По легенде, когда великий математик и мудрец Архимед
принимал ванну, ему пришла в голову идея (озарение?), что объем тела,
погруженного в воду, равен объему вытесненной им воды, и он воскликнул
«Эврика!», то есть «Нашел!». Подобное счастливое озарение было и
остается примером математического творчества. Однако это кажущаяся
спонтанность. Другие великие математики, например француз Анри Пуанкаре,
переживали похожие моменты и рассказывали о том, как и когда на них
снизошло вдохновение. Как в мозгу человека зарождаются удивительные идеи? В
результате чего они возникают? Ответы на эти вопросы нужно искать не в
математике, а в психологии.
В начале прошлого века Пуанкаре предложил описание
того, как работает ум математика, и представил его Парижскому
психологическому обществу. Он начал свой доклад с двух парадоксальных
вопросов: «Как может кто-то не понимать математики вообще или с трудом
понимать ее? Возможны ли в математике ошибки?»
* * *
АРХИМЕД ИЗ СИРАКУЗ (287–212 ГОДЫ ДО Н. Э.)
Он умер от рук римского солдата, который не знал о
приказе консула Марцелла сохранить ученому жизнь. По легенде, солдат не
пощадил изобретателя, который был погружен в математические размышления,
в то время как в его доме орудовали римские воины. К наиболее важным
открытиям Архимеда относятся: правило рычага, приближенное вычисление
площади круга, решение задачи о трисекции угла, вычисление площади
сегмента параболы и площади сферического сегмента, а также труд о шаре и
цилиндре.
Профиль Архимеда изображен на медали
Филдса, которая каждые четыре года вручается одному или нескольким
математикам в возрасте до сорока лет. Филдсовская премия в математике
считается аналогом Нобелевской премии.
* * *
Первый вопрос возникает, когда мы утверждаем, что в
основе математики лежит логика с ее основополагающими и всеобщими
принципами. Второй вопрос возникает, если мы считаем, что математик —
это некий мудрец, который в своей работе руководствуется законами
логики, и поэтому не может совершать ошибок. При этом некоторые люди
прекрасно разбираются в бытовой логике, но при этом не способны понять
математическое доказательство, состоящее из кратчайших логических
рассуждений. А сам Пуанкаре признавался, что не мог складывать числа без
ошибок!
Он же указывал: крайне важно, что математическое
доказательство является не совокупностью силлогизмов, а их
последовательностью, при этом порядок их расположения намного важнее,
чем они сами. Если математик четко представляет себе этот порядок, ему
не нужно бояться, что он забудет о каком-то из шагов доказательства.
Однако способностью видеть связи, в том числе неявные, между на первый
взгляд совершенно разными вещами, по-видимому, обладают не все. Именно
эта способность, по мнению Пуанкаре, отличает тех, кто может творить
математику, от тех, кто может изучать, понимать и применять ее.
Математическое творчество не заключается в
комбинировании уже известных знаний — на это способен и компьютер,
однако многие его комбинации не будут представлять никакого интереса.
Для Пуанкаре творить значило выбирать полезные и очень редкие комбинации
среди многочисленных бесполезных.
Пуанкаре делил творческий процесс на этапы. Он
начинал с долгой и трудной работы над темой в течение нескольких недель.
Затем какое-то необычное событие (например, выпитая чашка черного кофе)
мешало ему заснуть, и его начинали одолевать идеи. Именно в этот момент
отдельные идеи переплетались и соединялись в единое целое. Далее
полученные результаты улучшались, после чего по аналогии к нему
приходила новая идея. Затем начиналась новая фаза, во время которой
ученый занимался чем-то далеким от математики (например, отправлялся на
экскурсию), отвлекаясь от своих размышлений. И во время какого-то вполне
обычного действия (например, когда он садился в автобус) Пуанкаре
понимал ключевую взаимосвязь между элементами, которые казались не
зависящими друг от друга (например, между фуксовыми функциями и
неевклидовой геометрией). Вернувшись домой, он проверял правильность
пришедшей к нему мысли.
Внезапное озарение, посетившее Пуанкаре, было
результатом длительной сознательной и подсознательной умственной
деятельности. И этот подсознательный труд, который порой оказывается
более продуктивным, чем сознательный, по всей видимости, начинается
только после того, как проведен определенный объем сознательной работы,
как если бы мы оставили компьютер в спящем режиме или свернули окно
одной программы и запустили другую. Однако программа, окно которой мы
свернули, продолжает работу и выдает решение, о котором мы узнаем только
тогда, когда открываем ее окно снова, щелкнув на него или закрыв все
остальные программы. Пуанкаре особо выделял роль осознанного труда: даже
если он казался безрезультатным, без него совершить открытие
невозможно.
Нам неизвестно, какие умственные процессы привели
Архимеда к его открытиям, но, возможно, он чувствовал нечто подобное.
Те, кто занимался математикой на профессиональном или любительском
уровне, наверняка понимают, что Пуанкаре имел в виду.
* * *
АНРИ ПУАНКАРЕ (1854–1912)
Этот знаменитый французский математик, помимо
прочего, известен благодаря топологической гипотезе, носящей его имя,
которую, по меньшей мере в общих чертах, доказал российский математик
Григорий Перельман в 2002 году. Нить на двумерной поверхности сферы
можно непрерывно сворачивать, пока она не обратится в точку. Гипотеза
Пуанкаре гласит, что аналогичная ситуация возможна для сферы с
трехмерной поверхностью, находящейся в четырехмерном пространстве.
На иллюстрации показана петля, затягивающаяся вокруг точки на поверхности сферы.
* * *
Именно так математическое творчество традиционно
рассматривается в психологии. Однако следует выделить еще несколько
моментов помимо тех, на которые нам указал великий француз. Один из них
состоит в том, что умелый математик способен связать воедино вещи,
которые кажутся совершенно разными. Пуанкаре уделял этому огромное
внимание и даже говорил, что математик — это человек, дающий разным
вещам одно наименование. Это умение важно не только в математическом
творчестве, но и в творчестве вообще. Еще один момент, который тесно
связан с предыдущим и который выделяют как Пуанкаре, так и Курант и
Роббинс (1996), Пойа (1988) и Лакатос (1994), заключается в том, что в
математическом творчестве важную роль играет аналогия.
Мы говорили, что основная составляющая
математического творчества — аналогия. Более того, если вы хотите
создать нечто новое в математике, мыслите аналогиями и отставьте логику в
сторону. А что еще оказывает влияние на творческий процесс? |