Пятница, 01.07.2022, 13:59
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                              Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ

Возвращение учителя
08.01.2015, 10:17

Первые четыре десятилетия XX столетия запомнятся как начало революции в мире мысли, революции не менее основательной, чем сопутствующий политический и социальный переворот. Старые идеи, за которые по необходимости цеплялось рациональное мышление на протяжении столетий (пространство, время, числа, причинно-следственная связь), были изменены до неузнаваемости в течение десятилетий перед разразившейся Второй мировой войной. Традиционная универсальность математических «истин», так же как положенная необходимость в них, при тщательном рассмотрении исчезли или стали больше походить на один из многих аспектов человеческого знания. Мы проследили за этим изменением; теперь мы обратим внимание на все, что заменило их в науке XX века.

К середине 1930-х годов стало очевидно, что Пифагору с Платоном удалось выполнить свою договоренность о встрече в 1920 году. Довольно любопытно, но Кант тоже дал о себе знать, хотя ни тот ни другой из вернувшихся античных ученых не приглашал его участвовать в омоложении науки. Хотя математики уже давно отреклись от мудреца из Кенигсберга, он нашел неожиданный прием у некоторых из видных пифагорейцев того времени. Его «аподиктические истины» математики и его «синтетические априорные суждения», которые не существуют в области математики (что было к тому времени уже установлено) и которые часть современных логиков объявили не существующими нигде, внезапно материализовались в новых обличьях в физике.

Платона встречали почти так же, как Канта. Возвращение великого философа не стало новостью для

математиков-реалистов, коль скоро они пребывали в уверенности, что он никогда и не исчезал далеко. Но в целом компания ученых была несколько удивлена увидеть его снова. Они по ошибке вообразили, будто навсегда оставил их территорию ради своей же (впрочем, и их тоже) пользы еще в конце XVI столетия.

С самим Пифагором все обстояло много лучше. Он надеялся, но серьезно не ожидал найти математику столь же примитивной, такой, какой он ее оставил в VI веке до н. э. Не случилось. Одного изумленного взгляда, брошенного мельком на мерцающее пространство математики XX века, оказалось достаточно, дабы убедиться, что даже его гибкие во всех отношениях числа нельзя растянуть настолько, чтобы охватить все увиденное. Будучи до некоторой степени человеком практического ума, несмотря на всю свою нумерологию, Учитель благоразумно решил забыть свои нумерологические безрассудства и посмотреть, нельзя ли что-либо сделать в области, принесшей ему первую большую известность. К своей неописуемой радости, он обнаружил, что несколько выдающихся математических физиков и теоретических астрономов продолжили с того места, где он остановился. Он немедленно присоединился к ним. Натуральные числа 1, 2, 3… и их «отношения» (рациональные числа) вскоре снова завоевали всеобщую благосклонность как универсальные факты физической вселенной.

Все, что он всегда хотел сделать сам, но так и не сумел воплотить в одиночку, теперь с легкостью удавалось, словно сквозь решето сочувствующих современных умов просыпались лишь его мысли, очищенные от всяких ненужных примесей. Достаточно долго и упорно размышляя о числах, только числах и ни о чем более, Учитель делал самые поразительные научные открытия без единого наблюдения, без единого опыта. Для того, кто оглашал все эти великолепные новые эпистемологические требования, это было несущественно. Он, Пифагор, знал, что ему, и только ему одному принадлежало упоение от создания их лишь чистым разумом и что он наконец распрощается со своими чувствами и навсегда отвяжется от колеса рождения.

Но даже в момент своего триумфа Учитель был печален. Он краснел при воспоминании о том, как перебирал струны арфы. Как можно было так недооценивать творческую мощь своего собственного разума? Конечно, теперь, спустя почти двадцать четыре столетия, когда уже слишком поздно хоть как-то повлиять на репутацию, он разобрался, что закон музыкальных интервалов есть не что иное, как эпистемологический трюизм, неизбежный результат применения метода, посредством которого рациональный ум передает содержание своего чувственного опыта. Почему он не заметил этого еще тогда, в Кротоне? Неужели он действительно был так глуп в том скандальном воплощении, когда пытался цивилизовать Милона и его жену? Вспыхнув от стыда, он внезапно понял, почему тот неуклюжий атлет и его ничем не примечательная маленькая жена так странно смотрели на него, когда застали за измерением длины вибрирующей части струны монохорда. На какой-то момент он представил их в своем простоватом невежестве принявших его за ненормального. Теперь, слишком поздно, спустя все те злополучные столетия, он понимал, что они промолчали из вежливости. Они не стали насмехаться над гостем, который выполнял всю эту ненужную работу, дабы обнаружить неизбежный результат простого рассуждения, который они-то знали интуитивно с младенческих времен, они лишь стояли, замерев, в дверном проеме, не произнося ни слова из опасения больно задеть чувства своего ненормального гостя. Как далеко зашло их гостеприимство! «Неудивительно, – простонал Учитель, – почему колесо погрузило меня во все безумие средневековой нумерологии. Я явно заслужил не меньше». И случилось то, что уже не раз случалось в истории развития естествознания, математики и философии: методы, идеи и представления, которые светила одного из направлений человеческого знания отставили в сторону, охотно подхватили видные представители другого. Такие возвраты к прошлому не обязательно подразумевают бесплодие или упадничество. Но беспристрастный наблюдатель задавался вопросом, знают ли новые сторонники древних кредо, сочтенных несостоятельными, хоть что-нибудь из прошлого, что вызывает у них прилив воодушевления. Возможно, это и к лучшему, что порой они ничего и не знают, – нет более эффективного средства, оказывающего парализующее действие, чем знание.

