроизвольно показал Саккери и намеренно – Лобачевский в процессе создания неевклидовых геометрий. Но Саккери умер счастливым в собственном неверии в настоящее величие своего труда.

Если интеллектуальная жизнь Саккери была трагедией, то, по крайней мере, не жалкой. По утверждению отдельных антиклерикальных авторов, жалкая участь постигла шедевры Саккери. Труд этот не потеряли, не предали забвению более чем на полтора века. Его конфисковали и спрятали. Это неприятная инсинуация. И цель дискуссии о нем состоит только в том, чтобы повысить историческую значимость для всех «истин» – от математики до теологии – появления неевклидовой геометрии в XVIII и XIX веках.

Мы видели, что во времена Ренессанса геометрия Евклида вошла в состав вечных ценностей. Кто бы мог оказаться настолько нетерпеливым, чтобы поставить под сомнение абсолютную необходимость этой конкретной геометрии, того неминуемо причислили бы к числу еретиков или, менее почетно, к сумасшедшим. Некоторые абсолюты, потребность в демонстрации которых была необходима для оздоровления разумно здравомыслящих голов, должны были существовать. Евклидова геометрия была избрана всеми скептиками, кто подозревал, что остальные работы чистого разума, в частности официальная теология, должны быть разрушены геометрией. Ни один человек в здравом уме не осмелился бы оспорить истинность геометрии. Таким образом, воцарилась одна абсолютная истина. Но если есть одна, то почему не две? Но если вдруг какой-то еретик опрокинул бы абсолютизм евклидовой геометрии, как поступил Коперник с астрономией Птолемея, ни один абсолют не устоял бы.

К 1920 году, когда теория относительности начала охватывать научный мир как очистительный и разрушительный пожар, хранители средневековых традиций заявили, что если евклидова геометрия больше не абсолют и не единственная в мире, тогда Священное Писание в опасности и ворота широко распахнулись для атеизма. Геометрия теории относительности вообще ничем не напоминала евклидову. Она была известна математике уже почти шестьдесят лет, когда Эйнштейн нашел для нее практическое применение. Но непоколебимые поборники Средневековья никогда не слышали даже упоминания о ней. Не слышали они и о неевклидовой геометрии Саккери, к тому времени отмечавшей уже свое двухсотлетие, хотя и опубликованной всего за тридцать лет до этого. Шторм утих, или его рокот утонул в грохоте утихающего урагана, налетевшего на абсолюты классической логики – далекое, но прямое следствие отмены абсолютизма в геометрии.

Факты, касающиеся труда Саккери, ясны. По рекомендации регионального правителя иезуитов, «Евклид» после просмотра жюри теологов был отправлен в сенат, кардиналу и главному инквизитору. Инквизитор подтвердил, что книга не содержит ничего враждебного официальной вере. Разрешение на публикацию было дано 16 августа 1733 года. Саккери умер 25 октября того же года. Любой книготорговец объяснит разницу между набором и изданием книги. И хотя «Евклид» был набран в 1733 году, публикацию отложили до 1889 года – года, когда последователи Бруно воздвигли ему монумент. С 1733 по 1889 год книга оставалась под сукном. Но в 1889 году один ее экземпляр случайно попался на глаза отцу Анжело Манганотти из ордена иезуитов, который немедленно определил ее историческое значение. Он предложил работу Саккери вниманию известного светского геометра Евгенио Белтрами. Великолепно разрекламированная книга Саккери «Евклид» сберегла автору все права и привилегии на математическое бессмертие через сто пятьдесят шесть лет после его смерти.

Правда, к 1889 году неевклидовых геометрий, включая пару принадлежащих перу Саккери, было полно. Они представали перед математиками последние шестьдесят лет, и при наличии определенной подготовки и небольшого воображения любой мог легко создать еще несколько вариантов, отличных от тех, что уже существовали. Если бы Саккери волновала слава в 1889 году, то он уже не сумел бы потребовать научного приоритета своей работы 1733 года, поскольку принятые правила в науке гласили, что отсчет идет от даты публикации. Возможно, это несправедливо, но исключает бесполезные споры.

