Пятница, 25.09.2020, 12:42
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Статистика

Онлайн всего: 5
Гостей: 4
Пользователей: 1
syvorovayulya
Форма входа

Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ

Восстановление исходных размеров. Гипотеза
05.02.2016, 17:31
В настоящее время картина имеет размеры 170 x 250 см. Если мы увеличим высоту на 1/8, то получим размеры 170 x 281 см. При этом части, отрезанные сбоку и сверху, не учитываются. Разумно предположить, что длина или ширина доски, на которой написана картина, изначально выражались целым числом единиц измерения, которые использовались в то время. Как мы уже говорили, основной единицей длины в ту эпоху был флорентийский локоть (braccio), равный 58,36 см.

Выразив размеры картины во флорентийских локтях, мы увидим, что ее ширина практически точно равняется трем локтям (175,08 см). Умножив ширину на золотое число Ф, получим 283,29 см. Это совпадение в достаточной степени подтверждает нашу гипотезу. Исходная картина представляла собой прямоугольник золотого сечения шириной в три флорентийских локтя, который затем был обрезан снизу примерно на одну восьмую высоты, сверху, справа и слева — на несколько сантиметров. С правой части было отрезано чуть больше, как показано на следующей иллюстрации.



Возможные исходные размеры «Алтаря Монтефельтро», представлявшего собой прямоугольник золотого сечения шириной в три флорентийских локтя (175 х 283 см). Согласно этой гипотезе, картина была обрезана на 33 см по высоте и на 5 см — по ширине.

(источник: FMC)


Пространство алтаря на картине Пьеро делла Франческа

Методы математической перспективы, описанные Пьеро делла Франческа в труде «О перспективе в живописи», были с высочайшим мастерством применены при изображении пространства, в котором происходит действие картины «Алтарь Монтефельтро». Попытаемся восстановить процесс, которым следовал художник, и создать модель архитектурного пространства, изображенного на картине.

Восстановить исходное расположение предметов по заданному перспективному изображению можно не всегда, так как для этого требуется владеть определенными приемами и знать исходные размеры предметов, изображенных на картине.

Во-первых, нужно определить местонахождение квадрата, расположенного в плоскости, перпендикулярной плоскости картины, то есть параллельного плоскости основания. Зная его расположение, мы сможем произвести измерения в плоскостях, параллельных плоскости картины, и определить положение точки зрения. Иными словами, мы сможем определить расстояние, на котором должен располагаться зритель, чтобы перспективное изображение на картине выглядело реалистичным. Мы также сможем составить план церкви и определить, где располагаются персонажи.


Постамент Девы Марии имеет форму квадрата

Обратим внимание на платформу, на которой находится трон Девы Марии. Она накрыта ковром, изображенным на рисунке ниже. На этом ковре со звездчатой каймой изображена восьмиконечная звезда, состоящая из двух наложенных друг на друга квадратов, образующих углы в 45°. Если мы посмотрим, каково расстояние до видимых вершин звезды в левой и центральной части картины, то увидим, что расстояние от края каймы до центра обеих сторон одинаково. Зная свойства симметрии, можно предположить, что ковер имеет форму квадрата. Заметим, что кайма ковра свисает с передней части постамента практически полностью, а слева и справа почти половина каймы находится на постаменте. Можно предположить, что постамент имеет форму прямоугольника, однако он является частью пола клироса, поэтому ковер не может свисать с постамента сзади. Поэтому и ковер, и постамент имеют квадратную форму, а часть ковра, которая свисает спереди, должна быть больше той, что свисает по обеим его сторонам. Следовательно, постамент, на котором находится трон Девы Марии, имеет форму квадрата.



Репродукция ковра, на котором стоит трон Девы Марии, изображенный на картине «Алтарь Монтефельтро».

(источник: FMC)


Точка схода расположена на лице Девы Марии

Это легко заметить, продолжив линии, перпендикулярные картинной плоскости, и найдя точку их пересечения. На иллюстрации на странице 89 вы можете видеть, как было определено положение точки схода: мы продолжили линию карниза апсиды и одну из сторон постамента, на котором сидит Дева Мария. На следующем рисунке точка схода обозначена буквой О.



Разделение постамента, на котором сидит Дева Мария, на четыре квадрата.

(источник: FMC)


Ось симметрии картины делит постамент на две равные части

Это очевидно, так как переднее ребро постамента параллельно картинной плоскости, а линия, проходящая через ее середину и через точку схода, то есть ось симметрии картины, является серединным перпендикуляром, проведенным к этому ребру.


Делим постамент на четыре части

Для этого проведем диагональ и прямую, параллельную переднему ребру, через точку пересечения диагонали и оси симметрии. Иными словами, зная, что ABCD — квадрат, проведем диагональ АС, которая пересечет ось симметрии в точке Р; затем, проведя прямую, параллельную АВ, через точку Р, получим MN. Четырехугольники ASPM, BNPS, CQPN и DMPQ являются равными квадратами.


Деление пола на квадраты

Используя эти квадраты, например CQPN, и проведя его диагональ, можно построить квадратную сетку пола. Результат можно видеть на следующей иллюстрации, на которой плоскость клироса разбита на квадраты. За основу был взят квадрат постамента, на котором сидит Дева Мария.


Измерение пространства

Вышеописанный процесс позволяет измерить расстояния в пространстве. Чтобы использовать в качестве меры длины сторону постамента Девы Марии, заметим, что рост Иоанна Крестителя, первого святого слева, равен 3/2 стороны постамента. Если мы примем его рост равным 175 см, то сторона постамента будет равной 116,7 см — примерно два флорентийских локтя.



Элементы картины будут иметь примерно следующие размеры: ширина нефа равна приблизительно 8 локтям; видимую часть церкви можно разделить на несколько участков, длина ближайшего к нам, расположенного между краем исходного полотна картины и границей алтаря, будет равна 6 локтям. Участок, заключенный между линией алтаря и ближайшей к нам линией средокрестия церкви (места пересечения главного и поперечного нефа) — квадрат со стороной 8 локтей, равно как и само средокрестие. Участок, расположенный под сводом, украшенным квадратными кессонами, имеет длину 10 и ширину 8 локтей, глубина апсиды — чуть больше двух локтей. В результате пространство, изображенное на картине, глубже, чем кажется, и обладает не столь внушительной шириной и высотой.

Некоторые измерения принесли неожиданные результаты. Например, ширина нефа равна всего 467 см, расстояние от яйца до головы Девы Марии по горизонтали равно 26 локтям, то есть примерно 15 метрам. Диаметр яйца будет равен 23 см, что соответствует реальным размерам страусиного яйца.


Апсида не имеет форму полуокружности

Как мы уже указывали, апсида насчитывает чуть меньше 2 локтей в глубину и 7 в ширину, поскольку перекрывающая ее арка имеет ширину в половину локтя. Таким образом, апсида имеет форму полуэллипса, оси которого равны 7 и 2,15 локтя. Эллипс этого размера можно вписать в прямоугольник золотого сечения.



Реконструкция апсиды с картины «Алтарь Монтефельтро».

(источник: FMC)


Рост Девы Марии превышает два метра

Мы приняли рост Иоанна Крестителя равным 1,75 м. Он и Дева Мария находятся примерно в одной плоскости, параллельной плоскости картины. Когда человек садится на стул, его рост уменьшается примерно на 20 % (с незначительными изменениями в зависимости от высоты стула). Голова Девы Марии расположена выше, чем головы стоящих рядом с ней святых, и даже с учетом того, что они стоят на полу, который на 15 см ниже постамента Девы Марии, ее рост получается равным 2,08 м.

Дева Мария изображена непропорционально большой по отношению к святым, что на первый взгляд незаметно. При работе над этой картиной Пьеро делла Франческа следовал средневековой традиции, в которой величина персонажей определялась их положением в иерархии. Ангелы, напротив, совсем небольшого роста — чуть больше 1,50 м.


Реконструкция плана помещения

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы восстановить план архитектурного пространства, изображенного на картине «Алтарь Монтефельтро». В соответствии с размерами, приведенными выше, план помещения будет выглядеть приблизительно так, как показано на рисунке. Как мы уже отмечали, размеры здания удивляют: его глубина намного больше, чем кажется, и составляет 20 метров, а ширина сравнима с шириной обычной комнаты, так как не превышает 5 м.



Реконструкция нефа.

(источник: FMC)


Определение точки зрения

Пьеро делла Франческа написал свою книгу «О перспективе в живописи» в тот же период, когда работал над «Алтарем Монтефельтро». Следуя правилам перспективы, которыми он руководствовался при написании картины, получим следующую схему, в которой точка зрения отстоит от картинной плоскости на 5,8 м, то есть на 10 флорентийских локтей.



Определение точки зрения.

(источник: FMC)


Рассмотрев эту схему, мы заметим один из приемов, которым пользовался художник, чтобы «обмануть» зрителя: яйцо, которое, как кажется на первый взгляд, висит над головой Девы Марии, в действительности отстоит от нее на значительное расстояние — около 26 локтей, то есть на 15 метров, так как флорентийский локоть, как мы уже упоминали, равняется 58,36 см.

В наш рисунок, очевидно, не включены элементы, размеры которых мы не можем определить. Например, мы не можем вычислить длину поперечного нефа, так как на картине мы видим лишь края его сводов, для которых мы можем определить только ширину кессонов.

Нам также неизвестна общая длина главного нефа, так как его часть находится за спиной зрителя, смотрящего на картину. Границы области, видимой зрителем, определяют вертикальную плоскость, перпендикулярную главному нефу, которая является картинной плоскостью. Тем не менее, изучив некоторые детали, мы можем увидеть то, что на первый взгляд незаметно.

Когда мы впервые смотрим на картину, нам кажется, что изображенные на ней персонажи находятся в средокрестии, а свет, освещающий их, падает из левой части поперечного нефа. Тем не менее, восстановив план церкви и положение персонажей, мы видим, что это невозможно.

Следовательно, свет должен проникать внутрь как минимум через две различные точки. Одна из них, через которую проходит луч, освещающий апсиду и раковину, действительно расположена в левой части поперечного нефа. Другая, через которую проходит свет, освещающий персонажей картины, не может находиться в левой части поперечного нефа, так как средокрестие находится у них за спиной. Следовательно, эта точка расположена в другом месте, невидимом для нас, позади зрителя, возможно, в окне на левой стене главного нефа. Действительно, на наплечнике доспехов герцога ясно видно это окно, точнее его отражение. Так как наплечник имеет практически цилиндрическую форму, это прямоугольное окно, оканчивающееся полукругом, должно располагаться на левой стене главного нефа и в самом деле может служить источником света, падающего на персонажей картины.



Фрагмент наплечника доспехов герцога Монтефельтро. Можно различить отражения двух окон. Одно из них, ярко освещенное, расположено в левой части нефа, через другое, расположенное справа, проникает неяркий свет. Между этими окнами за спиной зрителя располагается тускло освещенная часть главного нефа.


Кроме этого, если мы внимательно посмотрим на часть доспехов герцога, которые закрывают спину, то увидим отражение другого окна, находящегося в противоположной стене нефа по отношению к первому окну. Оно намного темнее, так как находится против солнца, в правой стене нефа. Между отражениями окон можно увидеть трудноразличимый темный участок, где, вероятно, отражается вход в церковь, расположенный за спиной зрителя.


Освещение, местоположение, дата и время

Тот факт, что свет проходит через окно в левой стене церкви, вызвал сомнения у исследователей. Многие критики, проанализировав, как освещается сцена через два разных окна, о чем мы уже упомянули, утверждают, что эти источники света являются воображаемыми, вымышленными, так как если бы церковь располагалась согласно канону, ее апсида указывала бы на восток, юг находился бы по правую руку наблюдателя. Следовательно, свет никак не мог бы проникнуть в здание слева. Покажем, что оба этих утверждения спорны.

Использовал ли Пьеро делла Франческа какую-то настоящую церковь в качестве прототипа при работе над картиной, точно неизвестно. Однако можно предположить, что освещение художник рисовал в одной из церквей в окрестностях Урбино. Учитывая небольшие размеры здания, его можно назвать не церковью, а скорее капеллой. Будем считать, что капелла находится в городе герцога Монтефельтро. Дворец герцога, расположенный в центре Урбино, имеет координаты 43°43′26″ северной широты и 12°38′13″ восточной долготы.

В церковь, построенную в этой местности согласно канону, свет проникает справа, так что в полдень, во время обедни, лучи солнца проходят сквозь правую часть средокрестия и освещают алтарь. Но так как угол наклона эклиптики относительно плоскости земного экватора равен 23°30′, зимой точка восхода солнца несколько смещена на юго-восток, точка захода — на юго-запад. Летом, напротив, точка восхода смещена на северо-восток, точка захода — на северо-запад. Если мы обратим внимание, как падает луч света, освещающий апсиду (см. рисунок внизу), то увидим, что он освещает яйцо, а на раковину падает тень от левой части арки средокрестия. Кессоны этой арки ярко освещены светом, проходящим сквозь арку практически перпендикулярно им.



Как ясно из следующей иллюстрации, для того чтобы луч солнца мог освещать яйцо и часть апсиды, угол между лучом света и прямой, расположенной в направлении север — юг, должен составлять примерно 70°.



Угол, под которым должен падать луч света, чтобы освещать яйцо, подвешенное к своду апсиды.

(источник: FMC)


Если мы изучим данные о времени захода солнца на широте Урбино, то увидим, что в течение короткого периода последний луч солнца падает под углом, меньшим либо равным 70°. Этот период длится лишь несколько дней до и после летнего солнцестояния, а именно с 17 по 25 июня. Следовательно, в эти дни луч солнца может попадать внутрь церкви, построенной согласно канону, под углом, необходимым, чтобы яйцо было ярко освещено, а на свод апсиды падала тень арки. Кроме того, в каждый из указанных дней луч света падает именно так в течение всего нескольких минут до захода солнца.

Это утверждение можно проверить несколькими способами. Рассмотрим заново проекцию арки на раковину. Наивысшая точка тени находится примерно на правом краю раковины. Если мы измерим расстояние между этой точкой и вершиной арки, то увидим, что это очень малая величина, слегка превышающая четверть радиуса арки, то есть чуть больше одного флорентийского локтя. Не вдаваясь в подробности тригонометрических вычислений, скажем лишь, что этот луч света падает практически горизонтально, подобно лучу заходящего солнца.

Следовательно, можно с большой точностью утверждать: если мы будем придерживаться гипотезы, согласно которой реальная или воображаемая церковь, изображенная на картине Пьеро делла Франческа, находится в Урбино и построена согласно канону, то действие картины происходит в последнюю неделю июня примерно в 7 часов вечера, незадолго до заката солнца.

Можно сделать еще один вывод: чтобы сцена была освещена так, как изобразил на картине художник, длина двух рукавов поперечного нефа должна быть невелика — не больше двух с половиной локтей. Аналогично в западной стене левой части поперечного нефа должно находиться окно, положение которого примерно совпадает с вершиной угла, обозначенного на предыдущем рисунке.

Наконец, судя по тому, что сцену заполняет загадочный тусклый свет, можно предположить, что в апсиде за спинами персонажей картины находится алтарь светлого цвета или покрытый светлой тканью. Свет, отраженный этим алтарем, освещает нижнюю часть лепных украшений в левой части пресвитерия.



Отраженный свет освещает лепные украшения в левой части пресвитерия.


Алтарь Монтефельтро в трех измерениях

В завершение нашего исследования картины «Алтарь Монтефельтро» с математической точки зрения и резюмируя все, о чем говорилось выше, мы представим сцену, изображенную на картине, в трех измерениях. Мы использовали только те данные, которые можно получить на основе анализа картины, и не допускали художественных вольностей.

Размеры макета совпадают с теми, которые мы приводили выше, равно как и размеры персонажей. При построении мы предполагали, что действие происходит в Урбино. Свет и тени, которые видны на различных изображениях, точно совпадают с теми, что можно наблюдать в Урбино 21 июня в 7:15 вечера по местному времени.

Мы не стали продолжать главный неф за картинную плоскость, поэтому на трехмерном изображении отсутствуют упомянутые нами окна, которые отражаются в наплечнике и наспиннике доспехов герцога. Тем не менее источник света, освещающего персонажей нашей трехмерной реконструкции, расположен в том же месте, а свет падает под тем же углом, как мы указали в предыдущих разделах.

Мы представляем вашему вниманию девять ракурсов одной и той же трехмерной модели, освещенной одним и тем же источником света. Первый ракурс напоминает картину Пьеро делла Франческа: изображение обладает центральной симметрией, и кажется, что яйцо висит над головой Девы Марии.

На втором ракурсе с определенного расстояния видна вся трехмерная модель.

На третьем изображении показаны своды церкви с точки зрения наблюдателя, расположенного на высоте карниза в одной из вершин пересечения главного и поперечного нефа, имеющего форму квадрата.

На четвертом изображении показано, как видит сцену наблюдатель, расположенный за яйцом и смотрящий в спины персонажам картины.

На пятом и седьмом изображениях представлен фронтальный ракурс. Можно видеть, на каком расстоянии в действительности находится яйцо от головы Девы Марии.

На шестом изображении представлен ракурс, обратный тому, что можно видеть на картине.

На восьмом изображении точка зрения располагается выше, чем на первом; картина уже не выглядит настолько плоской, и можно лучше оценить глубину главного нефа.

Наконец, на девятом изображении представлена перспектива, обратная той, что показана на исходной картине. Это изображение также симметрично, но точка зрения расположена в центре карниза апсиды. Вновь кажется, что яйцо, изображенное на переднем плане, подвешено точно над головой Девы Марии, но в этот раз оно кажется огромным и словно вписанным в свод, под которым располагаются персонажи.





Мы попытались проанализировать некоторые особенности этой удивительной картины Пьеро делла Франческа. Разумеется, наша математическая точка зрения на эту картину является далеко не единственной. При ее изучении мы почувствовали себя помощниками этого математика и художника, который не упустил из виду ни одной детали при изображении архитектурного пространства, персонажей и освещения.

Кажущиеся неточности и несоответствия служат подсказками для внимательного зрителя и помогают лучше понять картину. Творчество математика Пьеро делла Франческа становится ближе и яснее, если мы знаем его изобразительный язык, видим ключевые элементы его произведений и рассматриваем их с точки зрения математики.

Категория: НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ | Добавил: admin | Теги: Мир Математики, популярная математик, перспектива, занимательная математика, сайт по математике, дидактический материал по матем
Просмотров: 435 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2020
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru