Сперва он оценил возможность «подсчитать» все эллиптические функции (напомним, что их бесконечно много), с одной стороны, и модулярные эллиптические функции (которых также бесконечно много) — с другой, и показать, что вычисления в обоих случаях эквивалентны. Этот способ оказался неэффективным, но по ходу работы Уайлс получил важный результат, который помог упростить задачу: вместо доказательства гипотезы Таниямы — Симуры для всех эллиптических кривых нужно было доказать эту гипотезу только для их подмножества, так называемых полустабильных кривых.

На этом этапе Уайлс в поисках вдохновения обратился к теории Галуа, названной в честь ее создателя — безвременно ушедшего из жизни французского математика Эвариста Галуа (1811–1832). Галуа, подлинно трагическая фигура в истории математики, высказал гениальную догадку о перестановках возможных решений (корней) многочлена, которая позднее была развита Огюстеном Луи Коши и Артуром Кэли. Например, многочлен второй степени

х² — 4х + 1 = 0

имеет корни х₁ = 2 + √3 и х₂ = 2 — √3.

Оба корня удовлетворяют следующим уравнениям:

x₁ + x₂ = 4

x₁x₂ = 1

Оба уравнения будут по-прежнему верны, если мы поменяем местами х₁ и х₂

x₂ + x₁ = 4

x₂x₁ = 1

Галуа подробно изучил функции, инвариантные по отношению к перестановке корней, и определил так называемую группу Галуа для уравнений. Например, группа Галуа для многочлена х² — 4х + 1 = 0 состоит из двух перестановок: неизменной (в результате которой корни остаются «на своих местах») и транспозиции (показанной в примере).

Эндрю Уайлс в 2000 году.

_{(фотография: С. Моззочи, Принстон, Нью-Джерси)}

Свойства групп Галуа — очень мощный инструмент, который позволяет охарактеризовать чрезвычайно сложные структуры. Уайлс использовал их, чтобы преодолеть первое препятствие на пути к доказательству. В частности, он определил эллиптические уравнения в терминах представлений Галуа и доказал, что их можно ассоциировать с некоторыми характерными элементами модулярных форм. Таким образом, Уайлс переформулировал задачу о подсчете, использовав более «податливые» понятия. Этот первый, но очень важный шаг сам по себе уже заслуживал признания со стороны математического сообщества. Но это был всего лишь первый шаг, а Уайлс потратил на него два года непрерывного труда.

Уайлс работал в полном одиночестве, откуда же он брал силы, чтобы не отступаться от задачи? По его словам, «когда ты полностью сосредоточен, лучший способ расслабиться — это поговорить с детьми. Им не интересна теорема Ферма, по крайней мере, в столь нежном возрасте. Они хотят слушать только сказки». Остается лишь добавить, что Уайлсу повезло: его дети не проявили такого интереса к теореме Ферма, как он сам, когда был ребенком.

* * *

ПОРОЧНЫЙ ГЕНИЙ

Эварист Галуа был молодым человеком с горячим сердцем, который не раздумывая встал на сторону республиканцев в смутные времена Луи-Филиппа I, последнего короля Франции. Он также был одним из величайших гениев за всю историю математики. Его пылкий и непокорный характер, тяготы и лишения, свойственные научной работе, и проваленные вступительные экзамены в Политехническую школу привели к тому, что его труды были почти не известны современникам. Отдушину от неудач в науке Галуа нашел в политическом радикализме. Из-за своих политических взглядов он получил вызов на дуэль от офицера артиллерии, который симпатизировал монархистам.

Галуа знал, что плохо умел обращаться с оружием, поэтому в последнюю ночь перед дуэлью он лихорадочно пишет письмо, где кратко излагает итоги своих исследований, и отправляет его своему другу, блестящему математику Огюсту Шевалье. На следующее утро Галуа был смертельно ранен в живот и скончался через несколько часов. В своем последнем письме он изложил основы теории, которая позднее получила его имя и стала одним из основных разделов современной алгебры. Ему был всего 21 год.

Портрет Эвариста Галуа в возрасте 15 лет сделан с натуры его одноклассником.

* * *

Новый метод подсчета, придуманный Уайлсом, также содержал интересные аналогии с темой его докторской диссертации — теорией Ивасавы. Наступил 1988 год, и Уайлс чувствовал, что другие математики уже дышат ему в затылок. Можно представить, как он побледнел, когда 8 марта прочитал на первых страницах газет, что последнюю теорему Ферма доказал японец по имени Иоичи Мияока. Хотя подробности доказательства не публиковались, некоторые специалисты во всеуслышание заявили, что общая схема представленного доказательства верна. Однако спустя несколько месяцев стало ясно, что доказательство содержало серьезную ошибку. В замке по-прежнему было темно. Призрак Ферма вновь улыбнулся, и Уайлс — вместе с ним.

* * *

МИЯОКА ДОКАЗАЛ ПОСЛЕДНЮЮ ТЕОРЕМУ ФЕРМА

Ошибочное доказательство последней теоремы Ферма, предложенное Мияокой, базировалось на так называемой философии параллелизма. В рамках этой философии, основанной на общих принципах, которые сформулировал в 1970-е годы канадский математик Роберт Ленглендс в так называемой программе Ленглендса, задачи теории чисел предлагалось решать с использованием методов алгебраической геометрии. Именно таким образом немецкому математику Герду Фалтингсу удалось доказать гипотезу Морделла. Тот же Фалтингс был одним из экспертов, которые занимались проверкой доказательства, и именно он обнаружил ошибку в рассуждениях японского математика. Несмотря на отчаянные усилия Мияоки, исправить ошибку так и не удалось.

Роберт Ленглендс на 61-й годовщине математика Пьера Делиня в Принстоне, которая отмечалась в 2006 году.

_{(фотография: С. Моззочи, Принстон, Нью-Джерси)}

* * *

Флах, Кац и свет в конце туннеля

Однако, к разочарованию Уайлса, теория Ивасавы оказалась не столь полезной, как он рассчитывал. В его словах ясно читается разочарование:

«Я искренне верил, что иду по верному пути, но это не означало, что я мог бы достичь цели. Возможно, что нужные методы были бы… найдены в ближайшие сто лет. Поэтому, даже если бы я был на правильном пути, могло случиться так, что я жил не в том веке».

После пяти лет затворничества Уайлс решил немного развеяться и восстановить связь с бывшими коллегами, среди которых был и его руководитель, Джон Коутс. Он похвально отзывался о работе одного из своих учеников, Матиаса Флаха, — тот, используя результаты российского математика Виктора Колывагина, разработал мощный инструмент, который мог применяться для укрощения неподдающихся эллиптических уравнений. По словам Уайлса, казалось, что этот инструмент был «создан специально». Требовалось лишь расширить частичные результаты Колывагина — Флаха, чтобы охватить все случаи теоремы Ферма, и Уайлс принялся за дело с новой силой. После нескольких месяцев упорного труда, казалось, новая тактика начала приносить желаемые плоды, но Уайлса не покидали сомнения. Сложное доказательство основывалось на недавно созданном методе, о способах применения которого все еще велись споры. Пришло время посвятить других в секрет Уайлса и организовать небольшой заговор.

Помощником и осведомителем Уайлс выбрал своего сокурсника, эксперта в той области алгебры, которую использовали Флах и Колывагин. Ник Кац так вспоминает о моменте, когда Уайлс раскрыл ему суть проекта, над которым работал последние шесть лет: «Был январь 1993 года. Эндрю пришел ко мне во время вечернего чая и попросил зайти в его кабинет, чтобы обсудить один вопрос. Я не имел никакого представления, о чем могла пойти речь. Я зашел в его кабинет и закрыл за собой дверь. Он сказал, что близок к тому, чтобы доказать гипотезу Таниямы — Симуры. Я был изумлен. Это было что-то невероятное».

