Среда, 21.10.2020, 16:57
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Статистика

Онлайн всего: 10
Гостей: 10
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ

Бесконечная книга и двумерный диск
30.11.2015, 12:11
Многие писатели прошлого и современности очень четко передают математические идеи, объясняют их и сопровождают примерами, что помогает лучше усвоить многие понятия и взглянуть на них по-новому. Чтобы проиллюстрировать это, обратим внимание на два рассказа: один из них принадлежит перу Хорхе Луиса Борхеса, второй — Итало Кальвино.

Большая часть творчества Борхеса посвящена парадоксальным ситуациям и объектам, которые тем не менее настолько логичны, что кажутся реальными: это пустыня, подобная лабиринту, где нет ни дверей, ни проходов, здание библиотеки невероятно сложной планировки и т. д. Описания подобных объектов в произведениях Борхеса содержат отсылки к математическим идеям.

В «Книге песка» этот аргентинский писатель говорит о книге с бесконечным числом страниц, при этом нельзя определить, какая из страниц книги первая, какая — последняя. Можно сказать, что бесконечность, описываемая Борхесом, является потенциальной и счетной, так как все страницы книги пронумерованы натуральными числами. Страниц в книге так много, что ее невозможно открыть еще раз на только что прочитанной странице, — именно так писатель проводит различие между конечным и бесконечным:

«Я наугад раскрыл книгу… Я обратил внимание, что на четной странице стояло число, скажем, 40514, а на следующей, нечетной, — 999. Я перевернул ее — число было восьмизначным. На этой странице была маленькая, как в словарях, картинка: якорь, нарисованный пером, словно неловкой детской рукою.

И тогда незнакомец сказал:

— Рассмотрите хорошенько, вам больше никогда ее не увидеть.

В словах, а не в тоне, звучало предостережение.

Я заметил страницу и захлопнул книгу. И тут же открыл ее. Напрасно я искал, страница за страницей, изображение якоря…

<…>

— …Ее владелец не умел читать… Он объяснил мне, что его книга называется Книгой Песка, потому что она, как и песок, без начала и конца».

Если бы книга была конечной, то как бы много страниц в ней ни было (например, N), вероятность снова открыть ее на определенной странице была бы небольшой, но не нулевой. В бесконечной книге эта вероятность равна нулю:


Страницы «Книги песка» вполне могли быть пронумерованы натуральными числами: 1, 2, 3, … При такой нумерации книгу нельзя было бы открыть на последней странице, но можно было бы открыть на первой, однако в рассказе говорится, что у книги нет ни начала, ни конца. В попытках найти начало или конец книги герою все время попадались новые и новые страницы:

«Он попросил меня найти первую страницу. Я положил левую руку на титульный лист и плотно сомкнутыми пальцами попытался раскрыть книгу.

Ничего не выходило, между рукой и титульным листом всякий раз оказывалось несколько страниц. Казалось, они вырастали из книги.

— Теперь найдите конец.

Опять неудача; я едва смог пробормотать:

— Этого не может быть.

<…>

— Не может быть, но так есть. Число страниц в этой книге бесконечно.

Первой страницы нет, нет и последней. Не знаю, почему они пронумерованы так произвольно. Возможно, чтобы дать представление о том, что члены бесконечного ряда могут иметь любой номер. <…> Если пространство бесконечно, мы пребываем в какой-то точке пространства. Если время бесконечно, мы пребываем в какой-то точке времени».

Так как в книге нет первой страницы, наша гипотеза о натуральных числах ошибочна. На каком множестве чисел отсутствует первый элемент? На множестве положительных рациональных чисел, то есть на множестве конечных или периодических десятичных дробей. Это множество не только бесконечное и счетное (его элементы можно сосчитать), но на нем также нет первого и последнего числа, ведь первого положительного рационального числа после нуля не существует. Если бы это число, назовем его А, существовало, то мы всегда могли бы разделить его пополам и получить A/2 — положительное рациональное число, меньшее А:

0 < А/2 < A

Первым рациональным числом должно быть A/2. Но это вновь неверно, так как A/4 еще меньше, А/8 — еще меньше. Таким образом, между данным рациональным числом (обозначающим первую страницу «Книги песка») и нулем (обозначающим обложку книги) может уместиться бесконечно много рациональных чисел (страниц книги). Мы можем пронумеровать страницы книги рациональными числами, заключенными между 0 и 1. Но у нее не будет ни первой страницы, ни последней.

Что хотел сказать Борхес, когда написал, что мы находимся в одной из точек бесконечного пространства и времени? Возможно, что мы не можем увидеть его концов или пределов. Если бы пространство и время были конечными, можно было бы вести речь о половинах, третях, соотношениях и расстояниях от концов, но если пространство и время бесконечны, эти рассуждения теряют смысл.

То, что Борхес четко представлял себе бесконечность и ее связь с различными измерениями пространства, становится очевидным уже в начале рассказа: «Линия состоит из множества точек, плоскость — из бесконечного множества линий; книга — из бесконечного множества плоскостей; сверхкнига — из бесконечного множества книг…»

* * *

ХОРХЕ ЛУИС БОРХЕС (1899–1986)

Хорхе Луис Борхес — один из самых выдающихся писателей XX века. Его произведения сложно привязать к какому-то конкретному жанру: их в равной степени можно отнести к рассказам, эссе, поэзии и фантастике. Фантазия Борхеса не лишена логики. В его рассказах содержатся прекрасные и доступные описания научных и математических идей, понятные широкой публике. К подобным произведениям относятся «Вавилонская библиотека», «Фунес памятливый», «Аналитический язык Джона Уилкинса» и «Сад расходящихся тропок». Некоторые считают, что в последней Борхес предвосхитил некоторые открытия квантовой механики.



На реверсе аргентинской монеты достоинством в 2 песо, выпущенной в 1999 году в честь столетия со дня рождения Хорхе Луиса Борхеса, изображен лабиринт, упоминаемый во многих произведениях писателя.

* * *

В еще одном его произведении главную роль играют не числа, а измерения.

«Диск» — это короткий рассказ, в котором алчный дровосек убивает зашедшего к нему путника, после чего много лет ищет оброненный его жертвой магический диск — диск Одина, у которого всего одна сторона:

«— Я иду путями изгнанника, но я король, ибо у меня есть диск. Показать тебе его?

Он разжал костлявый кулак. В нем ничего не было. Ладонь была пуста.

Только сейчас я вспомнил, что до этого он не разжимал его ни разу.

Пристально глядя на меня, он сказал:

— Можешь коснуться.

С некоторой опаской я дотронулся кончиками пальцев до его ладони.

Я почувствовал холод и увидел, как что-то сверкнуло. В то же мгновение его пальцы сомкнулись. Я ждал. Незнакомец продолжал, как если бы он говорил с ребенком:

— Это диск Одина. У него есть только обратная сторона. Подобного ему нет на всей земле. Пока я владею им, я король.

— Он из золота? — спросил я.

— Не знаю. Это диск Одина. И у него одна-единственная сторона».


У трехмерного диска три стороны. Две из них имеют форму круга, третья — это полоса, их соединяющая, которую мы можем развернуть в виде прямоугольника.

Двумерные предметы не имеют толщины. Математическое творение Борхеса состоит в том, что он доказал, что у диска Одина нет толщины, так как у него нет одной из боковых сторон. Дровосек никак не может найти диск, потому что он, скорее всего, упал невидимой гранью вверх.

Категория: ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ | Добавил: admin | Теги: ИТК и мате, Мир Математики, искусственный интеллект, машинное обучение, популярная математик, математика и информатик, дидактический материал по матем
Просмотров: 558 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2020
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru