Не стоит забывать, что «многие философы высокого уровня признания, начиная с Платона» придерживались точки зрения «в той или иной форме», что «математическая реальность существует вне нас». Интересно и познавательно узнать, что привело Платона к столь значимому выводу. Даже беглое прочтение работ Платона наводит на мысль, что элементарные свойства чисел и методология геометрических доказательств в значительной степени повлияли на ход его размышлений при выработке собственной философии.

Прежде чем рассматривать его аргумент в пользу «реальности» математики, было бы неплохо просуммировать его высказывания об арифметике и геометрии как с позиций самих разделов математики, так и их помощи в выработке его философских воззрений. Тогда окажемся в состоянии разглядеть, почему он так высоко ценил математику даже в самых скромных ее проявлениях. Что бы он ни сказал о

математике, все было подхвачено его учениками эпохи Ренессанса, иногда с пониманием, но чаще с низкопоклонством, не предполагавшим критического осмысления. Во времена возрождения Платона, в XV и XVI веках, некоторые из самых высокопарных толкователей математики стремились даже превзойти Платона в своем восхвалении «божественной науки», а кое-кто преуспел в классических пассажах трогательного красноречия. Они еще получат возможность высказаться чуть позже. Хотя и не математик уровня Евдокса или Архимеда, Платон был сам почти подобострастен в восхвалении чистой математики. Отдельные его хвалебные высказывания в адрес арифметики и геометрии, которые он называл дисциплиной философской души и открывательницами вечных истин, звучат бессмысленно чрезмерными сегодня, но произносил он их так красиво, что было бы проявлением неблагодарности со стороны любого современного математика ссориться с ним на этой почве. Его оценка математики была, что называется, слегка завышена со стороны аристократа среди аристократов и философа, чьим первостепенным устремлением были мораль и этика.

Главной математической задачей Платона была двойственность. Абстрактность данных в математике (ее числа, точки, линии) предполагает наличие специального аргумента для познания «сущностей», прямо доступных разуму и независимых от чувственного опыта. Эти не познаваемые чувствами сущности предопределяют наличие сверхчеловеческой области вечно существующих Форм или Идей, в которых «истины» математики «принимают участие». Первой частью задачи Платона было установление этих Идей выше любых рациональных сомнений, а от них – вывод о феномене мира чувств. Вторая часть была так тесно увязана с первой, что решение любой из них оказало бы влияние на другую. Движение Гераклита («Все сущее есть движение») противоречило умам, сконцентрированным на вечном, где не было места ни переменам, ни подобиям перемен. Мир чувств, как на том настаивали пифагорейцы, был печально известен своей нестабильностью и кратковременностью.

Если «вещи есть не то, чем они кажутся», тогда что же они такое? Ответ Платона гласил, что они лишь отчасти истинны, красивы, но с изъяном и, не вполне ценные по своим свойствам, доступным чувствам или разуму, являются простыми «становящимися», первыми допусками на пути к полному участию в абсолютной истине и абсолютной красоте, абсолютной добродетели, вечно существующим в вечном царстве. Его главной задачей было доказать существование этих абсолютов, особенно в части добродетели, и ему казалось достаточно правдоподобно, что математика дарит ему необходимое убедительное сходство и единственную надежду на успех.

Начатое Фалесом и Пифагором завершил Платон. На земном уровне он стремился усовершенствовать арифметический синтез мироздания, впервые предложенный Пифагором. Весь философский туман своих предшественников и многое из до-научной мифологии более древней мудрости было осмыслено им, чтобы полноводной рекой объединенной системы взглядов, которая течет от эпохи раннего христианства к Средним векам, а затем – сквозь научный ренессанс XVI и XVII веков, прибавивших огромное количество воображаемого со стороны бесчисленных идеалистов и нумерологов, совершить невероятный рывок-скачок из прошлого в настоящее.

На божественном уровне минимум два из абсолютов Платона выжили в верованиях миллионов: Добродетель как божество и Истина как его внутренняя неискаженная суть. Красота, кажется, как абсолют утратила со временем свое место. «Красота живет только в глазах зрителей», оставаясь вопросом вкуса и суждения. Но совсем не так с Истиной, особенно в свете открытий в математике. Для современной пифагорейской математической истины свойственна та же проецируемость части абсолютной Истины, как это было во времена Платона. На обоих уровнях, земном и божественном, очевидность достигается путем математического доказательства как главного источника всей философии Платона.

Дважды два могло значить четыре для земных чувств, но для души это значение было безгранично.

По утверждению Платона, философ должен знать арифметику (пифагорейскую). Он должен обдумывать число до тех пор, пока его внутренняя природа не станет понятна разуму, что важно для здоровья самой души. Поскольку число – наиболее прямое из всех средств для перехода от «становящегося» к «существующему», от изменения и гниения до неизменности и бессмертия. Действительно, число существует первоначально, чтобы душа могла подниматься от мимолетного до бессмертного и раствориться в вечности. Геометрия тоже выводит душу от становления к существованию и подготавливает ее к участию в Добродетели. Реальной целью обоих остается знание, то знание, стремление к которому у арифметики и геометрии не преходяще, а вечно. То же и с музыкой, если ее математизировать и влить в Красоту и Добродетель, тогда она поведет душу к Истине и взрастит дух мудрости.

На мирском уровне арифметика – преимущественный вид знания, в котором высокородные персоны должны разбираться очень хорошо. Было сказано, что она важна для всего человечества, потому что ее необычность воздействует возвышенно на умы людей. Действительно, знание математики обязательно для героев, полубогов, богов и иных субъектов, которые могут подниматься высоко вверх к высочайшим знаниям, в частности, математические знания важны для богов, так как в математике присутствует элемент жребия, которому даже боги не способны противостоять.

Что касается самой математики, она парит над обманом чувств в вечной свободе в сфере абсолютных реальностей. Если Фалес мог лишь смутно представлять в своих абстракциях общие параметры, предоставляемые чувствами, то Платон особо подчеркнул, что геометры не работают с видимыми линиями своих чертежей, а, наоборот, пристально разглядывают «абсолютные площади, абсолютные диаметры» и так далее – «вещи в себе», которые могут

быть «увидены» только с помощью разума. Хотя абстракция может происходить от чувственного опыта, истина, которую познает математика, не есть степень чувств или величина переменная, как точка зрения, но есть величина идеальная и абсолютная, вкратце – знание. Разум или даже душа не принимает участия в создании математических истин, а просто находится в курсе их существования, если должным образом подготовлена. Именно в этом последователи Пифагора, и Платон среди них, расходятся с большинством математиков XX века.

Одним из наиболее спорных аргументов философа в пользу независимого существования математических истин является то, что в человеческом теле отсутствует орган чувств, приспособленный для их регистрации. Оказавшись за пределами восприятия с помощью зрения, слуха, обоняния, вкуса и прикосновения, скорее угаданные разумом или душой, эти истины должны существовать вне зависимости от чувств. Их неоспоримое существование разрешает конфликт между чувствами и интеллектом, между точкой зрения и знанием, между кажущимся и реальным и является единственно достаточным доказательством сверхчеловеческой сферы неизменного Сущего.

Естествознание подобным же образом свидетельствует в пользу неизменного, которое выше перемен, но только в той части, где представлены выводы на основании арифметики или геометрии. Из этого следует, что соответствующие достоверности нескольких наук могут быть справедливо доказаны посредством математики, на которую они опираются. Так как «боги всегда геометры» и все, что не в гармонии с геометрией, может быть только иллюзией абсолютной реальности, измышленной божеством.

Часто цитируемый афоризм о геометризации божественного больше похож на описку или временное помутнение рассудка у Платона. В действительности ничего подобного нет в его записях. Афоризм приписывают Платону. Безусловно, это противоречит пифагорейской вере, которой всегда придерживался Платон и которую он стабилизировал в своих собственных идеальных числах. Измененная версия, предложенная в XIX веке другим великим пифагорейцем К.Г.Я. Якоби (1804–1851), стоит ближе к философии Платона: «…бог всегда арифметизирован». В дальнейшем высказывание было дополнено другим величайшим специалистом в области арифметики в истории Ю.В.Р. Дедекиндом (H.W.R. Dedekind, 1831–1916), понятия не имевшим о пифагорейцах; его вариант стал вполне человеческим: «…человек всегда арифметизирован». Между первым и последним прошло двадцать три века противоречивых философий, обращавшихся к математике, чтобы подтвердить свое исключительное право на существование.

Если Платон сумел приукрасить бесполезную математику языком вдохновленного ангела, он также без труда оговорил полезную математику со всем присущим ему пренебрежением и презрением рассерженного человека, обеспокоенного сверх меры тем, что казалось ему безобразностью и банальностью простой жизни. Его философское спокойствие исчезало при мысли о божественной математике на смиренной службе человечеству. Он признавал свое равнодушие к элементарным возможностям арифметики и геометрии смешным и заслуживающим осуждения. Кто не знает таких простых вещей, говорил он, больше напоминает свинью, чем человека. Но на этом он остановился, резко осудив полезность как мотив для изучения арифметики и геометрии. Все полезные ремесла, утверждал он, низкого происхождения и по сути своей убоги. Те, кто увидит в своих математических устремлениях «только ленивые басни в отсутствие материальной прибыли, которую можно получить», заслуживает саркастической усмешки. Но зачем тогда он так решительно бранил астрономов, которые предпочитали выверять движения невидимых планет из своих вычислений, вместо наблюдений за планетами на небе? А как быть с физиками, которые рискнули проверить акустические явления, перебирая струны, чтобы быть заклейменными предателями Истины и изменщиками своей высокой миссии? Досталось даже профессиональным математикам.

Их обвинили в подмене реальных целей геометрии по выяснению абсолютной Истины потребностями бытия в геометрии. Геометрам следовало напоминать своих собратьев из Академии Платона. Но ни один геометр с тех пор не проявлял столько глупости и не сходил с пути, поддавшись ужасной путанице со значениями слова «необходимое». Не были, к слову сказать, столь тупыми ни Фалес, ни Пифагор. Что касается порицания наблюдателей-астрономов и физиков-экспериментаторов, то все вернулось на круги своя критикой отсутствия прямого контакта с природой через несколько сотен лет бесполезной чистой науки.

Но неодобрение прикладной математики и эмпирического естествознания, к которым Платон относился с презрением, можно отбросить в сторону (что и делалось), как простое свидетельство проявления справедливого недовольства теми, кто не осознал его великих целей. Для среднего натуралиста эпохи Платона сам Платон был чем-то сродни современному физику-теоретику для дилетанта-любителя, занятого бессистемными опытами. Он не искал интересных или эффектных результатов. Фактически, он занимался обобщением, чтобы увязать все достижения, и искал метод, который бы безошибочно раскрывал любую устойчивую реальность в любом ее проявлении, скрытую в любом свидетельстве, полученном от чувств. Его идеальные числа, возможно, дали ему требуемое обобщение, а его диалектика, как он верил, дала ему метод. Для всего этого нужна была предварительно идеализированная теория математических процедур и математических истин. Сегодня его цель совпадает с размышлением современных пифагорейцев, подменивших принципами эпистемологии платоновские идеальные числа, а математическим анализом – его диалектику. И пусть подмена совершена во имя великих целей, но старая мелодия легко узнаваема и звучит так же: «Все сущее есть число», наблюдение и опыт излишни и ведут к заблуждению.

Каждое вырванное из контекста высказывание Платона, касающееся математики, дает абсолютно искаженное представление о том, что он действительно думал по конкретному поводу. Например, говорят (но есть сомнение, что это правда), что над входом в свою Академию он повесил транспарант: «Да не войдет в эту дверь тот, кто не сведущ в геометрии». Не очень-то соответствует его собственному отношению к геометрии. Миф это или нет, Платон поместил над входом это предупреждение, чтобы ученики Академии, настроенные на изучение его собственной диалектики, не забывали приобретать навыки в элементарном логическом рассуждении.

Философия в Академии не была пустым времяпрепровождением для уклонистов от науки, а действительно серьезным занятием для восприимчивых молодых людей. Большая часть приблизительно соответствует курсу математической логики в наши дни. То была метаматематика его времени: критическое осмысление оснований для убеждений, гипотез, постулатов и моделей умозаключений, математических и иных.

Пусть даже часть из обсуждавшегося в Академии больше не представляет интереса для математиков или современных логиков, Платон все равно заслуживает уважения за то, что побудил математиков задать вопрос, чем же (если вообще чем-то) они занимаются. Он и его ученики развивали одно из главных направлений, касавшееся происхождения математических истин, и даже если отдельные современные математики находят платоновскую реальность подобных истин незрелой, если не абсолютно абсурдной, то некоторые, не менее компетентные, воспринимают мировоззрение Платона разумным и вполне убедительным. Итак, что бы кто бы ни думал о математической философии Платона, он не в состоянии ни возвеличить, ни низвергнуть эту философию без упоминания видных имен в математике. Как сказал бы Сократ, реальность математики – это вопрос разных точек зрения, но не разного уровня знаний, а споры по поводу ее состоятельности – всего лишь словесные баталии ни о чем.

Но тщетность дебатов не означает, что предмет дискуссии никого не интересует из числа участвующих в ней.

Математик, верящий в платоновский подход к математике, не найдет ничего нелепого или возмутительного в отрицании научного наблюдения и опыта в пользу чистого размышления. Более того, всю математику, кроме чистой, он удостоит лишь высокомерным презрением, особенно если вся его жизнь с детства протекала в закрытых аудиториях. Его оппонент найдет много возмутительного и, если он еще и окажется пессимистом, может даже напророчить повторение мрачного Средневековья. Ведь вера в реальность математики Платона явно превратилась в межевой столб между древними или средневековыми учеными умами и современными, или, как выразился бы модернист, между ненаучной и научной математикой. Математики, как правило, ненаучны. Это точка зрения не математиков, а естествоиспытателей. Эту точку зрения можно проверить, опросив мнение тех, кто сделал науку своей жизнью.

Поскольку большая часть математического мировоззрения Платона вложена в уста героев его диалогов, можно не вдаваться в подробности, что он или они в действительности думали о математике. Только раз, например, Сократ в диалоге заговорил в своей традиционной манере. В отличие от Платона у Сократа не было излишне восторженного отношения к математике, кроме, пожалуй, как к открывательнице Истин или как к тренингу мозга. Он знал, что геометрия полезна при измерении полей, и далее в том же духе, и это все. В «Республике» Глокон вопрошает:

– Уверен, вы не в состоянии уважать профессионального математика как диалектика?

– Разумеется, нет. Мне не довелось встретить математика, способного размышлять, – спешит ответить Сократ.

Как ни суди, данное высказывание выглядит как честное признание. Хотя Сократ мог утрировать свою оценку, в наши дни полно людей, которые согласились бы с ним. Но Платон никогда.

Математика, утверждал он, ускоряет развитие умственных способностей и незаменима в качестве предварительной дисциплины для юных, тех кто еще недостаточно возмужал,

чтобы начать упорное изучение философии, диалектической аргументации и пифагорейской отрасли знания – нумерологии. Вклад математических занятий в достижение серьезных целей в философии прямой и позитивный. Важен именно математический метод, в значительно большей степени, чем математические истины. Будущий философ отрабатывает посредством геометрических упражнений правильное восприятие и функции определений, непосредственно дедукцию, технику анализа и метод доказательства от противного (описанный в одной из предыдущих глав), что важно как для диалектики, так и в организации строя мысли. Подобная тренировка необходима для всех, кто собирается получать знания, она готовит ум искать и распознавать наивысшие реальности как противостоящие чувственным свидетельствам. Математика сама по себе не может раскрыть высшую реальность или абсолютную истину, диалектика может. Мнение происходит от чувств и связано со «становящимся», знание идет от ума и относится к «существующему», математика становится мостом между мнением и знанием. Диалектика более проницательная и острая, чем математика, – это процесс, который выделяет новые истины путем анализа и аргументации. Исключительно в уме процесс проходит от Идеи, через Идею и к Идее. В чисто математическом доказательстве истинность гипотезы не подвергается сомнению. Диалектика же ищет и находит в идеях реальности, подтверждающие истинность математических предположений. Она подтверждает «самоочевидность» математических аксиом, называемых во времена Платона и долгое время после Платона «общеизвестными представлениями», как «самоочевидные истины» и проверяет базовые гипотезы и фундаментальные процессы всех методов раскрытия истин, из которых математический метод – лишь один из многих.

Если бы Платон писал сегодня, он, возможно, назвал бы все это метаматематикой и металогикой 1930-х годов. Две простые иллюстрации его обращения к математике для прояснения метафизического аргумента встречаются в «Меноне» и «Фаэдо». В первом задается вопрос, можно ли научить добродетели, в последнем – бессмертна ли душа. «Как принято в геометрии», гипотезы высказываются, их выводы анализируются, словно кто-то пытается доказать гипотетическую теорему. Оба аргумента будут подытожены в следующей главе. Второй, возможно, самый доступный пример такого рода очевидности, которая вдохновила Платона изобрести его Вечные идеи.

В случае с Платоном можно проследить неизменную догму, что математика должна формировать основу солидного образования. По возвращении в Афины после своих путешествий в Италию и на Восток Платон остро почувствовал недостаток подготовки мальчиков Греции по арифметике и геометрии по сравнению с глубоким изучением материала по этим полезным предметам египетских школьников. Но он не долго занимался базовой полезностью. Так, в своей «Республике» он описал интенсивное математическое обучение для стражей своего идеального города, потому что, как он утверждал, все ремесла и отрасли знания необходимым образом включают число и расчеты. Отмечая, что существует не так много предметов столь сложных для среднего ума, как математика (в частности, арифметика), он ободрял робких, вселяя в них надежду, что число, когда его изучают ради него самого, становится чарующим и чем более абстрактна арифметика, тем лучше для души. На менее высоком уровне, говорят, арифметика и геометрия незаменимы в военной тактике, позволяя командующему использовать его войска для победы. В данной работе, насколько это касается арифметики, Платон, возможно, предпринял попытку визуализировать квадратные, треугольные и прямоугольные числа пифагорейцев в батальном построении. Этот боевой порядок уже использовался. Но, как и всегда, Платон заканчивал на идеалистической ноте: единственной правдивой и заслуживающей внимания целью изучения математики является продвижение души в направлении Сущего.

Если бы он жил сейчас, Платон не поладил бы с теми психологами, которые утверждают, будто доказали статистически, что нет или почти нет влияния изучения одного предмета на изучение другого и что вера наших отцов в математику как главную дисциплину не имеет под собой почвы. Какое бы допущение ни оказалось доказанным фактом в этой до некоторой степени желчной перепалке по вопросу значимости математики в базовом образовании, не возникает сомнения, что авторитет Платона усилил пифагорейское требование об усилении образования в области азов математики и более двух тысяч лет способствовал сохранению в школах арифметики и геометрии.

Если бы его спросили, что есть друг, он бы ответил: «Второе я». Чистая математика никогда не имела лучшего друга, чем Платон, а Платон – лучшего друга, чем чистая математика.