В поле натуральных чисел, которые используются при счете, не имеет решения следующее уравнение, так как единственно возможное его решение не является натуральным числом:

2х = 1.

Однако это уравнение имеет решение в области дробных, то есть рациональных чисел:

Аналогично, очень простое уравнение

х² = 2

не имеет решения в поле рациональных чисел. Именно с этой проблемой столкнулись древние греки. Однако им пришлось принять этот «чудовищный» результат, поскольку он являлся решением одной из простейших геометрических задач — задачи о нахождении диагонали квадрата единичной стороны.

Решение этого уравнения и этой задачи расширяет поле чисел так называемыми вещественными числами:

Можно подумать, что некоторые уравнения не имеют решений просто потому, что не существует чисел, которые описывали бы их решения, и, следовательно, решение имеет всякое уравнение. Суть проблемы в том, принадлежит решение этого уравнения к известным на данный момент числам или нет. Приведем еще один пример: мы говорим, что уравнение

х² = —1

не имеет решения. Однако оно не имеет решения потому, что мы считаем х вещественным числом — конечной или бесконечной дробью, периодической либо нет.

Однако существует значение х, которое является решением этого уравнения, и выглядит оно «чудовищно»:

В середине XVI века Джероламо Кардано нашел формулу решения кубических уравнений, но, применив ее к уравнению х³ — 15х — 4 = 0, он столкнулся с проблемой. Нетрудно показать, что решением этого уравнения является х = 4. Однако решение, найденное по формуле Кардано, выглядело совершенно иначе:

Перед нами — еще одно «чудовище». Какой смысл имеет квадратный корень из отрицательного числа? Как соотносится подобное число с известным нам решением х = 4? Если мы примем квадратные корни из отрицательных чисел как числа, то какое значение они будут иметь?

Лишь в начале XIX века корни из отрицательных чисел получили свое значение: они стали составной частью комплексных чисел и им были поставлены в соответствие точки в декартовых координатах. Множество комплексных чисел, обозначаемое символом С, расширяет поле вещественных чисел. Комплексное число — это число, состоящее из двух частей: вещественной и мнимой. Мнимая часть представляет собой произведение вещественного числа на i — корень из минус единицы, также называемый мнимой единицей. Рассмотрим два комплексных числа, а и Ь:

i = √-1

a = 2 + 3i

b = 1/2 — i√5.

Чтобы представить число а = 2 + 3i в декартовой системе координат, нужно отложить две единицы вдоль оси абсцисс и три единицы — вдоль оси ординат. Полученная точка будет иметь координаты (2, 3). Однако мы изобразили не просто точку на координатной плоскости — в отличие от точек и векторов на плоскости, с комплексными числами можно выполнять все известные алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, возведение в степень и т. д., и эти вычисления аналогичны вычислениям с вещественными числами. Наконец, система комплексных чисел является полной, так как любое уравнение на поле комплексных чисел имеет решение на этом же поле, что не выполняется для других множеств.

После того как было описано представление комплексных чисел на плоскости, они стали играть определяющую роль при решении задач, не имеющих решения в поле вещественных чисел.