Австрийский исследователь Отто Нойгебауэр в начале XX века предположил, что в культуре шумеров после десятичной системы мер использовалась шестидесятеричная, свидетельств чему не сохранилось. Возможно также, что обе системы использовались одновременно. Нойгебауэр выдвинул версию, что исходная десятичная система мер была заменена системой с основанием 60, чтобы делить меры и веса на три части. Нам достоверно известно, что в системе мер и весов, которую использовали шумеры, в качестве основных дробей использовались 1/3 и 2/3. Однако это не объясняет, почему шестидесятеричная система не использовалась с самого начала.

Объединение народов, смешение систем

Другие исследователи, в частности, Г. Кевич, предполагают, что шумерская цивилизация могла возникнуть после объединения двух народов, один из которых использовал систему счисления по основанию 12, другой — систему по основанию 5. Хотя система счисления по основанию 5 была распространена не так широко, как десятичная, они могут иметь одинаковое происхождение, связанное с подсчетом на пальцах: в пятеричной системе использовались пальцы одной руки, в десятичной — пальцы обеих рук. Следуя этой теории, при слиянии народов система по основанию 60 возникла естественным образом, в ходе торговли.

Однако у этой теории есть два важных недостатка. Несмотря на то что имеются доказательства использования десятичной системы на этой территории, нет никаких археологических находок, которые подтверждали бы использование системы по основанию 5. Чтобы устранить этот недостаток, можно предложить альтернативную теорию. Допустим, что незадолго до 3500 года до н. э. одна народность использовала двенадцатеричную систему мер и объединилась с другой шумерской народностью, которая в то время применяла десятичную систему. Логично предположить, что постепенно была установлена общая система, чтобы упростить расчеты. Идеальной системой была бы та, основание которой было бы наименьшим общим кратным 10 и 12, чтобы можно было легко пересчитывать числа из одной системы в другую. Таким числом является 60.

Однако здесь становится очевиден второй недостаток нашей теории, так как не существует доказательств, что какая-либо народность использовала систему счисления по основанию 12. Дав волю воображению, мы можем предположить, что 12 — число полнолуний в солнечном году, и до сегодняшнего дня многие единицы измерения связаны с числом 12: например, в британской системе мер фут состоял из 12 дюймов, шиллинг был равен 12 пенсам, а 1 фунт — 12 унциям. Более того, в Европе до сих пор продают яйца дюжинами! Двенадцать дюжин составляют так называемый гросс (эта мера счета применялась при счете мелких галантерейных предметов), и это доказывает, что здесь используется система счисления по основанию 12. Кроме того, 12 является сверхсоставным числом. Но для подтверждения наших теорий нужны археологические находки, которые до сих пор не обнаружены.

Астрономические теории и градусы

Год приблизительно равен 360 дням, окружность делится на 360 градусов. Совпадение? Шумеры тщательно наблюдали за небосводом. Каждую ночь они следили за движением звезд на небе и знали, что в году примерно 365 дней. Следовательно, описывая круг вокруг Солнца, за день Земля проходила одну триста шестьдесят пятую часть окружности. Возможно, для упрощения вычислений было решено поделить окружность на 360 градусов. С точки зрения арифметики преимущества были очевидны, но также имелись и очень интересные геометрические свойства. Если вписать окружность в шестиугольник, его сторона будет равна радиусу окружности. Благодаря этому соотношению можно легко нарисовать шестиугольник или разделить окружность на шесть равных частей с помощью циркуля. А 60 равно одной шестой части от 360. Благодаря всем этим совпадениям, безусловно, было легче изображать небесный свод и движение небесных тел, а также описывать их в численном виде. Шумеры, несомненно, были знатоками астрономии.

Другое любопытное совпадение заключается в том, что Солнце проходит за день расстояние, приблизительно равно 720 его диаметрам (видимый диаметр Солнца равен 2 минутам дуги). Так как день у шумеров состоял из 12 часов, то мы опять с легкостью получим 60. Это означает, что шумеры знали способ измерения видимого диаметра Солнца, но опять-таки не обнаружено никаких археологических находок, которые бы это подтверждали. Также существует гипотеза, что каждые 60 лет совмещаются сферы Юпитера и Сатурна. Вне всяких сомнений, у множества астрономических явлений периодичность выражается числом 60, его делителями или кратными ему числами. И это неспроста!

* * *

БАКИБОЛЫ

В геометрии число 60 занимает особое место. В 1985 году Роберт Кёрл-младший, Гарольд Крото и Ричард Смолли открыли бакминстерфуллерены (также известные как бакиболы) диаметром около нанометра. Это открытие было удостоено Нобелевской премии по химии 1996 года. Эти молекулы состоят из 60 атомов углерода (С^ в химической нотации), которые расположены симметрично и образуют пяти- и шестиугольники. У бакминстерфуллеренов есть замечательные свойства, в частности, сверхпроводимость. Бакиболы обладают сверхпроводимостью при наивысшей температуре среди всех органических соединений и применяются в нанотрубках. Они получили свое имя за схожесть с сооружениями американского архитектора Ричарда Бакминстера Фуллера. Открытие этого соединения взволновало научное сообщество, так как вместе с графитом и алмазом это третья известная форма чистого углерода.

* * *

Способы счета

Исследователи Джон О’Коннор и Эдмунд Фредерик Робертсон считали, что происхождение шестидесятеричной системы должно быть связано со способом счета, который применяли шумеры. Они предположили, что, подобно тому как пальцы рук могут использоваться при счете в десятичной системе, а пальцы рук и ног — при счете в двадцатеричной системе, должен был быть некий способ счета на пальцах, который положил начало шестидесятеричной системе счисления. Если указывать большим пальцем правой руки на каждую из трех фаланг других пальцев правой руки, можно легко сосчитать до 12. Для больших чисел нужно поднимать палец левой, свободной, руки после каждого обхода фаланг правой руки и так досчитать до 60 (12·5 = 60). Такой способ счета также объясняет, почему для подсчета часов использовалось число 12.

Язык и письменность

Американец Мартин А. Пауэлл-младший предложил новую теорию. Он считал, что шестидесятеричная система счисления возникла как результат взаимодействия языка и письменности. Его гипотеза основана на том, что в основном диалекте шумерского языка часто используются формы слова «двадцать», а в другом диалекте — формы слова «три». Шестидесятеричная система счисления сформировалась при объединении двух диалектов. В пользу этой теории мог бы послужить тот факт, что слово «шестьдесят» («нис») на языке шумеров звучало наподобие «три раза по 20», но это не так. Истинное происхождение этого слова в шумерском языке неизвестно.

Уже несколько веков исследователи пытаются найти истоки шестидесятеричной системы шумеров, но в конечном итоге ни одна из теорий не находит подтверждения в археологических находках. Возможно, будущие открытия помогут нам приподнять завесу тайны над этой загадкой.