Все ясно: требуется рассмотреть окружность как
отрезок. Закрепив один конец рейки во второй точке, отмеченной на
окружности, я переместил другой конец рейки туда, где, по моему мнению,
должен был находиться конец третьей части дуги, соответствующей
допущенной ошибке. В результате я получал новую длину хорды.
Ключ к решению заключался в том, что все отметки на
бамбуковой рейке соответствовали хордам дуг окружности и… эврика!
Результирующая дуга должна представлять собой сумму дуг. Если складывать
хорды подобно отрезкам, это условие не выполняется — результирующая
дуга не будет равна сумме двух других. Иными словами, сумма хорд будет
равна результирующей хорде, только если мы определим сумму хорд как
хорду, равную стороне треугольника, построенного на двух исходных
хордах:
Мы определили рекурсивный неевклидов алгоритм
построения правильных многоугольников, так как описанный нами способ
применим при делении окружности на n частей. Кроме того, мы
определили новую аддитивную группу, которую назовем «группой хорд
окружности». Сумма двух хорд имеет смысл, если определить ее как сторону
треугольника, построенного на исходных хордах, — в этом случае
результирующая дуга будет равна сумме двух исходных дуг. Метод
«кира-кира» оказался достаточно гибким, чтобы его можно было
использовать при решении тех задач, для которых он не предназначался.
* * *
ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ДЕВЯТИУГОЛЬНИКОВ В УЗОРАХ АЛЬГАМБРЫ
Метод «кира-кира» позволяет объяснить трюк, о
котором упоминают авторы, описывающие построение правильных
девятиугольников, встречающихся в узорах Альгамбры в испанском городе
Гранада. Я называю этот метод построения трюком потому, что, как
известно благодаря трудам Гаусса, правильный девятиугольник нельзя
построить с помощью циркуля и линейки.
Нам доподлинно неизвестно, каким именно методом
руководствовались арабские мастера, однако вполне возможно, что он был
схож с методом «кира-кира». При использовании этого метода окружность
сначала делится на три равные дуги, затем одна из них делится на три
части, при этом всякий раз применяется тот же метод, что использовали
мастера тораджи. Таким образом мы делим окружность на девять равных дуг,
при этом стягивающие их хорды будут сторонами правильного
девятиугольника, вписанного в исходную окружность.
| 
