В XVII веке представления математиков о пространстве начали видоизменяться. Были предприняты попытки дать ему более точное определение на основе идей Платона. Декарт определял пространство так:

Ньютон, в свою очередь, выдвинул идею «абсолютного пространства»:

Как мы уже говорили, оба эти определения отражают одну и ту же парадигму пространства как содержащего все сущее, однако являются более абстрактными и четкими. Однако пространство по-прежнему было связано с природой и содержало исключительно реальные предметы, то есть те, что можно постичь органами чувств. Тем не менее это уже абстрактное пространство, которое существует независимо от объектов, в нем содержащихся, и может быть проанализировано геометрически.

Пабло де Вальядолид

Картина Веласкеса, которую мы рассмотрим с точки зрения математики, и определение пространства, данное Декартом, были созданы одновременно и по сути схожи. Фон картины Веласкеса очаровывает, поскольку не является реальным, то есть изображает не что-то конкретное, а абстрактное пространство само по себе. Хосе Ортега-и-Гассет, размышляя о фоне этой картины, писал:

«Эти краски не изображают какой-либо объект, реальный или воображаемый, четкий или расплывчатый. На фоне не изображены ни предмет, ни одна из стихий. Это не земля, не вода и не воздух. Автор, нанеся эти краски на холст, хотел исключить из нашего поля зрения любые формы и фигуры, отвлечь наше внимание от всего, кроме фигуры шута. С этой целью он закрасил холст однородно и единообразно, так что ничто не отвлекает и не привлекает внимания, и, кроме того, он использует светло-бурый цвет, созданный в мастерской исключительно с целью воплотить художественный прием: выделить фигуру Пабло, ее объем и материальность <…>».

Три картины, авторы которых вдохновлялись работой Веласкеса «Пабло де Вальядолид». Слева направо: «Рувье в роли Гамлета» Эдуарда Мане (1865–1866), Национальная галерея искусств, Вашингтон: «Франсиско Кабаррюс» Франсиско Гойя (1788), Банк Испании, Мадрид;«Флейтист» Эдуарда Мане (1866), музей Орсе, Париж.

Он добавляет:

Пока что мы полностью согласны с комментарием Хосе Ортеги-и-Гассета, изложенным несколько поучительным тоном. Тем не менее придерживаясь математической точки зрения, мы позволим себе не согласиться с его выводом:

Ничто, которое окружает Пабло де Вальядолида, — не что-то «произвольное и воображаемое», а пространство само по себе, изображенное в соответствии с математическими представлениями того времени. Веласкес изобразил его не так, как ему заблагорассудится, а в строгом соответствии с нормами. Это пространство Декарта и Ньютона, гениально изображенное минимумом художественных средств, почти не имеющее цвета и тени, непрерывное, бесконечное, неподвижное, не связанное с чем-либо внешним, на котором выделяется фигура Пабло де Вальядолида.

Если мы рассмотрим эту картину с точки зрения математики, то увидим, что на втором плане изображено то, что раньше можно было лишь представить, но невозможно нарисовать: само пространство. Поэтому «мы видим его как бы в грезах и утверждаем», что Пабло де Вальядолид «обязательно имеет свое место и занимает свое положение в пространстве» и по этой причине «этот человек, одетый в черное, полон жизни».

По другую сторону картины Веласкеса

Приведенный нами обзор представлений о пространстве, начиная с Пифагора и заканчивая Ньютоном, разумеется, неполон. Начиная с XVII века и до наших дней математика и искусство непрерывно развиваются, причем это происходит приблизительно одновременно.

Если на картине «Пабло де Вальядолид» Веласкеса изображено декартово пространство в трактовке Ньютона, то авангардисты первой трети XX века и математики этого периода начали рассматривать новые представления о пространстве как о множестве точек и их взаимосвязей, где под точкой понимается любой объект, а под взаимосвязью — любая связь между этими точками.