Суббота, 26.09.2020, 20:07
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Статистика

Онлайн всего: 3
Гостей: 3
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » ТЕОРИЯ ГРАФОВ

Раскраска графа в два или три цвета
20.01.2016, 20:01
Как выглядят карты (плоские графы), для раскраски которых достаточно всего двух цветов? А трех цветов? Ответ на эти вопросы нетруден, и его можно найти довольно быстро. Обратимся к теореме о двух красках, которая гласит: «Карту можно раскрасить двумя цветами тогда и только тогда, когда в соответствующем ей графе все вершины имеют четную степень».

Любопытно, что если карту можно раскрасить двумя цветами, то все вершины соответствующего графа будут иметь четную степень. Если в нем будет хотя бы одна вершина с нечетной степенью, то как минимум одна грань графа будет граничить с двумя гранями и для раскраски понадобится уже три цвета. Чтобы доказать обратное утверждение, нужно выполнить несколько действий. Сначала докажем, что если мы проведем на плоскости n линий случайным образом, то полученную карту можно будет раскрасить всего двумя красками (вспомните, например, шахматную доску).

Используем метод доказательства по индукции, который заключается в том, что мы докажем это утверждение для n = 1 и посмотрим, будет ли верным это утверждение для n + 1, если оно верно для n.



При = 1 (а) доказательство тривиально. Допустим, что это утверждение верно для n прямых (b), и рассмотрим карту, на которой изображена + 1 прямая (с). Если мы удалим одну из линий, то получим карту из n прямых, которую можно раскрасить двумя цветами (верно по индукции). Следовательно, при добавлении (n + 1)-й прямой вверху (или справа) от добавленной прямой все цвета останутся без изменений, а с другой стороны от этой прямой все области изменят цвет на противоположный. Таким образом, карту из n + 1 прямой можно раскрасить всего двумя красками. С учетом соответствующих различий можно заметить, что любую карту из окружностей, случайным образом распределенных на плоскости, также можно раскрасить двумя красками. И в случае с прямыми, и в случае с окружностями все вершины полученного графа будут иметь четную степень. В любом графе, вершины которого имеют четную степень, бóльшую двух, при удалении цикла получится граф, вершины которого по-прежнему будут иметь четную степень. Как и все графы такого типа, его можно будет представить в виде прямых или окружностей. Теорема о двух красках доказана.

Применительно к задачам раскраски во многих случаях интерес представляют только графы, степень каждой вершины которых не превышает 3. Если одна из вершин графа имеет степень больше 3, то можно провести окружность С с центром в этой вершине, которая не будет касаться никакой другой вершины, затем удалить элементы графа внутри этой окружности и получить новый граф с вершинами степени 3, соответствующими пересечениям С и исходных ребер. Если мы раскрасим полученную карту, а затем удалим построенную окружность и вернемся к исходному графу, то задача будет решена, как показано на следующих рисунках. Таким образом, в задачах о раскраске графов иногда можно рассматривать только плоские графы, каждая вершина которых имеет степень 3.



Доказательство теоремы о трех красках сложнее, чем предыдущей, поэтому мы не будем приводить его здесь. Сама теорема звучит так:

«Плоский граф с вершинами степени 3 можно раскрасить тремя красками тогда и только тогда, когда все его грани ограничены четным числом ребер».

* * *

ОХРАННИКИ В МУЗЕЯХ И РАСКРАСКА ГРАФОВ

В 1973 году, анализируя задачу о расположении охранников в залах музея, Виктор Клее задался вопросом: если музей имеет форму многоугольника с n сторонами, какое количество охранников необходимо для того, чтобы они могли просматривать все стены, не двигаясь с места? На первом рисунке изображен выпуклый многоугольник, который легко просматривается одним охранником, стоящим в углу. Однако в случае с невыпуклым многоугольником, изображенным на следующем рисунке, одного охранника уже недостаточно. Ответ задачи таков: для многоугольника с сторонами достаточно [n/3] охранников. (Знак [] обозначает целую часть отделения, то есть результат деления с отброшенными десятичными знаками.)



Любопытно, что в доказательстве используется граф, полученный триангуляцией зала музея (то есть разбиением многоугольника на треугольники). Вершины этого графа можно раскрасить тремя цветами так, что смежные вершины будут окрашены в разные цвета.

* * *

Итак, были открыты признаки графов, для раскраски которых достаточно двух или трех красок, и вскоре стало очевидно, что пяти цветов достаточно для раскраски любого графа. Однако оказалось очень сложно определить, достаточно ли четырех цветов для раскраски любого графа. В математике подобное случалось не раз: частный случай оказывался самым трудным.

Категория: ТЕОРИЯ ГРАФОВ | Добавил: admin | Теги: ИТК и мате, Мир Математики, искусственный интеллект, машинное обучение, популярная математик, математика и информатик, дидактический материал по матем
Просмотров: 866 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2020
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru