Пятница, 25.09.2020, 13:37
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Статистика

Онлайн всего: 7
Гостей: 7
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » ТЕОРИЯ ГРАФОВ

Всегда существует треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань
20.01.2016, 18:54
Попробуйте представить себе выпуклый многогранник, у которого нет ни одной грани в форме треугольника, четырехугольника или пятиугольника. Очевидно, что такого выпуклого многогранника не существует.

Вспомним формулу (*) из прошлого раздела:

3C3 + 2C4 + C5 = 12 + 2V4 + 4V5 + … + С7 + 2С8 + … (*)

Заметим, что выражение в правой части больше или равно 12, то есть всегда выполняется соотношение

3С3 + 2С4 + С5 >= 12.

Кроме того, С3, С4 и С5 не могут быть равны нулю одновременно. Можно сформулировать следующую теорему:

«В любом выпуклом многограннике всегда существует как минимум одна грань в форме треугольника, четырехугольника или пятиугольника».

Другие грани могут иметь любую форму, но как минимум одна грань должна иметь три, четыре или пять ребер. Вспомним, что правильным многогранником называется выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и во всех вершинах которого сходится одинаковое число ребер. Тогда предыдущую теорему можно записать так:

«Единственными правильными многогранниками являются тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр».


* * *

ГРАФЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРАВИЛЬНЫМ МНОГОГРАННИКАМ

Пять правильных многогранников необязательно изображать в перспективе — можно построить соответствующие им плоские графы. Значения V, А и С для следующих фигур представлены в таблице ниже.




Заметим, что в полученной нами теореме общее соотношение Эйлера сочетается с характеристиками многоугольников, ограничивающих часть пространства, образующего многогранник.

* * *

Исходя из полученного результата (всегда будет существовать грань в форме треугольника, четырехугольника или пятиугольника) и из определения правильного многогранника получим, что единственно возможные правильные многогранники будут полностью образованы либо равносторонними треугольниками, либо квадратами, либо правильными пятиугольниками.

Если все грани многогранника — равносторонние треугольники (их углы равны 60°), формула (*) сводится к 3С3 = 12 + 2V4  + 4V5. В тетраэдре С3 = 4 (и, разумеется, V3  = 4, V4 = V5 = 0). Для октаэдра V4 = 6, V3 = V5 = 0 и С3 = 8. В икосаэдре С3 = 20 и V5 = 12.

Если все грани многогранника — квадраты, то в его вершинах могут сходиться только три ребра, поэтому V4 = V5 = 0 и по формуле (*) 2С4 = 12, то есть С4 = 6. Таким образом, этот многогранник — куб.

Если все грани многогранника — правильные пятиугольники, то степень его вершин может равняться только 3. По формуле (*) С5 = 12 — это додекаэдр.

* * *

ТОЧНЫЙ ПОДСЧЕТ

Пусть Р — выпуклый многогранник с r(Р) гранями. Рассмотрим два его параметра:

r(Р) — количество натуральных чисел i, таких что в Р существует грань с i ребрами;

К(Р) — число сторон грани Р с наибольшим числом вершин или ребер.

Так, в кубе Р r(Р) = 1, К(Р) = 4. Для пирамиды Р, в основании которой лежит пятиугольник, r(Р) = 2, К(Р) = 5.

Если многоугольник Р имеет грань, число сторон которой равно К(Р), так как каждая из этих сторон является ребром другой грани, то общее число граней будет равно как минимум К(Р) + 1, то есть

С(Р) >= К(Р) + 1.

Так как r(Р) не может быть больше, чем число элементов множества {3, 4, 5, К(Р)}, то

r(Р) = < К(Р) — 2.

На основании вышеприведенных неравенств для С(Р) и r(Р) имеем:

С(Р) — r(Р) >= К(Р) + 1 — (К(Р) — 2) = 3.

Если бы все грани многогранника были бы различны, то выполнялось бы равенство С(Р) = r(Р) + 3, что невозможно.

Категория: ТЕОРИЯ ГРАФОВ | Добавил: admin | Теги: ИТК и мате, Мир Математики, искусственный интеллект, машинное обучение, популярная математик, математика и информатик, дидактический материал по матем
Просмотров: 614 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2020
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru