Представим на мгновение все возможные многогранники — правильные или неправильные. Если мы нарисуем все эти многогранники, то заметим, что всегда существует как минимум несколько граней, которые являются выпуклыми многоугольниками с одинаковым числом сторон. Чтобы ограничить многоугольниками какую-то область пространства, необходимо чтобы как минимум несколько из них повторялись.

Графы и мозаики

Рассмотрим три разных мозаики, которые представлены на рисунке. Все они, несомненно, знакомы вам, так как часто встречаются в повседневной жизни.

Это четырехугольная, треугольная и шестиугольная мозаики соответственно. Каждая из них представляет собой геометрический граф (определение геометрического графа приводилось выше). Число граней в этих графах может увеличиваться бесконечно: любым из этих графов можно заполнить всю плоскость. Заметим, что при увеличении мозаики для вершин, находящихся внутри, число ребер остается неизменным, и каждая грань ограничивается одним и тем же числом ребер за исключением бесконечно удаленных граней. Если на каждом шаге увеличения мозаики мы будем подсчитывать число вершин V и число вершин V_c, расположенных на краю (во внешнем цикле графа), то увидим, что с ростом V отношение V_c/V стремится к нулю.

Это справедливо для всех трех рассмотренных типов мозаики. Далее мы продемонстрируем удивительный результат, основанный на следующем определении.

Правильная мозаика — это геометрический граф, который может покрыть плоскость; при этом число ребер а, сходящихся в каждой вершине, и число ребер Ь >= 3 каждой грани являются постоянными (за исключением внешних граней), причем V_c/V стремится к нулю.

Единственно возможными правильными мозаиками в соответствии с этим определением являются треугольная, четырехугольная и шестиугольная мозаики.

Пусть дана правильная мозаика М, которая имеет V вершин, А ребер и V_c граничных вершин. Тогда 2А < aV, так как aV — это общее число ребер, получаемое, если поставить в соответствие каждой вершине (включая граничные) а ребер.

Если же мы не будем учитывать ребра, которые выходят из граничных вершин, получим аV — aV_c < 2А.

Объединив эти два неравенства, имеем aV — aV_c < 2А < aV.

Разделим все части неравенства на

Перейдем к пределу. При V, стремящемся к бесконечности, V_c/V стремится к нулю:

Подсчитаем число граней С мозаики М. С — 1 грань будет иметь Ь ребер, бесконечно удаленная грань будет иметь V_c ребер. Следовательно,

(C — 1)b + V_c = 2А.

Разделив на bV, получим:

Перейдя к пределу при V, стремящемся к бесконечности, с учетом выражения (*) получим:

(**)

Так как мозаика М — это геометрический граф, для нее выполняется формула Эйлера, которую можно записать в следующем виде:

При переходе к пределу имеем:

Иными словами, постоянные а и Ь связывает равенство

2а + 2Ь = ab,

что можно записать в таком виде:

(а — 2)(Ь — 2) = 4.

Все возможные натуральные решения этого уравнения представлены в таблице:

Интересно, что это доказательство относится исключительно к теории графов и не зависит от каких-либо геометрических свойств (расстояний, углов, параллельности сторон) фигур, образующих мозаику. Например, следующие мозаики относятся к тем же трем типам, хотя очевидно состоят из других фигур. Единственная разница заключается в изоморфизме соответствующих им графов.

* * *

ФОРМУЛА НА МАРКАХ

На этой марке, выпущенной в ГДР в честь Леонарда Эйлера, изображен икосаэдр и формула A — C + V = 2 в немецком варианте. Интересный способ рассказать о формуле всему свету.