Вторник, 27.10.2020, 13:10
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Статистика

Онлайн всего: 11
Гостей: 11
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ

Порядок среди хаоса: теорема Вариньона
30.11.2015, 12:05
Теорема Вариньона — это знаменитая теорема планиметрии, описывающая удивительный феномен. В классификации Дьёрдя Пойа это задача на доказательство.

Эта теорема иллюстрирует два важных принципа: во-первых, доказательство, которое не объясняет явление, не является достаточным, во-вторых, цель творческого подхода в математике заключается в том, чтобы понять явление, а для этого необходимо всестороннее доказательство. Иными словами, иногда «доказать» не означает «объяснить».

Выберем четыре произвольные точки плоскости Р, Q, R, S и соединим их отрезками, образуя четырехугольник. Обозначим середины его сторон точками А, В, С, D. Соединим эти точки так, чтобы получился второй четырехугольник внутри первого. Замечаете ли вы нечто особенное?



Повторите построение для других исходных точек, и вы увидите то же самое.

Перед нами — необычная ситуация. Кажется, что геометрия не подчиняется здравому смыслу. Какую бы форму ни имел исходный четырехугольник, для него всегда будет выполняться утверждение:

четырехугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.

Мы обнаружили порядок среди хаоса. Первое, что нужно сделать в подобных ситуациях — постараться объяснить увиденное. Быть может, доказательство поможет нам найти такое объяснение, а может быть, и нет. Рассмотрим векторный и алгебраический подход к этой теореме. Нужно доказать, что точки А, В, С и D, которые являются серединами сторон произвольного четырехугольника PQRS, определяют параллелограмм. Иными словами, нужно доказать, что векторы АВ и DC равны, то есть их можно разложить на одинаковые составляющие. Пусть исходные точки имеют следующие координаты: P(p1, р2), Q(q1, q2), R(r1, r2) и S(s1, s2). Найдем координаты первого из рассматриваемых векторов и покажем, что они равны координатам второго вектора:


Теорема доказана. Объясняет ли это доказательство суть увиденного нами? Нет. Перед нами пример того, как логика доказывает, но не объясняет. В данном случае логика не объясняет, потому что из доказательства мы не можем понять, почему ситуация складывается именно так, а не иначе. Вернемся в начало доказательства и обратим внимание на часть исходной фигуры:



Возможно, в этом контексте она покажется вам знакомой. Проведем вспомогательную линию — единственно возможную для завершения рисунка:



Результат построения — треугольники APD и QPS. Так как точки А и D — середины сторон PQ и PS соответственно, то отрезок AD параллелен QS, а его длина в два раза меньше длины QS. Последнее утверждение известно как теорема о средней линии — она заслуживает отдельного упоминания, так как не столь очевидна, как может показаться.

Проведя аналогичные рассуждения для вершины R исходной фигуры, получим, что отрезок ВС параллелен QS. Так как AD и ВС параллельны QS, они параллельны между собой, а четырехугольников CD — параллелограмм.

Несомненно, только в геометрическом контексте теорема наполняется смыслом, а объяснить ситуацию помогает доказательство, в котором используется теорема Фалеса.



Однако, подобно творцам от математики, не следует останавливаться на этом.

Пауль Матуссек, которого мы цитировали в первой главе, говорил, что творческий ум работает постоянно. Так, прямым следствием этой теоремы является то, что стороны параллелограмма ABCD параллельны диагоналям четырехугольника PQRS. Можно задать и другие вопросы: что произойдет, если мы будем делить стороны исходного четырехугольника не пополам, а на три, четыре и более частей?



Здесь в игру вступают компьютерные программы для рисования и обработки геометрических фигур, которые позволяют наглядно представить ситуацию и могут навести на новые вопросы. Рисунки ниже были сделаны с помощью программы, позволяющей произвольно перемещать вершины исходного четырехугольника. При этом возникают весьма необычные четырехугольники и параллелограммы:



Нельзя избавиться от ощущения, что некоторые из этих фигур представляют собой изображения трехмерных многогранников на плоскости. Теорема Вариньона покидает пределы плоскости и выходит в пространство. Современные технологии помогли нам сломать незримые границы, поставленные исходной формулировкой задачи. Как следствие, возникли новые вопросы: верна ли теорема Вариньона, если стороны исходного четырехугольника пересекаются? А если одна из вершин четырехугольника совпадает с какой-либо из остальных и таким образом четырехугольник превращается в треугольник? Какими свойствами будет обладать этот треугольник и каким будет соотношение между ним и параллелограммом внутри него? При каких условиях теорема будет выполняться в пространстве, если мы заменим четырехугольник многогранником, а параллелограмм — параллелепипедом?

Категория: ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ | Добавил: admin | Теги: ИТК и мате, Мир Математики, искусственный интеллект, машинное обучение, популярная математик, математика и информатик, дидактический материал по матем
Просмотров: 763 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2020
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru