В наглядных объяснениях теории множеств используются как символы, так и графические обозначения. N = (1, 2, 3, …} обозначает множество натуральных чисел. На рисунке ниже изображено это же множество в виде точек на прямой.

* * *

* * *

Для конечных множеств А = {a, b, с, d}, В = {а, Ь, е, f} обычно используются диаграммы Венна. На этих диаграммах элементы множеств представлены в виде отдельных точек и замкнутых кривых, ограничивающих группы точек.

Для множеств А, В их декартово произведение А x В определяется так:

то есть как множество упорядоченных пар (а, Ь). Это обозначение связано с традицией, начатой Рене Декартом, обозначать точки на плоскости (х, у) или в пространстве (х, у, z) упорядоченными парами или тройками чисел — координатами. Заметим, что слова по сути тоже представляют собой упорядоченные множества букв.

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.

На основе декартовых произведений вида А x A, то есть произведений множества на само себя, можно определить базовое понятие отношения R как подмножества А х А. Иными словами, отношение указывает элементы А, связанные между собой.

Если (а, Ь) принадлежит R, то между а и Ь имеется отношение. Если (а, с) не принадлежит R, то между а и с отсутствует отношение. Так, для данного отношения R для каждого элемента а имеет смысл рассматривать класс всех элементов, для которых установлено отношение с а. Если (а, Ь) принадлежит R, то это отношение также записывается в форме «а R Ь».

Рассмотрим в качестве примера множество А = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} и отношение R на множестве A: a R Ь, если а кратно Ь. Упорядоченные пары для этого отношения можно представить в декартовых координатах.

Представление отношения в декартовых координатах.

Также можно использовать ориентированный граф, как показано ниже:

Направленный граф, представляющий отношение.

Отношения эквивалентности

Применительно к классификациям на множестве особый интерес представляют так называемые отношения эквивалентности R на множестве А. Они обладают тремя свойствами.

1. Рефлексивностью: a R а.

2. Симметричностью: если a R Ь, то b R а.

3. Транзитивностью: если a R b и b R с, то a R с.

Иными словами, отношение существует между любым элементом и им самим, это отношение обладает симметричностью и транзитивностью для троек элементов.

Если отношение R удовлетворяет всем этим свойствам, то множество А разделено на классы. Подобные отношения на конечных множествах можно представить с помощью графов: элементы множеств будут представлены в виде точек, соединенных линиями со стрелками, которые будут обозначать отношения.

Представление свойств отношения эквивалентности в виде графов.

Так как отношение эквивалентности делает возможным классификацию элементов множества, можно построить схемы, подобные тем, что показаны на рисунке.

Классификация, связанная с отношением эквивалентности.

Если А — множество людей, a R — отношение «иметь одинаковый возраст», то при классификации элементов множества на основе этого отношения сформируются группы по возрасту. Если А — множество целых чисел, a R — такое отношение, что a R Ь, если а — Ь без остатка делится на два, то при классификации получатся группы четных и нечетных чисел.

Отношение порядка

Еще один тип отношений, неотъемлемых в математике, да и в жизни, — это отношения порядка, которые обладают следующими свойствами.

1. Рефлексивностью: a R а.

2. Антисимметричностью: если a R Ь и Ь R а, то должно выполняться а = Ь.

3. Транзитивностью: если a R b и b R с, то a R с.

Вместо «а R b», как правило, используется обозначение «а =< Ь», которое нам прекрасно знакомо применительно к числам (0 =< 1 =< 2 =< …). Следовательно, для каждого элемента имеет смысл рассматривать множество {Ь/а =< Ь} всех элементов, больших а, или множество {Ь/Ь =< а} всех элементов, меньших а. И снова с помощью графов можно представить элементы множества в виде вершин, соединить ребрами упорядоченные элементы и ввести критерий вертикальности («элемент, расположенный ниже, является меньшим»), горизонтальности («элемент, расположенный правее, является бóльшим») или использовать для указания упорядоченности ориентированные графы.

Наглядное представление упорядоченности.

На следующем рисунке стрелками, обозначающими «включен в», указана упорядоченность частей множества из трех элементов {а, Ь, с}.

Граф включения множеств.

Генеалогические деревья — пример отношения упорядоченности между людьми. На генеалогическом дереве родственные связи можно представить стрелками, но обычно их выражают посредством критериев горизонтальности или вертикальности.

Отображения

Еще одним базовым обозначением теории множеств является отображение f: А —> В, где элементам а множества А присваивается единственный элемент b = f (а) множества В. График функции f определяется как

Это множество можно представить на множестве А x В.

График функции f(x) = х² (парабола).

График функции целой части числа для положительных вещественных чисел.

Температура тела человека.

* * *

* * *

Графические калькуляторы и современные компьютерные программы позволяют отобразить графики функций. Однако во многих случаях эти графики оказываются лишь приближенными.

В двух первых примерах, приведенных выше, можно построить график четко заданных функций, но в третьем примере представление сводится к графу из точек, изображающему немногочисленные данные о температуре тела человека. Как экстраполировать значения температуры между точками, для которых имеются данные измерений? Очевидно, точки можно соединить прямыми, но возможны и другие варианты.

В мире данных, полученных эмпирически, очень часто используются графы с конечным числом вершин (x₁, y₁), …, (х_n, у_n). Изучение графиков, проходящих через эти точки, или же их аппроксимация представляет большой интерес с точки зрения статистики, особенно при анализе возможных связей между значениями одной переменной x₁…., х_n и другой переменной у₁…, у_n.

Отображения, связывающие элементы двух конечных множеств А и В, обычно представляют сочетанием графов и диаграмм Венна.

Графическое представление отображения f, связывающего множества {a, b, с, d} и {1, 2, 3, 4}.

Если разным элементам одного множества сопоставлены разные элементы другого множества, то такое отображение называют инъективным. Если каждому элементу области значений сопоставлен хотя бы один элемент области определения, то такое отображение называется сюръективным. Если отображение является одновременно инъективным и сюръективным, то есть между элементами обоих множеств (области определения и области значений) существует взаимно однозначное соответствие, такое отображение называется биективным. На следующих графах представлены эти виды отображений.

Инъективное отображение.

Сюръективное отображение.

Биективное отображение.

Чтобы найти все возможные отображения конечного множества А на множество В, будет полезно использовать графы, которые являются деревьями.

Дерево возможных отображений множества A = {a, b} на множество B = {1, 2, 3, 4}.

Если даны два отображения — отображение f множества А на множество В и отображение g множества В на множество С, то имеет смысл говорить о композиции отображений f и g множества А на множество С, то есть о присвоении каждому элементу а множества А элемента g (f(а)) множества С. Композиции отображений g и f обозначается как g о f. Ее можно представить в виде графов следующего вида.

Граф композиции отображений q и f.

Нечеткие множества и графы

В последние десятилетия в целях моделирования сложных ситуаций реальной жизни все шире применяется теория нечетких множеств, созданная инженером Калифорнийского университета в Беркли Лотфи Заде. В классической трактовке элемент а либо принадлежит множеству А, либо нет. Следовательно, множество определяется характеристической функцией: она принимает значение 1 для элементов, принадлежащих A, и 0 для элементов, не принадлежащих A.

Идея Заде состояла в том, чтобы расширить характеристические функции и создать нечеткие множества, то есть определить функции, которые ставят в соответствие элементам x универсального множества X значения f(х) в интервале от 0 до 1. В такой трактовке f(х) определяет степень принадлежности х к А.

Нечеткие множества, соответствующие утверждению «результат примерно равен 1».

* * *

* * *

Одному и тому же расплывчатому понятию можно сопоставить разные нечеткие множества. Именно это и вызывает интерес к теории нечетких множеств — она допускает альтернативные трактовки одной и той же ситуации. Задачи искусственного интеллекта, управления механизмами, обработки цифровых фотографий, распознавания образов и другие задачи (даже стиральные машины с нечеткой логикой) — прекрасные наглядные примеры того, как эта теория используется на практике. Введение степеней — очень важная идея, ведь между черным и белым существует множество оттенков серого.

В рамках теории нечетких множеств также рассматриваются нечеткие классификации и упорядоченность; можно говорить о степенях отношений. Эта теория основана на теории множеств и может быть подтверждена примерами из теории вероятностей (вероятность является оценкой какого-либо события и лежит в интервале от 0 до 1), но особенно интересна в эмпирических моделях и при решении задач, на которые нельзя дать четкого и однозначного ответа в рамках классической математики.

В частности, в теории нечетких множеств тоже используются графы отношений, но в этом случае значения от 0 до 1, присваиваемые парам элементов, сопоставляются ребрам графов. Иными словами, получается взвешенный граф.

Мы надеемся, что в этом разделе нам удалось показать, что теория графов также может быть сформулирована в терминах теории множеств и что графы играют важную роль даже при построении графиков.