Роберваль и Мерсенн заинтересовались результатами
Ферма относительно максимумов и минимумов. Задачи, которые предлагал
Ферма (равно как и ответы на них), были не случайны — при их решении
использовались методы, неизвестные другим математикам той эпохи. Они
поняли, что Ферма значительно опередил современников в решении задач о
максимумах и минимумах, и попросили его объяснить методы, которые он
использовал. Ответ не заставил себя долго ждать. Ферма отправил Мерсенну
и Робервалю три текста («Методы нахождения максимумов и минимумов и
построения касательных к кривым», «О плоских и телесных местах» и труд
Аполлония «Плоские места» в двух книгах), чтобы их оценили парижские
математики. Так Ферма стал известен как математик первой величины.
В своем «Методе максимумов и минимумов» Ферма
отметил, что в точке максимума функции прямая, параллельная оси абсцисс,
касается графика этой функции только в одной точке. Он также отметил,
что в точках, очень близких к точке максимума, прямая, параллельная оси
абсцисс, пересекает график этой функции в двух близких точках справа и
слева от точки максимума.
Следовательно, значение функции в точке экстремума f(а) и значение, очень близкое к нему, f(а + е), где е
— очень малая величина, практически одинаковы, следовательно, согласно
Ферма, их можно «приравнять». В результате получим уравнение, исключив
из которого величину е (так как она очень мала) мы сможем рассчитать а.
Рассмотрим пример. Пусть дана функция f(х) = х2. Ее график представлен на рисунке ниже.
Пусть нужно вычислить минимум этой функции, f(а) = а2. Для этого рассмотрим значение, очень близкое к нему: f(а + е) = (а + е)2 = а2 + 2ае + е2. «Приравняем» их, то есть поставим между этими выражениями знак равенства: а2 = а2 + 2ае + е2. На следующем шаге решим полученное уравнение. Вычтя а2 из обеих частей равенства, получим 2ае + е2 = 0, откуда, сократив на е, получим 2а + е = 0.
Наконец, будем считать е столь близким к 0, что им можно пренебречь. Имеем 2а = 0, следовательно, а = 0 — это корректная точка минимума данной функции.
Как можно видеть, после «приравнивания» мы получили
уравнение, равносильное равенству нулю производной этой функции. Но в те
времена не было известно ни о вычислении производных, ни о нахождении
пределов функций. Поэтому не удивительно, что некоторые математики
признавали этот метод лишь с оговорками. Но в этом случае Ферма проявил
потрясающую интуицию. Он выглядел фокусником, который умело манипулирует
алгебраическими выражениями и в итоге непостижимым образом получает
желаемый результат.
| 