Уайлс выбрал Каца не только за его знания, но и потому, что был уверен: Кац сохранит все в тайне. И он не ошибся. Нужно было организовать совместную работу так, чтобы вместе обсуждать доказательство и рассматривать уравнения, но при этом не вызвать подозрений у коллег. Уайлс и Кац нашли остроумный выход. Первый объявил, что будет вести новый курс в докторантуре под названием «Вычисления на эллиптических кривых». Как и все подобные курсы, его могли посещать студенты и преподаватели. Программой курса было не что иное, как поэтапное изложение доказательства Уайлса. Кац записался на этот курс и мог спокойно проверять различные этапы доказательства, не вызывая никаких подозрений. Немногие докторанты, которые записались на курс, быстро перестали ходить на занятия: материал оказался для них слишком сложен. «На этом уровне, если вы не знаете, какова цель вычислений, то проследить за ними невозможно. Более того, следить за сложными выкладками трудно даже в том случае, когда вам известно, куда они ведут. Через несколько недель я остался единственным слушателем», — вспоминает Кац.

* * *

* * *

Сотрудничество оказалось плодотворным, и, кроме того, Кац не мог найти в доказательстве Уайлса ни единой ошибки. Для пущей уверенности Уайлс посвятил в заговор еще одного человека — Питера Сарнака, своего коллегу по Принстонскому университету. «Думаю, что я вот-вот докажу последнюю теорему Ферма», — признался Уайлс потрясенному Сарнаку. «В ту ночь я не смог сомкнуть глаз», — признается последний.

Однако нужно было преодолеть еще одно, последнее препятствие. Некоторые эллиптические кривые по-прежнему не поддавались. Именно тогда на горизонте снова возникла фигура Барри Мазура: именно его статья навела Уайлса на мысль изменить один из рассматриваемых параметров. Уайлс вспоминает:

«Я уточнял детали доказательства, время летело незаметно, и в тот день я даже забыл поесть. Настало время пить чай, я спустился с чердака, и Нада (жена Уайлса. — Примеч. автора) удивилась, почему я спустился так поздно… и я сказал, что, по-моему, доказал последнюю теорему Ферма. Я был уверен, что решение было у меня в руках. Джон Коутс, мой руководитель в Кембридже, через несколько дней собирался провести конференцию. Мне показалось, что именно эта конференция как нельзя лучше подойдет, чтобы представить мое доказательство. Это был мой старый дом, именно там я защитил докторскую».

Конференция в Кембридже должна была состояться через несколько дней, с 21 по 23 июня, и Уайлс неутомимо приводил в порядок результаты последних семи лет работы. Окончательный вариант рукописи насчитывал 200 страниц и был закончен как раз тогда, когда нужно было садиться на самолет и лететь в Великобританию.

Обложка видеокассеты с фильмом о последней теореме Ферма. Фильм был снят в июле 1993 года. В него вошли интервью с различными математиками, в частности, Эндрю Уайлсом и Кеном Рибетом.

Утреннее письмо

Англичанин Джон Хортон Конвей в 1993 году был ярчайшей звездой на кафедре математики Принстонского университета. Он был признанным экспертом в геометрии, теории групп и теории игр. Кроме того, он изобрел один из первых и самых популярных клеточных автоматов — игру «Жизнь». 23 июня Конвей, не изменявший привычке рано вставать, первым открыл двери кафедры. Несколько недель назад один из его коллег, Эндрю Уайлс, отправился на конференцию в Кембридж, и в течение уже нескольких дней до Конвея, активного члена международного математического сообщества, доносились самые разные слухи. Говорили, что Уайлс достиг выдающегося, удивительного результата, однако подробности были неизвестны. С первыми лучами утренней зари, осветившими горы бумаг и книг, которыми был заполнен его кабинет, Конвей включил компьютер, чтобы прочитать почту, пришедшую прошлой ночью. Одним из последних загрузилось письмо, написанное в 5 часов 53 минуты. Его тема звучала просто: «Уайлс доказал великую теорему Ферма».