«Проницательнейший из всех мужей, Евклид, заложил основания геометрии. Тому, кому они хорошо известны, не потребуется ничего из приведенного далее, что я пишу лишь для юношей и тех, кто должным образом не обучен».

Художники, согласно Дюреру и другим живописцам той эпохи, должны были в равной степени изучать технику рисунка и геометрию и одинаково свободно обращаться как с кисточкой, так и с циркулем и линейкой. Дюрер считал, что художник должен уметь «измерять», поэтому назвал свою книгу «Правила измерения».

Дюрер изучил математику и перспективу во время путешествий в Италию. Вернувшись в родной Нюрнберг, в библиотеках своих друзей он познакомился с классическими и современными математическими трудами, которые в то время только начинали печататься, и книгопечатание было одной из самых процветающих отраслей города.

Он изучил «Начала» Евклида, а также труды Пьеро делла Франческа и Леона Баттисты Альберти. В «Правилах измерения» Дюрер пытается предложить геометрические методы и описать их понятным для художников и ремесленников образом. Он не уделял особого внимания ни доказательствам, ни чистой теории. Он рассмотрел линейную перспективу, правильные многоугольники, многогранники и Платоновы тела, для которых привел точный и удобный алгоритм построения. Он также изучил использование геометрии в типографике, инженерном деле и архитектуре.

Чтобы дать читателю представление о его стиле и строгой и четкой манере изложения, приведем фрагмент его книги, где он описывает метод построения эллипса.

«Математики древности указывали, что существует три способа выполнить сечение конуса. Все три различны между собой и не представляют по своей форме круг как основание конуса. <…> Каждое из трех сечений являет собой особую линию, построение которой я объясню. Первое из этих сечений, которое пересекает конус наклонно, не рассекая его основания, знатоки называют эллипсом. <…> Второе сечение проводится параллельно стороне ab конуса или другой [иными словами, его образующей], и знатоки зовут его параболой. Третье сечение есть вертикальная линия, параллельная линии, соединяющей центр основания конуса с вершиной, и знатоки зовут это сечение гиперболой. Мне неизвестно, имеют ли эти линии названия на немецком языке, но я присвою им названия, чтобы их можно было различить. Эллипс я буду называть овальной линией, так как его контур по форме почти равен яйцу. Параболу я буду называть огненной линией, поскольку зеркало такой формы разжигает огонь. Наконец, гиперболу я назову линией в форме вилки.

Если я хочу провести овальную линию, или эллипс, я начну рисовать конус, обозначив на нем желаемое сечение. Схему этого я изображу ниже. Далее я буду действовать следующим образом.

Иллюстрация из книги Дюрера.

Пусть a — вершина конуса, bd — диаметр его основания. Из а вниз я проведу вертикальную линию. Верхний конец сечения я обозначу f, нижний — g. Далее я разделю это сечение fg одиннадцатью точками на 12 частей и пронумерую их, начиная с конца f. Под этим конусом я изобразил этот рисунок. Обозначу а центр, a bcde — его окружность, как показано на моем рисунке. Из всех делений проведем линии к основанию, которые будут соответствовать точкам и серединам, пронумерованным нами как 1, 2, 3 и так далее. Обозначу теми же буквами и цифрами точки пересечения этих линий с окружностью основания.

Выполнив это, я возьму циркуль и поставлю одну из его ножек на сечение конуса, на вертикальную линию ае и высоту деления 1. Другую ножку я расположу на той же высоте относительно [образующей] ad. Перемещу этот раствор циркуля к основанию и, поместив одну из его ножек в центр а, другую — на чертеж линии 1, буду прочерчивать дугу в направлении к d, пока мне снова не встретится линия 1. [Далее эти действия повторяются для каждой линии с номера 2 по номер 11].

Затем использую основание в качестве примера и проведу линию эллипса следующим образом.

Проведу по вертикали линию, равную сечению fg, сохранив на ней 11 точек, которые разделяют ее на 12 частей. Проведу И параллельных горизонтальных линий, каждая из них будет проходить по одному из делений предыдущих. Далее на сегменте 1 основания возьму меру между двумя точками, в которых его пересекает дуга, проведенная мной с помощью циркуля, и перемещу ее на рисунок сечения fg, отложив ее на линии 1 с двух сторон. Проделаю это же самое с остальными пронумерованными отрезками. Сделав это, я проведу овальную линию, или эллипс, соединив точки так, как я показал здесь».

Построение «овальной линии» — прекрасный пример практического и одновременно очень точного стиля изложения «Правил измерения» Дюрера. На этом мы закончим главу, посвященную книгам по математике, написанным художниками Возрождения.