Согласно наиболее распространенной точке зрения,
математика относится к точным наукам — именно так ее называют уже много
лет в вузах большинства стран. Все обращают внимание на прилагательное
«точная», забывая о том, к какому слову оно относится. Студенты,
поступая в университет, чтобы изучать математику, изучают прежде всего
«точное».
Такой была и остается парадигма математики: точность,
корректность, полное отсутствие ошибок и неопределенностей, выбор между
черным и белым без малейших оттенков: выбор между прямыми и кривыми,
конечным и бесконечным, открытым и замкнутым, корректным и некорректным,
хорошим и плохим. Этот выбор неизменно производится на четко
определенном пути в соответствии с законами логики, которая применяется к
таким же простым и универсальным принципам (по крайней мере, на первый
взгляд), как и те, что лежат в основе самой жизни.
В основе этих рассуждений лежит труд тысячелетней
давности, книга, превосходная как по форме, так и по содержанию, —
«Начала» Евклида. Из основных утверждений, считающихся истинными
(постулатов), выводятся новые, не столь очевидные утверждения (теоремы),
которые, в свою очередь, могут служить основой других, еще менее
очевидных. Совокупность полученных таким образом умозаключений
составляет основу геометрии, правильность которой гарантируется законами
логики. Все результаты получены не по прихоти их автора, а с помощью
логических рассуждений, основанных на первоначальных постулатах.
До недавнего времени «Начала» Евклида служили моделью
преподавания математики. Именно поэтому в соответствии с наиболее
распространенной концепцией математика представляет собой идеально
точную совокупность корректных умозаключений, связанных между собой
неизменной последовательностью «аксиома — теорема — доказательство —
следствие — упражнение». Такой была математика, так она преподавалась,
так она изучалась и воспринималась.
Тем не менее можете ли вы поверить, что Евклид был
настолько гениален, что создал «Начала» сразу, целиком, после того как
определил постулаты геометрии?
* * *
ЕВКЛИД И ЕГО МЕТОД
О создателе крупнейшей математической парадигмы
известно немногое. Он жил около 300 года до н. э. и учился в
Александрии. Самой известной его работой, несомненно, являются «Начала»,
состоящие из тринадцати книг и содержащие более 400 утверждений,
выведенных из пяти постулатов, пяти общих утверждений, или аксиом, и 132
определений. Ниже приведены примеры постулатов, аксиом и определений.
Определение 1: Точка есть то, что не имеет частей.
Определение 2: Линия же — длина без ширины.
Определение 3: Края же линии — точки.
Постулат 1: От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
Постулат 2: Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
Постулат 3: Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
Папирус с фрагментом предложения № 5 из книги II «Начал».
* * *
Неужели в его рассуждениях не было ни единой ошибки?
Зачем ему потребовалось сопровождать свои рассуждения рисунками? Не
описывают ли эти рисунки ситуации, не рассмотренные в постулатах? И
действительно, уже в первой теореме Евклид считает истинным, что две
дуги окружности пересекаются в точке, однако в каком из исходных
постулатов это утверждается? Можно ли утверждать, что линии являются
непрерывными? Не появятся ли на них промежутки, если мы рассмотрим их
под микроскопом? С другой стороны, что именно рассматривал Евклид —
отрезки или прямые?
Отрезки, прямые, треугольники, квадраты, круги… В
математике царят столь совершенные фигуры, что, кажется, они не могут
быть созданы человеком, а являются божественным творением либо
существуют сами по себе, в идеальном и безупречном мире. Эту точку
зрения, в которой явно прослеживается влияние идей Платона, разделяют
практически все математики начиная с античных времен. Те же, кто считает
иначе, пришли к своим убеждениям после длительных размышлений о
сущности математики. Пифагорейцы полагали, что соотношениями чисел
описаны законы всего сущего. Если совершенство было приближено к числу,
то число было приближено к Богу. Круг — идеальная сущность, о свойствах
которой говорят, что они «открыты». Можно сказать, что существует в
некотором роде единый образ этой геометрической фигуры, общий для всех, и
когда мы рассматриваем окружность, то открываем ее свойства и отношения
с другими идеальными фигурами. Таково традиционное представление о
математическом открытии, которое впоследствии было поставлено под
сомнение. |