В частности, большая часть научной философии современных пифагорейцев, по всей видимости, проистекает из античного смешения чистой математики, которая является абстрактной логической системой, свободной от фактического содержания, и прикладной математики, которая частично предназначена для согласования с видимым и поддающимся наблюдению фактом и которая в этом смысле является эмпирической наукой. Тавтологическая пустота чистой математики перешла, возможно подсознательно, к математически сформулированным гипотезам и «законам» естественных наук; и с этой фактической пустотой, иллюзией либо непреложной неотвратимости, либо надуманно априорного характера математических истин, переплавляется во «все законы природы, которые обычно классифицируются как фундаментальные».

Эта цитата – читатель, вероятно, узнал ее – взята у Эддингтона и приводится в самом начале книги. Мы теперь вернемся к нашей отправной точке и вспомним несколько исторических деталей, которые, возможно, частично лежат в основе поразительного заключения, что те самые фундаментальные законы природы «можно предсказать целиком путем эпистемологических рассуждений. Они соответствуют априорному знанию и поэтому полностью субъективны». Кант, как мы видели, придерживался подобного мнения относительно математических истин, особенно таковых из геометрии; а теологические логики Средневековья почти так же воспринимали логику и зачатки естественных наук Аристотеля. Мы видели также, что математики XIX и XX столетий отказались от подобных убеждений по вполне обоснованной причине, что им противоречит современное знание. Это, однако, не должно вызвать предвзятое отношение к научному пифагореизму. Компетентные эксперты все еще продолжают свои споры, и, скорее всего, споры эти продолжатся еще долгие годы. Давайте, перед тем как перейти к выводам, раз и навсегда остановимся на том, что, если современные пифагорейцы правы, это наименее ожидаемое и предельно недосягаемое научное достижение за все двадцать пять столетий.

Фалес, Пифагор и их преемники, видимо, в конечном счете ответственны за уверенность наших современников в возможности открыть все фундаментальные законы физики только силой мысли. Их элементарная геометрия вышла из обобщения или идеализации чувственного опыта и самого простого наблюдения мира вокруг себя. Потом, как мы видели, они обнаружили, что истины геометрии выводимы из нескольких постулатов, или, как их стали называть позднее, «общих понятий». Постулаты оказались необходимыми, не просто достаточными для последовательного понимания физической вселенной. Аналогично логика в процессе дедукции была неизбежной. Для метафизических наблюдателей естественно было делать вывод, что «законы мысли» и «конституция разума» делают все обращения к чувственному опыту не только лишними, но и вводящими в заблуждение.

Впечатленные триумфами геометров, философы воздвигают свои собственные постулаты (или иногда скрывают их) и переходят к рассуждениям о строении и основных законах вселенной, природе божественного и об отношении человеческой души к тому и другому. Простые постулаты снова казались необходимыми для их изобретателей или исследователей, и снова сопутствующее дедуктивное рассуждение оказалось столь же непреклонным, как судьба, если не самой судьбой.

Философы даже более, нежели математики, оказались убеждены в очевидной правильности их умозаключений, поскольку в целом нельзя было очевидно сопоставить дедукцию с наблюдением. В тщательно аргументированной абстрактной науке, порожденной математикой и философией, было бы вполне реально проверить некоторые выводы фактами. Но более влиятельные лидеры безоговорочно доверяли своим рассуждениям. Эта несомненная уверенность в чистом разуме как необходимом и достаточном орудии понимания и открытия перешла из греческой науки и философии в ортодоксальные научные методики средневековых европейцев.

Немалые услуги, которые классическое дедуктивное рассуждение оказало средневековому богословию, помогли этому методу получить ложный престиж в науке. «Все святые и мудрецы», распознавшие в банальных мелочах элементарной арифметики типичный образец вселенной, с готовностью обнаружили все тайны природы в духовной нумерологии Священного Писания. Поскольку материальный мир не представлял большой важности для ревностных мыслителей, обеспокоенных прежде всего спасением собственных и других душ для нематериального загробного мира, наука была подчинена богословию в работах новых Учителей. Если наблюдение и опыт противоречили разуму, тем хуже для наблюдения и опыта. Логика и богословие объединились в подтверждении вердикта Пифагора, что число управляет вселенной.

Ближе к завершению этого золотого века абсолютной веры доктринеры и более просвещенные адепты превосходства и вседостаточности чистого разума нашли симпатичное подтверждение их верования в древних (и уже поэтому уважаемых) идеях платонистов. Очищенная от богословской незрелости, нумерология больше не подозревалась в нелепости, противоречащей образованному уму. В обработке Платона древняя магия чисел превратилась в самую сущность естествознания, как засвидетельствовано уважаемыми представителями науки. Потом, чуть ли не в один день, с появлением современного научного метода в конце XVI века, даже философская нумерология прекратила сковывать инициативных людей науки, и основательное изучение физической вселенной пошло намного быстрее, чем в любые предыдущие эпохи.

Намеки на то, что античная нумерология лишь временно находилась в состоянии бездействия, появились к концу XVIII столетия в торжественном заявлении Лапласа. Этот величайший ученик Ньютона в области математической астрономии не был ни эмпириком, ни в малейшей степени критическим математиком. На самом деле, если бы изредка говорить правду о великих покойниках не считалось биографическим богохульством, можно было бы откровенно сказать, что вне собственной конкретной области Лаплас – человек и математик – был наивен, как ребенок. Нет, не возмутительно интеллектуально наивен. Этот великий математический астроном обставлял свою частную жизнь с практичным цинизмом французского крестьянина. Порой он настолько умно и ловко декорировал и приспосабливал свои убеждения к политическим веяниям момента, что самому нечем уже было прикрыть реальные убеждения, если таковые имелись. Частично этот практический оппортунизм, возможно, продиктовал его публичные высказывания по вопросам «возвышенной науки», на роль преданного и бескорыстного слуги которой он претендовал. «Истина, – заявлял он беспечно, – мой единственный Учитель». Вполне допустимо, что он, скорее всего, искал возможности произвести впечатление на публику, далекую от математики, важностью своих личных исследований, когда заявлял, что его уравнения содержат всю прошлую историю существования и непреклонно диктуют будущее «мира», то есть Солнечной системы. Поскольку закон тяготения Ньютона был объявлен всемирным, или универсальным, из этого следовало, что вся вселенная являлась механически определенным целым, управляемым исключительно непреложной математикой XVIII столетия. Пространство было Евклида; гравитация всюду и всегда Ньютона; логика по большей части Аристотеля; математика же стояла на пороге самого творческого периода за всю историю. Лаплас был помолвлен.

Не все выдающиеся математики XVIII столетия были настолько довольны собой и своими работами, как Лаплас. В величайшем из них, Лагранже, убедительные достижения сочетались с умеренным скептицизмом. Как следствие ему не принадлежат никакие громкие декларации о судьбе вселенной. Когда его пытались раззадорить и спровоцировать объявить себя пророком, Лагранж обескураживал приставучих простым заявлением «Я не знаю». Лаплас был более известен тем, что не завоевывал общественное мнение и предоставлял другим свергать себя с пьедестала, если у тех на то хватит сил. У некоторых хватало.

Один из тех, кто пошатнул его понтификат, сэр Джордж Биддель Эйри (1801–1892), заслуживает бессмертия за свое глубокое наблюдение, что вселенная является вычислительным устройством на вечном двигателе, чьи шестерни и маховики представляют собой бесконечную систему саморешаемых дифференциальных уравнений. Каждый атом во вселенной существует исключительно потому, что уравнения вселенной обеспечивают его существование. Взамен этого неопределенного дара существования атом в своем блуждающем движении уничтожает уравнения, удостоверяющие его существование. Романтичная математика космоса Эйри была версией XIX века древнего мифа математического постоянства, замаскированного под чувственный опыт как хаотический поток. Пифагор стоял на пороге возвращения.

Именно физика наконец сделала пифагореизм приемлемым для конкретного типа современного научного мнения. Чтобы увидеть, как это случилось, мы должны кратко рассмотреть некоторые из наиболее захватывающих предсказаний физики и астрономии XIX и XX веков. Существуют три вида предсказания математической физики и астрономии.

Первые относятся к известному явлению и предсказывают, каково будет его численное измерение при некоторых предписанных условиях. То есть предсказание количественно в отношении чего-то уже известного качественного.

Многие из опытов на любом хорошем лабораторном оборудовании в кабинете физики средней школы разработаны, чтобы скрыть этот тип предсказания от учащихся. Новичок знает, например, что свет отражается от простого плоского зеркала и от него требуется проверить «закон», что угол падения равен углу отражения. Если бы он был знаком с математической теорией света, он обошелся бы без лабораторного опыта, но тогда в нем не было бы ничего от экспериментального физика. Этот первый тип предсказания определяет «меру» (число) качественного явления.

Во втором и более редком виде предсказания явления, до настоящего времени ненаблюдаемые, исходят из математической формулировки теории. Предсказание в этом случае качественно, и ни теория, ни соответствующая математика недостаточно развиты, чтобы предвидеть меру нового явления. Волновая теория света, например, на более ранних стадиях могла предположить некоторые из наблюдаемых фактов, связанных с поляризованным светом, но не смогла снабдить их последующим количественным счетом.

Третий и редчайший тип предсказания объединяет в себе первые два. Что-то качественно новое предсказано, и одновременно дана количественная оценка ненаблюдаемого явления. Когда такие допущения проверены в лаборатории, они кажутся почти столь же удивительными и чудесными, как успешные усилия древних пророков. В подобных случаях чистый разум, видимо, показывает современному пифагорейцу такие факты относительно физической вселенной, в открытии которых чувственный опыт не имел к этому никакого отношения. В этом и заключена основная суть спора.

Действительно ли даже самые загадочные из предсказаний третьего вида были полностью независимы от предыдущего опыта, полученного чувствами в мире чувств? Тут мнения разделяются.

Пифагорейцы утверждают, что предсказания независимы от чувственного опыта: разум, создавая их, просто получает обратно от гипотетической внешней вселенной то, что сам разум и поместил в эту воображаемую вселенную, пребывая в заблуждении, что наблюдает нечто независимое от себя. Другая сторона подозревает, что без некоторых, полученных из наблюдений пусть и весьма тривиальных, на которых базируется математическая (или эпистемологическая) теория для любого диапазона, явлений эта теория была бы обязательно поверхностна без наблюдаемого и фактического содержания. На что пифагорейцы отвечают, что ученый-экспериментатор, обладающий якобы эмпирическим знанием фактов, знает не больше о «реальном мире», чем котенок, гоняющийся за своим хвостом. «Вы можете забрать только то, что вы ранее положили, – повторяют они, – не больше и не меньше. Так почему же столько шумихи вокруг того, что вы в состоянии обнаружить вашими чувствами больше, чем сумели бы отыскать в ходе своих собственных рассуждений?»

Почему, действительно, если мы помним несколько триумфов очевидно чистого разума? Позвольте нам вспоминать только пять, три из которых уже были описаны. Эти предсказания третьего типа были отобраны из многих, поскольку они предлагают последовательность возрастания неожидаемости. Они расположены по возрастающей удивительности в их исторической последовательности.

Первым приведем предсказание (1832) Гамильтона, вскоре подтвержденное лабораторным путем, конической рефракции. Долгое время было известно, что некоторые кристаллы дают двойное лучепреломление: луч света, проходя через кристалл, расщепляется и, как правило, появляется два луча. Гамильтон предсказал, что при определенных исключительных условиях, которые он задал, случайный луч должен появиться как конус лучей – не просто как двойное преломление, но как некая бесконечность. Его теория систем лучей и геометрии волновой поверхности в среде, дающей двойное преломление, привела его к этому заключению и позволила ему вычислить угол конуса на стадии возникновения.

Следующее (1846) предсказание существования планеты Нептун, возможно качественно и не столь же новаторское, сколь открытие Гамильтона, было столь же замечательно количественно. Этот успех Д.К Адамса и У. Леверье обсуждался в предыдущих главах.

