Вычисление площадей с древнейших времен было одной из важных задач. В наиболее популярной легенде о происхождении математики говорится, что она зародилась в долине Нила, и причиной ее возникновения стала необходимость измерять площадь земли, затапливаемой во время разливов реки.

Для данного прямоугольника со сторонами а и b площадь S поверхности, ограниченной его сторонами, определяется как произведение его длины на ширину: S = а·Ь. Так как всякий треугольник является половиной некоторого прямоугольника, его площадь равна половине площади этого прямоугольника. Как можно видеть на следующем рисунке, площадь треугольника АВС равна половине площади прямоугольника APQC, основанием которого является сторона АС треугольника, а ширина равна высоте A, опущенной на основание АС:

Следовательно, площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:

S = (1/2)·A·C·h

Любую плоскую фигуру можно разбить на несколько треугольников. Вычисление площади фигуры равносильно вычислению суммы площадей составляющих ее треугольников. Но как быть в случае, если фигура ограничена не прямолинейными, а криволинейными отрезками?

Простейшей криволинейной фигурой является круг. Задача о вычислении площади круга очень древняя, а задача о построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга, с помощью циркуля и линейки — одна из трех классических задач геометрии.

Каково соотношение между площадью круга и площадью квадрата? В первом приближении площадь круга радиуса r можно оценить площадями вписанного и описанного квадрата:

Площадь круга S_с заключена между площадью квадрата с диагональю 2r и площадью квадрата со стороной 2r. Среднее значение этих двух площадей и будет первым приближенным значением площади круга S:

Сегодня нам известно, что этот результат не соответствует действительности, так как площадь круга равняется не 3r², а πr². Тем не менее в Древнем Египте соотношение между длиной окружности и ее диаметром принималось равным 3, хотя нетрудно видеть, что если окружность радиуса r совершит полный поворот, пройденная ею длина будет больше, чем ее утроенный диаметр. Однако сейчас нас интересует не поиск точного значения π, а переход от площади прямоугольника или треугольника к площади круга.

Можно построить вписанный и описанный равносторонний треугольник для данного круга, однако в этом случае задача только усложнится, а полученный результат будет не точнее предыдущего. Продолжив аналогичные рассуждения, придем к выводу, что если мы построим для данного круга вписанные и описанные многоугольники с большим числом сторон, то сможем вычислить его площадь с большей точностью. Результат будет тем точнее, чем больше сторон будет у этих многоугольников.

В пределе (если такая ситуация вообще возможна) мы получим два многоугольника с бесконечным числом сторон, площади которых будут равны площади круга.

Следовательно, достаточно рассматривать либо вписанные, либо описанные многоугольники, так как в пределе они совпадут.

Именно так рассуждал Архимед. Вместо того чтобы рассмотреть многоугольник с п сторонами, он начал с правильного шестиугольника и последовательно удваивал число его сторон. Он дошел до многоугольника с 96 сторонами и вычислил приближенное значение числа π и площади круга с очень хорошей точностью:

Но заслуга Архимеда состоит не в том, что он провел такие трудоемкие расчеты. Во-первых, он показал, что большую часть вычислений можно опустить, если на данном этапе известны периметры и площади вписанного и описанного многоугольника — периметры и площади соответствующих многоугольников на следующем этапе можно вычислить как среднее гармоническое и среднее геометрическое.

Во-вторых, он разработал итеративный метод, на каждом шаге которого полученный результат был точнее, чем на предыдущем. Архимед открыл путь, ведущий к бесконечности. Пройти по этому пути до конца невозможно, но вполне возможно вычислить, что ждет нас в конце.

* * *

АРХИМЕД В XXI ВЕКЕ

С помощью тригонометрии и современных технологий можно повторить вычисления Архимеда, используя рекурсивный метод, в котором применяются правильные многоугольники с числом сторон, равным 2ⁿ. Площадь 2n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, равна:

Тригонометрия помогает увидеть, что закон, которому подчиняются площади многоугольников, определяется синусами углов вида π/(2ⁿ). Этот закон позволяет найти площадь круга S_c:

Компьютер способен вычислить площадь многоугольника с 1024·2¹⁰ сторонами по предыдущей формуле и показать, что результат близок к ожидаемому: S₁₀₂₄ = 3,1415923…

* * *

Круг — простейшая из криволинейных фигур. Как же вычислить площадь любой другой фигуры? Зная формулу, которая описывает часть кривой, ограничивающей фигуру, математики могут найти площадь этой фигуры с помощью метода, схожего с методом Архимеда. Допустим, что мы хотим найти площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой у = х³ между началом координат (0,0) и точкой (1,0).

Эта фигура на иллюстрации выделена серым цветом:

Первым приближением искомой площади будет площадь прямоугольного треугольника с вершинами в точках (0,0), (1,0) и (1,1), равная 1/2. Однако это значение чрезвычайно далеко от истинного.

Метод, о котором мы расскажем далее, называется методом исчерпывания. Архимед использовал его более 2000 лет назад для вычисления площади, ограниченной участком параболы. Первым приближением площади искомой фигуры была площадь треугольника, по форме напоминающего эту фигуру. Теперь мы будем вычислять площадь прямоугольника.

Разделим интервал [0,1] на четыре равных интервала и построим на каждом из них по два прямоугольника — высота одного из них будет равна значению функции на левом конце интервала, высота другого — значению функции на правом конце интервала. Так как f(0) = 0³ = 0, высота первого прямоугольника будет равна 0:

Искомая площадь S заключена между суммой площадей меньших прямоугольников S₁ (выделены светло-серым) и больших прямоугольников S_s  (выделены темно-серым). Точнее говоря, искомая площадь будет больше первого значения и меньше второго. Вычислим обе эти площади с учетом того, что основания всех прямоугольников одинаковы и равны 1/4, отличаются лишь их высоты:

Среднее значение этих площадей равно: S ~= (S₁ + S_s)/2 = 0,265625. Найдем более точное значение площади, разбив исходный интервал на большее число частей:

Теперь основания всех прямоугольников равны 1/8. И вновь сумма площадей прямоугольников, выделенных темно-серым (S_s), будет больше искомой площади, которая превышает сумму площадей прямоугольников, выделенных светло-серым (S₁).

Их среднее значение равно:

S ~= 0.5·(S_s + S₁) = 0,2539…

Если мы продолжим этот процесс и будем последовательно делить интервал [0,1] на все более мелкие части, то в пределе мы разделим его на бесконечное число частей, получим бесконечное число прямоугольников, а сумма их площадей будет равна площади фигуры, заключенной между графиком кривой и осями координат.

Вопрос в том, как вычислить общую площадь бесконечного числа прямоугольников. Произведенные выше расчеты показывают, что искомое значение должно быть близко к 0,25, так как промежуточные результаты равны 0,2656… и 0,2539…

Чтобы получить окончательный ответ, рассмотрим, как мы вычислили два предыдущих значения. Вне зависимости от числа прямоугольников, будь их восемь, сто, тысяча или n, сумма их площадей будет рассчитываться одинаково. Значение площади S_s при разделении интервала [0, 1] на n равных частей будет равно:

Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти значение этого выражения, когда n стремится к бесконечности. Посмотрим, чему равен его числитель, представляющий собой сумму кубов натуральных чисел:

1³ = 1

1³ + 2³ = 9

1³ + 2³ + 3³ = 36

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100

Числитель будет равен 1, 9, 36, 100, … — это квадраты чисел 1, 3, 6, 10, … Может показаться, что суммы кубов натуральных чисел равны квадратам некоторых других чисел. Но каких? Какой ряд образуют числа 1, 3, 6, 10, …? Заметим, что

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Можно сформулировать теорему:

Правильность этой теоремы можно подтвердить экспериментально для множества чисел — компьютер справится с этим за несколько мгновений. Однако экспериментальное подтверждение частных результатов и выведение из них какого-то общего принципа (именно так действуют физики и биологи) для математиков неприемлемо. В математике истинность увиденного нужно подтвердить для всех возможных случаев.

Как подтвердить истинность нашей теоремы для всех возможных случаев? Начнем с того, что вычислим сумму первых n натуральных чисел. Для этого применим метод, который использовал великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, когда ему не было и десяти лет. Его биографы отмечают, что как-то раз преподаватель, чтобы занять учеников, дал им задание вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 100.

Среди учеников был и Гаусс, который, к удивлению учителя, через несколько секунд протянул ему грифельную доску с правильным ответом. Юный Гаусс записал числа в два ряда, один над другим, и вычислил суммы в каждом столбце:

Сумма чисел в нижнем ряду равна 100·101 = 10100, что в два раза больше требуемой суммы. Следовательно, правильный ответ равен

1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 10100/2 = 5050.

Применим этот же метод в нашем, более общем случае:

Можно заметить, что формула суммы первых n натуральных чисел такова:

1 + 2 + 3 +… + n = n(n + 1)/2 (*)

Вернемся к нашей теореме и используем эту формулу (**):

Теперь у нас есть две формулы, в которых фигурирует n первых натуральных чисел. Подтвердить правильность этих формул экспериментально на бесконечном множестве чисел невозможно. Нужно найти стратегию, которая позволила бы обойти эту проблему. Математик рассуждает так: «Отлично, дана формула, верная для n-го натурального числа. Так как все натуральные числа получаются прибавлением единицы к предыдущему, то если формула верна для n-го числа, я докажу ее истинность для следующего натурального числа. Если я докажу, что формула, верная для n, верна и для n + 1, то я автоматически докажу ее истинность для всех натуральных чисел».

Именно так мы и поступим. Сначала мы докажем, что если формула (*) верна для n, то она будет верна и для n + 1. Затем проведем аналогичное доказательство для формулы (**). Докажем, что:

Нам всего лишь нужно показать, что разность между двумя выражениями в левой части равенства, равная n + 1, равна разности двух выражений в правой части равенства:

Достаточно найти значение правой части равенства, чтобы убедиться, что это в самом деле так. Аналогично доказывается истинность выражения (**). Теперь мы можем закончить решение нашей задачи о площади:

Последнее преобразование верно потому, что с ростом n значения выражений 1/2n и 1/4n² становятся все меньше и меньше. В пределе, когда значение n равно бесконечности, значение обоих выражений будет равно 0. Как следствие, площадь фигуры, ограниченной кривой у = х³, равна 1/4 = 0,25.

Наиболее выдающийся результат математического творчества, который мы применили в этом решении, таков: мы вписали в искомую фигуру, площадь которой мы хотим найти, ряд прямоугольников, площадь которых легко вычислить. Чем больше прямоугольников мы впишем в искомую фигуру, тем ближе сумма их площадей будет к площади искомой фигуры. Так как значения площадей прямоугольников в пределе приближаются к конкретному числу и мы можем это доказать, можно найти конкретное значение площади криволинейной фигуры. От геометрического параллелизма мы переходим к числовому и обратно. Мы решили более простую задачу, чем исходная, а затем использовали полученный результат для решения нужной задачи.

Использование пределов в решении задач — одно из величайших достижений математического творчества всех времен. В конце XVII века Ньютон и Лейбниц использовали это понятие в качестве основы при создании математического анализа. Полтора столетия спустя французский математик Коши и немецкий математик Вейерштрасс уточнили понятие предела для непрерывных функций, подобных той, что мы рассмотрели в предыдущем примере.