Другой великий геометр, Уильям Кингдон Клиффорд, живший в Англии в 1845–1879 годах, назвал Лобачевского Коперником геометрии. Если бы Клиффорд знал, что неевклидова геометрия Лобачевского 1826–1829 годов появилась на свет в более ранней работе неизвестного профессора-иезуита, имя которого следовало бы указывать в каждом учебнике истории математики (но его нет ни в одной), он назвал бы Саккери Коперником геометрии. Действительно, титул этот в некотором отношении больше принадлежит итальянцу, чем русскому. Коперник получил первый отпечатанный экземпляр книги, которая опрокинула систему астрономии Птолемея на смертном одре, таким образом избежав общественного неудовольствия. Саккери почти повторил этот подвиг. Но книга Коперника была набрана и издана, а книга Саккери только набрана.

Как и в период подавления свободомыслия, например в начале 1930-х годов в Германии, в случае с Саккери в похожие времена, как полагают некоторые критики, исчезновение его набранной книги не было случайным инцидентом. Если применима какая-либо мораль в этой, скажем, гипотетической истории, то может оказаться, что имевшее место подавление не просто тщетно, а глупо. Факты, как присвоение или растрата, всплывают наружу, и, кто бы ни пытался скрыть их, рано или поздно они проявятся как грубая некомпетентность.

Когда какой-то потенциальный еретик в эпоху Ренессанса желал перехитрить власти, ему приходилось притворяться, что его открытия, научные или иные, были всего лишь развлекательной литературой. Почитатели ортодоксальности среди официальных лиц позволяли (иногда) притворявшимся идти дальше, в то время как неортодоксальные эксперты разглядят за фарсом и прилежно изучат новую подрывную доктрину. Галилей прибегнул к данной уловке, и, вполне вероятно, был бы оставлен в покое, если бы его любовь к сатире не поборола чувство меры. Предполагается, что Саккери пытался проделать тот же трюк.

После семидесяти страниц (форматом в четвертую долю листа) непонятных рассуждений Джилорамо Саккери обыденно переходит к наиболее интересному из его новой геометрии, попутно отвлекаясь на невнятные комментарии, что все сказанное ложно. Либо он имел намерение принести в жертву свои доказательства из-за веры в Евклида, либо он не осмелился признаться в своей еретической геометрии. Этот неожиданный отход автора от железной логики неприятно поразил своей несуразностью далекого от религии и церкви Белтрами. Он заподозрил, что такой сильный логик, как Саккери, просто не мог прийти к подобному выводу, не отключив разум. Почему же он притворялся? Ответ не заставит себя ждать: страх. Саккери не посмел заявить, что новая геометрия «истинна». Для церковного начальства Саккери, как и безупречный геометр Евклид, был почти так же неприкосновенен, как и непогрешимый логик Аристотель. Попытка отрицать Евклида была сродни сомнениям в классической логике, с помощью которой основные догматы официальной теологии были распространены на все вечное. Безрассудно храброе заявление, что неевклидова система столь же «истинна», сколь и евклидова геометрия, привело бы к репрессиям и епитимье. По этой причине Коперник геометрии предпочел прибегнуть к хитрости. Воспользовавшись сомнительным шансом, Саккери разгромил свою собственную работу в надежде через это вынужденное предательство растворить ересь в глазах цензоров и пустить ее в печать. Трюк (если это был трюк) сработал. Книга пошла в набор.

Если «Евклид» был настолько ложен, насколько его представил Саккери в отчаянной надежде, что его судьбоносное открытие никогда не исчезнет вместе с ним, все-таки он пролежал на расстоянии вытянутой руки от молодых поколений, не будоража ничью мысль. В новой геометрии Саккери рассуждения столь ясны и убедительны, что практически любой рациональный ум, следуя доказательствам, легко поддался бы соблазну и пришел к кощунственным мыслям. Так или иначе, но книга оказалась под сукном, в интересах сиюминутной безопасности, как и следовало ожидать в условиях консервативной политики. Тема была крайне опасна для некоторой части попечителей, а если в организации происходит раскол, у нее остается мало шансов выжить. Но в такие судьбоносные моменты опасливые люди откладывают на потом свои незапланированные альтернативные умозаключения. Они упускают из виду, что отдельные свободомыслящие умы вне пределов их влияния и власти начнут независимо приходить к объективным открытиям и публиковать их для всемирного обозрения, и таким образом сами у себя крадут славу, которую, возможно, получили бы, будь они хоть немного смелее. Так было с Саккери.

Когда «Евклид» наконец впервые появился на свет в 1889 году, неевклидовы геометрии уже занимали свое место в математической иерархии. Никакого ужасающего всплеска религиозного скептицизма не последовало с их приходом. Даже профессиональные математики не спешили рассуждать о том, к чему приведет сосуществование нескольких обособленных, несовместимых между собой, самодостаточных геометрий для будущего платоновского реализма математических истин, в который практически большинство из них продолжало верить. Кардинальная революция, свергнувшая астрономию Птолемея, прошла практически незамеченной. Свержение абсолютизма Евклида меняло весь образ мыслей, а не только устаревшее описание Солнечной системы. То, что было невозможно представить до построения Саккери своей геометрии, стало работающей теорией для тысяч, чьим занятием было думать, чтобы другие действовали. Математические истины и математические формулировки научных принципов стали чисто земного происхождения, они перестали быть небесными неизбежностями, а просто удобными для людей инструментами. Ни в математике, ни в естествознании больше не осталось никаких абсолютов.

С этого момента утрата веры в вечные истины и абсолюты перекинулась, но не сразу, а исподволь, на логику и метафизику, а от них и на весь авторитаризм. Хвастливое высказывание Хенли наконец-то приобрело значимость: «Я хозяин своей судьбы, я капитан своей души». И фраза «вечный дух свободного ума» приобрела значение. Мозг человека стал свободен, как он того хотел, а человечество теперь получило возможность отбросить бирюльки и стать теми, кем должно быть.

Вероятно, те, кто убрал от греха подальше «Евклида» Саккери, предвидели, что случится со всеми абсолютами, если работа будет напечатана, и испытывали благоговейный страх перед преждевременным претворением в жизнь неизбежного. Другие совершили аналогичную ошибку в отношении революции Коперника. Вместо того чтобы вставать второй раз на грабли, невнимательный инквизитор, ответственный за утрату работы Саккери, должен был реабилитировать своих предшественников, отважно заявив о надвигающейся революции, более подрывной, чем в случае с Коперником. Он мог бы даже наградить Саккери, своего подчиненного, вполне заслуженным титулом Коперника мысли.

Жизнь человека, который в конце концов представил миру неевклидову геометрию, – это еще одна история успеха в относительно маловажных вещах, завершившаяся личным разочарованием в своих амбициях. Будучи хорошо осведомленным об огромной значимости своего свершения, Лобачевский умер практически не узнанный теми, кто мог по достоинству оценить его труды, и лишенный милости мелких чиновников, которым он вынужден был подчиняться.

Нет нужды перечислять здесь всех, кто пытался опровергнуть постулат Евклида о параллельных прямых на основе его же предположений. Астроном Птолемей в I веке до н. э. оказался одним из первых, но даже у него были предшественники. В IX–XIII веках за ним последовали несколько мусульманских геометров, и среди них персидский математик и поэт Омар Хайям, но они не сумели продвинуться дальше Птолемея. Омар Хайям шел тем же путем, что и Саккери. Но не сильно продвинулся. Мусульман сменили итальянские геометры XVI и XVII веков, которые тоже пришли к неутешительному выводу. Кое-кто, включая известного английского математика Джона Уоллеса (1616–1703), который сделал это в 1693 году, заменяли пятый постулат Евклида другим эквивалентным предположением. Через сорок лет после попытки Уоллеса Саккери застрял в том же тупике, в котором исчезали все его предшественники, хотя он двигался с несравнимо большей осторожностью, чем они. Но он тоже верил, что предположение Евклида верно. В поисках истины Саккери, как и все остальные, кто занимался этим ранее, проявил недостаток смелости или воображения, чтобы выполнить поворот кругом и просто сойти с тропы, ведущей в никуда. Чтобы заподозрить, что требуемое доказательство постулата Евклида о параллельных прямых невозможно, надо было иметь такую смелость и такое воображение, какие нашлись у Коперника, когда тот сместил нашу планету из центра Солнечной системы. Саккери не хватило обыкновенной решимости обосновать свое подозрение, создав самостоятельную геометрию, отвергающую постулат Евклида.

У Лобачевского (1793–1856) хватило требуемых сил. И его молодому коллеге, венгерскому кавалерийскому офицеру и геометру Яношу Больяи (1802–1860), обладавшему необходимой решимостью и воображением.

Незнакомые друг с другом, Лобачевский и Больяи шли к одной цели конвергентными дорогами и достигли ее практически одновременно. У русского было преимущество в публикации. Еще несколько человек преуспели в создании последовательной геометрии, отличной от евклидовой. Но в дополнение к решимости, воображению и таланту потребовался четвертый компонент – отвага. Если человек, создавший или заявивший о создании новой революционной геометрии, не обладает запасом жизненных сил и стойкостью, чтобы встать на защиту своей работы от мудрецов и дураков, он никогда ничего и не создал бы под влиянием самых разных обстоятельств или авторитетов. Из страха перед «криками тупиц» Гаусс, добившийся результатов наравне с остальными, спрятал их до поры до времени и так и не обнародовал. Лобачевский и Больяи сделали все от них зависящее для предания гласности своим работам. Поскольку работа Лобачевского попала в печать первой, его следует называть единственным первооткрывателем, не забывая про заслуги Больяи.

Лобачевский шел к победе тернистым путем. В возрасте семи лет он потерял отца, служившего мелким государственным чиновником в России, который оставил вдове двоих сыновей и мало чего еще. Мать смогла выучить детей, и в 1897 году будущий математик поступил в Казанский университет. Следующие сорок лет своей жизни от студента до профессора математики, а в конце – и ректора Лобачевский провел в стенах университета, получил несколько ученых степеней. Сорок лет выдающегося служения науке и развитию образования в России завершились ничем. Без объяснения причин Лобачевский был отстранен от должности в возрасте сорока четырех лет. Хотя его коллеги единодушно протестовали против того, что они называли грубым бюрократическим нарушением закона, правительство стояло на своем и отказалось представить объяснения.

Лобачевский прожил еще девять лет и умер в 1856 году, так и не получив признания за свое творческое научное бунтарство. Первое сообщение о неевклидовой геометрии Лобачевского было представлено научному обществу Казанского университета в 1826 году. Его не приняли, но за 1829–1830 годы солидное описание было переписано заново и опубликовано по-русски. Немецкий перевод последовал в 1840 году. Ни та ни другая редакции не произвели сколь-нибудь заметного впечатления на математическое сообщество. Только один математик (Гаусс) почтил должным вниманием геометрию Лобачевского и высоко оценил ее в частной переписке, но это было все. Не лишенный мужества, Лобачевский продолжал совершенствовать свою неевклидову систему, назвав ее пангеометрией. За год до его смерти (1855) Казанский университет отмечал полувековую годовщину. Оказав университету незаслуженную честь, Лобачевский пришел на церемонию и подарил экземпляр своей «Пангеометрии», подводившей итоги всей его научной жизни. Работа была написана по-французски и по-русски, но не им самим, поскольку он к тому времени уже ослеп. Спустя несколько месяцев, в возрасте шестидесяти двух лет, умер, вероятно, на то время единственный в мире человек, кто точно знал значение совершенного им. Лобачевский осознавал, какое воздействие новая геометрия окажет на дедуктивные рассуждения. Последнее крайне важно для данной работы.

Источником полного успеха Лобачевского стала его способность не верить в кажущиеся прописными истины и его способность применить свое неверие. Этот талант к созидательным сомнениям в традиционно очевидном, похоже, является редчайшим из всех интеллектуальных даров. Тот, кому достался этот талант и кто при этом способен воспользоваться своим талантом, обычно совершает переворот в науке.

Когда Эйнштейна спросили, как ему удалось создать теорию относительности, он ответил: «Я засомневался в аксиомах». Лобачевский засомневался в аксиоме Евклида о параллельных прямых, Коперник засомневался в аксиоме, утверждавшей, что Земля – центр Солнечной системы, Галилей поставил под сомнение аксиому, что более тяжелое тело падает быстрее, Эйнштейн озадачился аксиомой, что события в разных местах происходят одновременно, Брауер засомневался в аксиоме, что закон логики Аристотеля об исключении среднего является универсальным в применении, физики-атомщики XX века подвергли сомнению более чем одну аксиому механики Ньютона и т. д. и т. п. В каждом случае какой-то раздел человеческого знания подвергался изменениям, и практически без вариантов – в сторону большей свободы. Аксиома в целом накладывает определенные ограничения на разумные рассуждения или запреты на возможные действия, отмена аксиомы как необходимости открывает дорогу свободному творчеству. В прошлом игнорирование аксиом приводило к преследованию, сегодня во всех отраслях знания, кроме социальных наук, она просто предлагает самоограничение, а то и меньше. Успех в применении нового знания или новых преимуществ, ставший следствием успешной замены некоторых изживших себя аксиом, традиционно выступает пропуском к уважению до тех пор, пока заново объявленная свобода сама не превратится в тиранию, ее сменят и откроют дорогу другой. Сухой остаток на стороне человеческой свободы, а не на стороне унаследованных абсолютов и навязанных традиций.

Успех Лобачевского, оспаривавшего аксиомы, был подхвачен другими. Нельзя утверждать, что его пример ускорил чей-то успех, следовавший за ним, поскольку его работа пребывала в полном забвении почти тридцать лет. В 1840-х годах, например, Уильям Роуен Гамильтон заменил одну из базовых аксиом классической алгебры. Аксиома «Порядок, в котором два числа умножаются друг на друга, не оказывает влияния на результат» необходима для классической алгебры. В алгебре, развитой Гамильтоном применительно к физическим наукам, эта аксиома была опущена. Казалось странным, что Гамильтон, живший почти тридцать лет спустя после Лобачевского, опубликовал свою работу и даже умер, не ведая о существовании неевклидовой геометрии. Но в свете личного успеха Гамильтона этот пример наглядно демонстрирует, что математики-созидатели как класс наконец-то начали осознавать неотъемлемую свободу собственных усилий. Когда же в итоге глубинное значение трудов Лобачевского и Гамильтона было оценено, замена аксиом в математике стала одним из общедоступных методов совершения прорывов. Свободные открытия расцвели без ограничений, не сдерживаемые традицией, и математика вступила в период беспрецедентной экспансии. Ближе к концу XIX века Георг Кантор смог выразить убежденность большинства математиков-созидателей в афоризме, ныне ставшем знаменитым: «Суть математики в ее свободе».

Согласен, сказал бы реалист, последователь Платона. Но что такое свобода математики? Разве все эти странные геометрии и причудливые алгебры не находились уже в вечном существовании прежде, чем математики «открыли» или «увидели» их? Разве они не были известны смертным потому, что математики были слепы к окружающему миру? Против столь упорного желания поверить в недоказуемое и никогда недостижимое, не сказать бесполезное, рациональный скептицизм бессилен, а здравый смысл будет напрасно стараться. Пусть верят, если хотят, скажет натуралист.

Те, кто устойчив в своей вере, что «математическая реальность лежит вне нас», имеют хотя бы один неоспоримый аргумент в свою защиту. Открытие может быть свободным, отмечают они, но свободным только в рамках закона. Этим законом является логика, какой она развивается в математике со времен Фалеса. Но как уже было показано, этот предположительно жесткий закон сам без конца меняется. Это не проблема для непоколебимого реалиста: изменение само испытывает действие более высокого закона, который, в свою очередь, подпадает под действие еще более высокого закона, и так далее, вплоть до того недосягаемого, который и является Абсолютом.

Свобода, которой, как представлял Лобачевский, он обладал, создавая свою геометрию, была иллюзией. Это Абсолют диктовал каждый шаг геометру. «Суть математики» не в свободе, как утверждал Кантор, а в служении деспотизму, навеки недосягаемому для человечества. Опять же, пусть верят те, кто хочет верить.