Теперь мы знаем ограничения на число граней С и число вершин V выпуклого многогранника. Число ребер А полностью зависит от С и V. Попробуем исключить А из формулы Эйлера.
Чтобы полностью исключить А, нужно «более явно» выразить формулу Эйлера через С и V, уточнив, что скрывается за этими числами.
В выпуклом многограннике Р с числом граней С и числом вершин V обозначим за Сn число граней, имеющих n ребер, Vn — число вершин, в которых сходятся n ребер. Можно записать следующую сумму ряда (конечного!):
С = С3 + С4 + С5 + С6 + … (1)
Также
V = V3 + V4 + V5 + V6 + … (2)
Так как одно ребро принадлежит двум граням одновременно, то
3С3 + 4С4 + 5С5 + 6С6 + … = 2A. (3)
Так как каждое ребро соединяет две вершины, получим
3V3 + 4V4 + 5V3 + 6V6 + … = 2A. (4)
Используя формулу Эйлера, где обе части умножены на 2, то есть 2С + 2V = 4 + 2A, учитывая (1), (2) и (3), получим:
2С3 + 2С4 + 2С5 + 2С6 + … + 2V3 + 2V4 + 2V5 + 2V6 + … = 4 + 3С3 + 4C4 + 5C5 + 6C6 + …
Иными словами,
2V3 + 2V4 + 2V5 + 2V6 + … = 4 + C3 + 2C4 + 3C5 + 4C6 + … (5)
Аналогично на основе (1), (2) и (4) получим:
2С3 + 2С4 + 2С5 + 2С6 + … + 2V3 + 2V4 + 2V5 + 2V6 + … = 4 + 3V3 + 4V4 + 5V5 + 6V6 + …
Иными словами,
2C3 + 2C4 + 2C5 + 2C6 + … = 4 + V3 + 2V4 + 3V5 + 4V6 + … (6)
Вид столь громоздких равенств разочаровывает, но мы
перешли от формулы Эйлера к соотношению, которое связывает вершины и
грани, и при этом в нем не учитывается число ребер.
Если прибавить к (5) выражение (6), умножив обе его части на 2, получим:
2V3 + 2V4 + 2V5 + 2V6 + … + 4С3 + 4С4 + 4С5 + 4С6 + … = 12 + С3 + 2С4 + 3С5 + 4С6 +… + 2V3 + 4V4 + 6V5 + 8V6 + …
Упростив это выражение, получим удивительный результат:
3C3 + 2C4 + C5 = 12 + 2V4 + 4V5 + … + C7 + 2С8 + … (*)
В этом выражении не фигурирует число ребер, а также
отсутствуют шестиугольные грани и вершины, в которых сходятся три ребра.
Запомните выражение (*): оно поможет нам совершить много удивительных
открытий. Например, вспомним, какую форму имеет футбольный мяч. Это
многогранник, в котором сочетаются пятиугольные и шестиугольные грани, а
в каждой вершине сходятся три ребра.
Существуют ли другие многогранники, где вершины и грани обладают теми же особенностями? Заметим, что С3 = С4 = Сn = 0 при n >= 7, V4 = Vn = 0 при n >= 5, следовательно, согласно (*) должно выполняться равенство С5 = 12, но С6 остается неопределенным. Б. Грюнбаум и Т. С. Моцкин доказали, что С6 может принимать любое значение, отличное от 1. Любопытно, что пятиугольных граней именно 12.
В многограннике, образованном четырехугольниками и шестиугольниками, согласно (*) 2С4 = 12 + 2V4 + 4V5
+ …, то есть минимум шесть его граней будут четырехугольниками. Если
вершины будут иметь степень 3, то таких граней будет ровно 6. Если
гранями многогранника являются треугольники и шестиугольники, то 3С3 = 12 + 2V4 + 4V5
+ … и как минимум четыре грани будут иметь форму треугольника. Если
вершины будут иметь степень 3, то треугольных граней будет ровно четыре.
| 