Третье предсказание имело совсем иной порядок. Чтобы оценить его специфическое значение для революции XX века в физике, мы должны вспомнить, что вторая его половина XIX столетия была великой эрой механических моделей физической вселенной. Свет, например, представлялся как трансверсальная вибрация эластичной среды (эфир), заполняющей все пространство, хотя ни единый опыт не завершился успешно обнаружением какого-либо свидетельства существования этой гипотетической среды вне субъективной реальности. По мере того как одна за другой части этой модели рушились под воздействием нового знания, изобретательные механики чинили повреждение, заменяли детали, и агрегат обновленной версии вселенной начинал скрипеть дальше. Каждая переделка была немного сложнее и надуманнее, чем предыдущая. Никто и не думал о простом пересмотре неуправляемой путаницы глубокомысленной математики и наскоро состряпанных гипотез. Скорее всего, даже сам Максвелл не задумывался над этим, когда спокойно игнорировал данный вопрос в своих уравнениях электромагнитного поля (1861, 1864). Уравнения не только описывали широкий диапазон известных явлений; они также предсказали существование радиоволн. Новый уровень значимости, не полностью оцененный в то время, состоял в полнейшем отсутствии научной мифологии для обоснования уравнения. Строгое математическое описание функционировало; зачем было изобретать механическую модель, чтобы объяснить явление? Несколько академических попыток пристроить теорию Максвелла к механической физике того времени потерпели неудачу. Не добавляя ничего к описательным или предсказательным возможностям чистых уравнений, все эти академические попытки разрушить простоту (включая одну попытку самого Максвелла) были скоро забыты. Скептики, которые чувствовали себя комфортно с теорией только тогда, когда она была тесно увязана и ограничена ньютоновской механикой, подозревали плодовитые уравнения Максвелла в некоторой скрытой ошибочности.

Двум поколениям предстояло смениться прежде, чем революционное отступление Максвелла от привычного было признано ознаменованием наступления новой эры. В 1925 году, застав научный мир врасплох, современная квантовая теория преднамеренно отказалась от всех моделей (кроме математической) физической вселенной. Если возможно практически применимое математическое описание некоторой части физики, этого уже достаточно. Как первым настаивал Эйнштейн, измышление сложнейших «ненаблюдаемых», чтобы сосчитать «наблюдаемых» природы, – пустая трата ума и таланта. Все прекрасно формулируется в уравнениях, и они единственные объекты вычисления и измерения. Если кинуть взгляд в прошлое, это игнорирование недосягаемой «абсолютной реальности», столь революционное на момент его провозглашения молодыми пророками, со всем пылом юности желавшими крестовым походом спасти мир для здравомыслия, сейчас воспринимается не чем иным, как давно запоздалой данью здравому смыслу.

Тихое восстание Максвелла также предвещало возвращение Пифагора. Вероятно, никто в 1860-х годах не мог предсказать, что, отвернувшись от одной научной мифологии, физика столкнулась лицом к лицу с другой. Уравнения, которые Максвелл вывел после долгого размышления и скрупулезного изучения экспериментальных исследований Фарадея по электричеству и магнетизму, выводятся простым индуктивным методом из опыта. Индуктивное умозаключение здесь отрицательно. То, что обнаружил Фарадей, теперь знакомо каждому новичку в физике. После многочисленных неудачных попыток создать электрическое поле внутри полого проводника, заряжая внешнюю поверхность проводника, был выдвинут постулат, абстрагированный от опыта, что никакой заряженный полый проводник не может заключать в себе электрическое поле.

Этого постулата достаточно для выведения уравнений Максвелла. Исходя из этого постулата и определенных знаний математики, можно среди многих других явлений предсказать существование электромагнитных волн.

Достаточно искушенные умы способны увидеть в постулате неотъемлемую часть метода, посредством которого разум должен соотнести свое чувственное восприятие «пространства» (в данном случае пустота внутри замкнутой поверхности) с «реальной геометрией» вселенной. Но в настоящее время обычный научный ум расценивает постулат как идеализацию чувственного опыта и полагает, что на него наткнулись как раз в тот момент, когда первые геометры пришли к своим идеальным прямым линиям: путем абстракции от опыта. Однако в отличие от платоновских геометров ортодоксальный физик не воспринимает электрический постулат как тень Вечной идеи. И не приписывает его созданию человеческого разума, как последователи Канта и некоторые современные пифагорейцы.

Четвертый и пятый примеры качественных и количественных научных предсказаний уже были упомянуты, но их стоит упомянуть здесь, поскольку один ускорил возвращение Пифагора, а другой вынудил его задержаться на неопределенное время.

Релятивистская теория гравитационного поля (1915–1916) предсказала (среди многого другого), что линии в спектре света, испускаемого от массивной звезды (например, Солнца), должны быть перемещены к красному концу спектра на расчетное число, в то время как соответствующие линии в спектре света, произведенного в физической лаборатории, не показывают подобного изменения. Предсказание было подтверждено наблюдаемым фактом.

Аналогично для предсказания (1927) ортоводорода и параводорода в соответствии с современной квантовой теорией. Хотя и достаточно сложная, квантовая теория предлагает один из самых простых и наиболее вероятных доказательств, что законы природы могут быть выведены полностью эпистемологическими рассуждениями. Ведь зависимость квантовой теории от эмпирической очевидности ее основных постулатов, несомненно, настолько мала и фактически настолько неуловима, что любой, кто желает не придавать ей значения, может сделать это, никак серьезно не потревожа свою научную совесть.

Факты в этом вопросе похожи на те, что были в случае рождения постулата о электрически заряженном полом проводнике. Один из постулатов в квантовой теории утверждает, что невозможно одновременно измерить точно и импульс, и координаты перемещающейся частицы. Если одно измерение сделано точно, другое обязательно становится соответственно сомнительным или неточным. Они любопытно связаны числовой формулой (еще один постулат), которую нет смысла приводить здесь. Этот «принцип неопределенности» является результатом многочисленных неудач при выполнении или представлении опыта, в котором и импульс, и координаты пытались измерить одновременно.

Нумерология Канта – Пифагора включает эту неспособность вообразить желательный опыт в своих постулатах относительно природы человеческого сознания. Для них это потребность в способе, которым разум должен передать содержание чувственного опыта. Другие классифицируют это как индукцию (умозаключение) от эмпирической очевидности, равную всем научным индукциям. Они отрицают, что чрезвычайно абстрактные общие принципы современной физики не загрязнены наблюдением и опытом, но допускают (как и все остальные), что выводы (дедукция) путем математических рассуждений из этих самых утонченных абстрактных принципов множественны, чаще не соответствуют наблюдениям, а иногда и потрясающе неожиданны. Им также трудно поверить, что возможно получить нечто из ничего, средствами математики или любыми другими средствами, доступными человечеству. С этим пифагорейцы соглашаются, добавляя, что взять следует лишь столько, сколько вложено… разумом.

Без математических формальностей нельзя показать пределы и действенность таких простых постулатов современной физики, как, например: «Если система тел (скажем, скопления звезд) перемещается с постоянной скоростью в некотором направлении, невозможно обнаружить движение наблюдениями, выполненными полностью в пределах самой системы (и поэтому независимо от внешних тел)». Это – один из постулатов специальной теории относительности (частной теории относительности). Знакомая иллюстрация – идеальный железнодорожный вагон, перемещающийся с неизменяющейся скоростью по прямому пути. Если все шторки закрыты, пассажиры не в состоянии определить, находится ли вагон в покое или в движении. Но стоит применить торможение или рельсы уйдут в сторону – ответ будет получен немедленно.

Прокручивая в уме этот релятивистский постулат снова и снова, мы легко убедим себя, что это трюизм (банальность), возможно необходимое логическое последствие простых значений ключевых слов «направление» и «постоянная скорость». Поверив этому, мы увидим, что постулат – более или менее вопрос грамматики и синтаксиса или, если кому-то больше нравится, семантики. О чем это говорит? На самом деле это ничего не говорит о мире чувственного опыта, кроме, возможно, утверждения, согласно которому «его невозможно обнаружить». Последнее подразумевает наблюдателя или «обнаруживателя», который, как предполагается, пытается что-то сделать. Игнорируя «наблюдателя» (ему придется проводить наблюдения до скончания века, чтобы установить «невозможность»), сделаем следующий очевидный шаг и идентифицируем правильный синтаксис с правильным рассуждением. Тогда становится ясно (возможно, обманчиво), что постулат являлся потребностью разума; строение нашего разума таково, что не представляется никакой альтернативы. Поэтому можно справедливо полагать, будто мы обнаружили один из «эпистемологических принципов» физики.

Продолжая подобным образом постигать все признанные фундаментальными законы физики, мы обнаружим, что еще несколько из них легко представить (в интересах экономии мысли) как потребность для любого последовательного рассуждения относительно «внешнего мира». Но если оглянуться на историю физики со времен Галилея и Ньютона, то можно вспомнить, что все чрезвычайно значимые законы были выведены только после десятилетий кропотливого наблюдения и утомительных опытов. Теперь, когда вся тяжелая работа успешно осталась позади, мы признаем, словами пифагорейцев, ее полную ненужность. Если бы наши предшественники достаточно занимались самоанализом и вникали в суть, они упрятали бы подальше и все эти наблюдения, и все эти опыты. Правда (не эпистемологический трюизм), состоящая в том, что некоторые греческие ученые и философы, да и немало средневековых логиков именно этим и занимались и открывали немногим меньше тех, кто подтверждал все чувственным опытом, стоит особняком. Возможно, современники будут более успешны, если только не постфактум.

Даже если эпистемологическому методу в науке не суждено найти ничего нового, это, по крайней мере, покажет, что кое-что из старого более очевидно, нежели предполагалось. Любое сокращение лишних гипотез можно считать удачей. Но похоже, слишком оптимистично ожидать, как больше чем полдюжины ведущих ученых за каких-то тысячу лет достаточно усовершенствуют самосозерцательную технику, чтобы делать новые научные открытия. В конце концов всеобщая теория относительности (без сопровождающего математического аппарата) могла бы быть высказана еще Пифагором. И все же Платон просмотрел ее, и Аристотель, и Ньютон, и Максвелл, и сотни других, кто мог, но не сумел.

Окончательная цель современных пифагорейцев по существу та же, какую преследовали их древние предшественники. Они стремятся обнаружить систему вполне математических утверждений, подводящих итог всего узнаваемого о физической вселенной, и способную к предсказанию всех физических событий. В данном случае термин «физический» используется, чтобы исключить все живое. Чем меньшее количество утверждений потребуется, тем лучше; одно – это идеал. Весь «внешний мир» будет тогда навсегда уменьшен до одной великой математической формулы. Это объединяет мечту Пифагора и амбиции Лапласа. И ничего больше не надо будет ни открывать, ни выдумывать. Но имеется различие, которое Кант оценил бы: комплексная формула должна быть найденной в самом разуме. Все законы неодушевленного мира будут тогда очевидны интуитивно без обращения к чувствам. Не зря же жил Платон.

Предвкушение, каким может быть результат, появилось у Эддингтона в 1936 году, в его впечатляющей и наводящей на размышления «Теории относительности протонов и электронов». Поскольку доказательство (329 страниц) техническое, мы можем представлять только несколько заключений, выбрав интересные с точки зрения формирования независимого мнения о самой работе. Начиная с 1936 года появились существенные модификации теории, но ни одной, имеющей целью уничтожить характерные особенности. Новые открытия легко добавлять там, где необходимо квалифицированное дополнение.

Эддингтон обращает внимание, что имеются некоторые признанные «мировые константы» для описания природы, семь из которых обычно считаются фундаментальными для физики и космологии. Три: масса протона, масса электрона и заряд электрона – пожертвованы атомной физикой; одна – постоянная Планка – квантовой теорией; и еще три: скорость света, «гравитационная постоянная» и «космическая постоянная» – релятивистской физикой и космологией. Математические выражения этих семи констант содержат буквы, обозначающие произвольные единицы «длины», «времени» и «массы». Элементарной алгеброй эти произвольные три легко исключены. Семь констант, таким образом, производят простые, и только «четыре» из чистых чисел, напоминающих нам о Пифагоре и Эмпедокле. Одно из этих четырех – большое число N, которое декларировано как «число частиц во вселенной». Другое, очень известное, является главным числом 137, основа «тонкоструктурной постоянной» спектроскопии. Мы возвратимся к 137 через мгновение. Еще одно число – отношение массы протона к массе электрона, это – рациональное число. Протон и электрон – элементарные частицы, из которых, как полагают, состоят атомы. Оставшееся чистое число, предоставленное фундаментальными константами природы, столь же интересно, но уже скорее технически.

Огромное число N частиц во вселенной, конечно, еще не было проверено наблюдением. Другие три чистых числа довольно малы, и все известны. Таким образом, проверка наблюдением для трех из четырех мировых констант выполнима. Проверка – это хорошо, даже лучше чем хорошо. Эддингтон отмечает, что «все четыре константы получены вполне теоретическим вычислением». Далее он замечает, что число (четыре) из измерений пространство-время (строение физической вселенной, согласно теории относительности) может рассматриваться как пятая фундаментальная мировая константа. Даже это число (утверждает он) найдено, чтобы быть однозначно детерминировано, исходя из эпистемологического принципа, что мы можем только наблюдать отношения между двумя объектами, – принцип, который почти каждый из нас мог бы признать потребностью рациональной мысли или значимого языка.

Указав на замечательное соответствие между собственными эпистемологическими выводами и результатами, предварительно известными из наблюдения и опыта, Эддингтон отмечает, что, «если бы все пошло иначе, это привело бы к замешательству, но теория не опирается на проводимые наблюдения». Далее, если теория права, «станет возможно судить, правильны ли математическая обработка и решения, не ожидая найти ответ в книге природы. Моя задача состоит в том, чтобы показать, что для вычисления точного значения констант наши теоретические ресурсы достаточны и наши методы вполне результативны, и наблюдение тогда станет лишь разновидностью формальной проверки, которую мы применяем иногда к теоремам в геометрии».

Из отдельных деталей эпистемологической теории судьба 137, возможно, наиболее интересна. Эта тонкоструктурная константа была предметом многих экспериментальных определений (как прямых, так косвенных) прежде, чем Эддингтон взялся получить ее из эпистемологических рассуждений. Он получил результат 137 в качестве числового значения этой константы, но знаменательно разнящийся с результатами, полученными экспериментально. Несоответствие между теорией и наблюдением было слишком малым, чтобы счесть это более чем случайным совпадением. Кто-то из компетентных экспериментаторов повторил свою работу с дотошной тщательностью, кто-то изобрел и применил новые методы проверки 137. Пока теория не предсказала, что константа должна быть целым числом, и заявила 137 как целое число, никто и не подозревал, что константа могла быть целым числом. Пифагор подсказал бы экспериментаторам, что их результаты ограничатся целым числом, когда они научатся точным измерениям. Так и случилось. К 1942 году было общепризнано, что число 137 верно.

Выстоит ли эпистемологическая теория в той или иной форме, останется ли она неизменной, или претерпит изменения, или сдаст окончательно свои позиции, число 137 всегда будет делать ей честь. Теория освобождается от своих научных обязательств, когда она провоцирует новую экспериментальную работу большой научной ценности по любому признанному стандарту. То, что предсказание было выверено, могло оказаться лишь удачным совпадением. Но раз уж тому суждено случиться, это не умаляет положительное достижение. И не в первый раз в истории науки, когда ошибка одного человека стоила больше, чем правота другого.

Когда новый пифагореизм впервые появился в 1920 году, он игнорировался всеми (кроме нескольких физиков) как безобидная мистика, не представляющая никакого значения для науки. К 1937 году пифагореизм собрал уже столько последователей среди тех, кто уже был отмечен за свои успешные научные достижения, что их нельзя было уже игнорировать. Пришло время достоверно убедиться, какова она, эта «эпистемология», предназначенная для традиций Галилея и Ньютона. Представители и старого и нового согласились на дебаты, чтобы научная публика узнала, за что выступает каждая сторона, и получила возможность сформировать собственное мнение. Все участники были признанными учеными и имели право ссылаться на свой авторитет. В качестве прощальной дани уважения к Учителю мы предлагаем несколько из наиболее интересных мнений.

Дебаты открыл астроном-теоретик Эдуард Артур Милн, автор знаменитого «Космологического принципа», который он предложил в качестве замены теории относительности Эйнштейна. Согласно Милну, «получить законы динамики можно рационально… не прибегая к опытам». Как мы помним, эти законы составляют основу физики, согласно Галилею и Ньютону, которые вывели их индуктивным методом из опытов.

Выдающийся астрофизик и философ физики Герберт Дингл возглавлял противоположную сторону. «Для аристотелианцев [ошибка, для платоновых пифагорейцев] человеческий ум имел сверхчувствительное знание принципов, которым повиновалась природа, или, как альтернативный вариант, разум был способен отдельно от органов чувств диктовать течение опыта; для Галилея природа была независима, и ум мог лишь наблюдать и пробовать описать в общих выражениях процессы, в ней происходящие, кроме того, разуму было дано стремиться коррелировать результаты чувственного отражения в логическую систему». В отличие от них новый пифагореизм возвеличивает «космолатрию – культ, в котором «Вселенная» – это божество [которое] выше наблюдения и не может быть получено только из наблюдения; она господствует там, где бессилен опыт. Эта космолатрия, как стоило ожидать, выведена метафизикой из математики… Таким образом, мы встречаем среди широкой публики смутную веру, что физика есть учение о Вселенной, а в научном мире массовые публикации бесхребетной риторики, нелогичность которой затенена дымовой завесой математических символов».

Язык участников дебатов должен был неизбежно стать даже еще проще. Время от времени снисходительная ремарка, какую и сам Пифагор мог бы вставить, возвращала спор на безличный уровень, общепринятый в современных научных дискуссиях. Следует процитировать одну такую реплику Поля Адриена Дирака, одного из создателей новейшей квантовой теории, как образчик того, что эпистемологически достижимо. Число 1039 – это единица с 39 нулями. «Мы можем принять за общий принцип, – утверждал Дирак, – что все большие числа порядка 1039, такие как 2 × 1039, 3 × 1039…, обращаясь к общей физической теории, не говоря уж о простых числовых коэффициентах, равны t, t × t…, где t есть современная эпоха, выраженная в атомных единицах. Простые числовые коэффициенты, встречающиеся здесь, должны быть детерминированы теоретически, когда мы имеем всестороннюю теорию космологии и атомарности. Таким образом, мы избегаем потребности в теории для детерминирования чисел порядка 1039».

Он снова привязан к Колесу жизни. На последний виток? «Кротон и Сибарис, Сибарис и Кротон, прощайте и снова здравствуйте!»

Мир, утомленный прошлым,
Суждено ли ему умереть или, наконец, отдохнуть?
Категория: МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ | Добавил: admin | Теги: Мир Математики, занимательная математика, магия чисел, дидактический материал по математик, популярная математика
Просмотров: 588 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ

ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ

ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"

ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты
  • Статистика

    Онлайн всего: 1
    Гостей: 1
    Пользователей: 0
    Форма входа


    Copyright MyCorp © 2022
    Яндекс.Метрика Top.Mail.Ru