Кантор начал с того, что сравнил различные бесконечные множества с числами, которые имелись в его распоряжении. Для сравнения бесконечных множеств он объединял элементы этих множеств в пары: если элементы двух множеств можно объединить попарно так, что ни один элемент не останется без пары, значит, число элементов этих множеств одинаково.

Кантору удалось объединить в пары натуральные и целые числа, натуральные и дробные числа. Вопреки доводам логики, согласно которым целое больше его части, рассуждения Кантора показывали, что натуральных чисел столько же, сколько и дробных.

Однако для выполнения расчетов с бесконечностью Кантору потребовались бесконечные множества разного размера. Первый важный результат был получен в конце 1873 года, когда Кантор обнаружил два бесконечных множества, элементы которых нельзя было объединить попарно. Точнее, ученый доказал, что натуральные числа нельзя объединить в пары с точками произвольного отрезка. Этот результат стал одним из самых революционных в истории математики. Для этого утверждения, сколь важного, столь и глубокого, Кантор в 1899 году нашел в высшей степени простое и элегантное доказательство. Этим доказательством, подобно картинам импрессионистов, можно полнее насладиться, зная его историю и необходимый контекст.

Кантор в 1894 году, в возрасте 49 лет, когда он пытался систематизировать теорию множеств.

Доказательство Кантора

Для простоты вместо точек отрезка рассмотрим все бесконечные последовательности вида 0, а₁, a₂, а₃, …, где каждая цифра 0, а₁, a₂, а₃, … имеет значение 0 или 1. Нетрудно видеть, что число различных последовательностей такого типа равно числу точек отрезка (однако доказательство этого утверждения будет носить несколько технический характер).

В доказательстве Кантора используется так называемый диагональный метод, который для любой пары, состоящей из одного из чисел 1, 2, 3, 4… и двоичной последовательности, позволяет найти такую двоичную последовательность, которая не будет парой ни для одного числа. Представьте, что дана произвольная пара, образованная числом и двоичной последовательностью. Для простоты рассмотрим следующие несколько пар.

Обратите внимание на цифры, обведенные квадратной рамкой: первую цифру первой последовательности, вторую цифру второй последовательности и так далее. Построим новую последовательность (она приведена в конце списка и отделена многоточием), изменив эти цифры: заменим единицы нулями, а нули — единицами. Таким образом, первой цифрой новой последовательности будет 0, второй — 0, третьей — 1, четвертой — 0 и так далее. Так мы гарантируем, что вне зависимости от последующих цифр новая последовательность будет отличаться от всех предыдущих: она будет отличаться от первой последовательности первым знаком, от второй — вторым, от третьей — третьим и так далее. Это должно убедить читателя, что в представленном выше списке для созданной нами двоичной последовательности не найдется пары. Если немного подумать, то станет понятно, что метод Кантора не зависит от представленного выше списка. Если список изменить, мы сможем применить этот метод к новому списку и сформировать новую последовательность, для которой не найдется пары.

* * *

ДИАГОНАЛЬНЫЙ МЕТОД КАНТОРА

Этот же диагональный метод наряду с понятием подмножества позволил Кантору показать, как можно построить бесконечные множества сколь угодно большого размера. Представьте множество А = {1,2,3}, образованное тремя числами 1, 2, 3. Множество подмножеств А получается, если рассмотреть все множества, которые мы можем составить из элементов А, в том числе пустое множество 0. Обозначив множество подмножеств А через Р(А), имеем:

Кантор доказал, что если множество А бесконечное, то бесконечность, соответствующая множеству подмножеств А, будет всегда больше, чем бесконечность, соответствующая исходному множеству. В своем доказательстве Кантор вновь применил диагональный метод, адаптировав его к этой задаче. Рассмотрим пары, образованные элементами множества А и множества его подмножеств Р(А). Каждый элемент х множества А будет иметь пару — множество X, составленное из элементов А. Теперь определим подмножество А, которое не будет иметь пары: это множество Y, содержащее те элементы х множества А, которые не принадлежат соответствующему множеству X.

В самом деле, если элемент х множества А принадлежит своей паре, множеству X, то, по определению Y, элемент х не принадлежит Y. Следовательно, X не = Y, так как х принадлежит X, но не Y. С другой стороны, если элемент х множества А не принадлежит своей паре Х, то, по определению Y, элемент х будет принадлежать Y. Вновь X не = Y, так как х принадлежит Y, но не X. Это доказывает, что никакой элемент х множества А не может иметь парой множество Y.

* * *

Абсолютная бесконечность и наследие Кантора

Посвятив четверть века изучению бесконечностей, Кантор смог упорядочить их: словно на балу монстров, он расположил одну бесконечность за другой подобно тому, как упорядочены числа, а также описал, как можно складывать бесконечности, умножать их друг на друга, возводить в бесконечную степень и так далее. Кантору, конечно, не удалось полностью приручить бесконечность. Существуют величины, которые он назвал абсолютной бесконечностью. Они не поддавались никакому контролю со стороны математики, не говоря уже о логике. В 1883 году Кантор писал: «Абсолютное можно лишь распознать, но его невозможно познать, даже примерно». Бесконечность, которая интересовала Кантора, располагалась между конечным и абсолютным.

* * *

* * *

Кантор вышел победителем в схватке с бесконечностью, однако был тяжело ранен. Его исследования вызвали неприязнь части немецкого математического сообщества. Кантор хотел работать в Берлине или Геттингене, однако двери этих университетов оказались для него закрыты, и нет сомнений, что поводом для травли стала неприязнь со стороны влиятельных коллег. В 1879 году Кантор наконец получил должность преподавателя в небольшом университете Галле, где проработал всю оставшуюся жизнь.

Работы Кантора часто называли незначительными, не представляющими интереса, а когда его заслуги начали признавать, злые языки вложили в уста Анри Пуанкаре (1854–1912), одного из величайших математиков того времени, знаменитое изречение: «Грядущие поколения будут рассматривать теорию множеств как болезнь, от которой они вылечились». В конечном итоге на сцену вышло новое поколение математиков, которые воздали должное трудам Кантора, что привело к революции, навсегда изменившей математику. Кантор начал процесс абстрагирования, характерной чертой которого стало появление неконструктивных доказательств существования тех или иных объектов. Иными словами, после Кантора математики начали признавать существование тех или иных математических объектов, даже когда было неизвестно, как эти объекты можно построить. Кульминацией достижений Кантора стало создание теории множеств, которую Давид Гильберт, наиболее влиятельный математик того времени, назвал «раем для математиков».

Падение гения

Георг Кантор был чрезмерно активным, энергия в нем била через край и, возможно, поэтому он был эмоционально нестабильным. В середине 1884 года, почти в сорок лет, математик пережил первый приступ депрессии, который длился приблизительно два месяца и прекратился так же внезапно, как и начался. С того времени Кантор, который сам по себе испытывал тягу к мистицизму, стал еще более эксцентричным. Он перестал уделять математике основное внимание и обратился к другим, сомнительным исследованиям. В результате он заключил, что Фрэнсис Бэкон был истинным автором произведений Шекспира, а Иосиф Аримафейский — отцом Иисуса Христа. Кантор еще не раз страдал от нервных приступов, особенно после 1899 года. В результате каждые два-три года его помещали в психиатрическую лечебницу с диагнозом «мания преследования» и «маниакально-депрессивный психоз». Даже новость о присуждении наград и премий застала его в психиатрической больнице университета Галле.

В математическом фольклоре причиной нервных приступов Кантора считается его неустанная борьба с бесконечностью. Действительно ли это так? Конечно, положительный ответ сделал бы наш рассказ более драматичным. Возможно, определенный вклад в утверждение этой точки зрения, сам того не осознавая, внес Бертран Рассел.

Кантор впервые посетил Великобританию в сентябре 1911 года, будучи приглашен на торжество по случаю пятисотлетней годовщины Сент-Эндрюсского университета в Шотландии. Затем он написал Расселу несколько писем с предложением встретиться, однако встреча не состоялась. В автобиографии Рассела, опубликованной в 1967–1969 годах, упоминаются эти два письма и несколько эксцентричное поведение Кантора, которое, возможно, было вызвано тем, что он впервые ступил на землю Шекспира и Бэкона. Рассел писал: «Георг Кантор был, по моему мнению, одним из величайших умов XIX столетия […] Прочитав следующее письмо, я не удивился, узнав, что он провел большую часть жизни в сумасшедшем доме». Британский историк математики Айвор Граттан-Гиннес, один из первых, кто усомнился в том, что причины болезни Кантора были связаны с математикой, в 1971 году писал: «Два письма Кантора были в высшей степени беспорядочными. Почерк, которым они написаны, говорит нам о личности ученого еще больше. В этих письмах мы видим проявления многих черт его характера, особенно заметных, когда он находился в возбужденном состоянии. Письма написаны изящным почерком, а строки поднимаются вверх. Они не только продолжаются на полях, что было типично для Кантора — на одной из страниц второго письма Кантор пишет сверху вниз поверх других строк, расположенных слева направо. Фрагмент письма написан даже на обратной стороне конверта».

* * *

КАНТОР И МУНК

«Дрожа от страха, я услышал крик природы, пустой, бесконечный», — так норвежский художник Эдвард Мунк описал рождение замысла самой знаменитой своей картины «Крик». И действительно, символичность этого полотна, драматичное использование перспективы, нереальность и колорит также наводят на мысли о неумеренности, близкой к бесконечности, о бесконечном страхе. Этот крик виден, но не слышен. Именно поэтому картина вызывает страх: мы с ужасом ждем, что вот-вот услышим крик.

Работы Мунка вызвали в Германии примерно такую же полемику, как и (примерно в то же время) труды Кантора в математическом сообществе. 5 ноября 1892 года открылась выставка Мунка в Берлине. Спустя неделю выставка была закрыта, уступив место ожесточенным спорам, известным как «дело Мунка». Важное место в споре занимала дискуссия о границах свободы художника. Похожее обсуждение развернулось вокруг трудов Кантора, который в результате сказал: «Суть математики — в ее свободе».

Подобно тому как теоретические работы Кантора повлияли на математику, произведения Мунка оказали огромное влияние на живопись, причем не только немецких экспрессионистов, но и на Пикассо, в частности на его «Гернику». У Мунка и Кантора есть еще одна общая черта, вызывающая определенное беспокойство: Мунк также страдал от нервных приступов, однако, возможно, они были менее острыми и продолжительными.

Самый известный вариант картины «Крик» Мунка (1893) хранится в Национальной галерее Осло, откуда она была украдена в 1994 году и возвращена в 2006 году.

* * *

Фотография Кантора, сделанная в 1917 году, когда ученому было 72 года, незадолго до того, как он был помещен в психиатрическую больницу Гэлле, где и умер спустя несколько месяцев.

Весьма вероятно, что заболевание Кантора было наследственным, однако это не означает, что нервный срыв приблизили напряженные отношения с коллегами или борьба с бесконечностью. Причиной болезни могли стать и другие трагические события в жизни ученого, например смерть младшего сына Рудольфа, который умер в возрасте 13 лет.

В мае 1917 года Кантор против своей воли вновь был помещен в психиатрическую больницу университета Галле. Граттан-Гиннес пишет: «Война привела к недостатку продовольствия, Кантор похудел и страдал не только от усталости и болезней, но и от голода […] На Новый год Кантор отправил жене последние сорок листов календаря за предыдущий год, давая понять, что прожил эти дни, однако 6 января он внезапно скончался от сердечного приступа. Смерть была быстрой и безболезненной. Он был похоронен в Галле рядом с сыном Рудольфом».