Древние греки считали, что если измерить величину а единицей измерения Ь, то дробь а/Ь будет мерой а.
Иными словами, все, что можно измерить, имеет дробную меру, или, говоря
современным языком, всякая мера эквивалентна рациональному числу и
наоборот. К примеру, если отрезок имеет длину 70 см, а линейка — 20 см,
то дробь 70/20 = 7/2 была мерой a, измеренной Ь. Так
считали ученики пифагорейской школы. Но Гиппас из Метапонта (V век до
н. э.) обнаружил, что измерить диагональ квадрата, выбрав в качестве
меры его сторону, невозможно.
Подчеркиваем: не очень сложно, а именно невозможно.
Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
Если d = a/b, то очевидно, что мы можем выбрать а и Ь так, что они будут взаимно простыми. Достаточно сократить дробь а/b. Теперь рассмотрим самый простой случай — квадрат с единичной стороной. Теорема Пифагора гласит, что d2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2, то есть (а/b)2 = 2, или, если вы предпочитаете иной способ записи, а2 = 2Ь2.
Рассмотрим а подробнее. Если а четное, то b обязательно должно быть нечетным, так как мы предположили, что а и b взаимно простые. Так как а = 2р, предыдущее равенство примет вид (2р)2 = 4р2 = 2b2, следовательно, 2р2 = Ь2, откуда следует, что b2 (а следовательно, и Ь) четное. Но это невозможно, так как мы уже показали, что b должно быть нечетным.
Теперь предположим, что а нечетное. Тогда нечетным будет и a2. Однако а2 = 2Ь2, и это означает, что а2 четное, что противоречит нашей предпосылке. Как видите, получается нечто немыслимое, и первым это доказал пифагореец Гиппас.
Как известно, лучшее, что можно сделать, получив
дурную весть, — это убить гонца. Ямвлих Халкидский восемь веков спустя
утверждал, что пифагорейцы построили склеп, где должен будет упокоиться
тот, кто откроет несоизмеримые величины. Существует несколько версий
гибели Гиппаса. В самой милосердной версии он даже не упоминается и
говорится лишь о том, что пифагорейцы принесли в жертву сто быков —
столь велико было удивление, которое вызывали несоизмеримые величины.
Так как пифагорейцы были вегетарианцами, эта гекатомба (что по-гречески и
означает «сто быков») кажется возможной, но не слишком вероятной. В
другой версии легенды Гиппас всего лишь был изгнан из пифагорейской
школы. И в самом жестоком варианте он был сброшен в море с борта
корабля. Как бы то ни было, вера пифагорейцев в истинность своего учения
оставалась непоколебимой. Лишь Евдокс Книдский, открыв вещественные
числа, смог разрешить загадку несоизмеримых величин. |