1. Определить в какой системе
счисления ведется рассказ:
«Необыкновенная девочка»
Ей было тысяча сто лет,
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила –
Все это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно…
Но станет все сейчас обычным,
Когда поймете мой рассказ
(А.Н.Стариков)
Решение:
Выпишем упомянутые в стихотворении числа: 1, 10,
100, 101,1100. Все встречаемые цифры – 0 или 1. Если
предположить, что зашифровано разложение по
степеням двойки, то получим:
«Ей было тысяча сто лет» – 1100 = 1 .
23 + 1 . 22 = 8 + 4 = 12 лет
«Она в сто первый класс ходила» – 101 = 1 .
22 + 1 = 4 + 1 = 5 класс
«…пыля десятком ног» – 10 = 21 = 2 ноги
«С одним хвостом, зато стоногий» – 1 = 20 = 1, 100 = 22 = 4
ноги
и т.д. разобранное число 10.
Ответ: двоичная с/с.
2. «Какое наименьшее число гирь
потребуется для взвешивания любого предмета,
масса которого равна целому числу фунтов от 1 до
40. Гири разрешено складывать на одну чашу весов».
(Задача де Мезириака)
Решение:
Любое натуральное число от 1 до 63 можно записать
при помощи 6 знаков в двоичной системе счисления.
Массе гирьки соответствует позиционный вес
цифры в двоичном числе. (1 – гирька используется, 0
– нет).
Ответ. Гирьки выбираются массой: 1, 2, 4, 8, 16, 32
грамма.
3. «Отгадывая целое число, задуманное в
промежутке от 1 до 100 можно задавать вопросы, на
которые получаете ответы «да» или «нет». Сколько
вопросов минимально необходимо задать, чтобы
отгадать это число»
Решение:
Поскольку дана возможность использовать
ответы «да» или «нет», то логично предположить,
что для кодирования можно использовать двоичную
систему счисления. Любое натуральное число от 1
до 100 можно записать при помощи 7 знаков в
двоичной системе счисления.
Ответ. Минимально достаточно задать 7
вопросов.
4. «В саду росло 63q фруктовых деревьев,
из них 30q яблони, 21q груши, 5q сливы, 4q вишни. В какой
системе счисления ведется счет, и сколько было
деревьев?»
Решение:
63q = 30q + 21q + 5q + 4q
Составим уравнение, согласно правилам записи
чисел в позиционных системах счисления
6q + 3 = 3q + 2q + 1 + 5 + 4
q = 7
всего деревьев – 6 . 7 + 3 = 45
яблонь – 3 . 7 = 21
груши – 2 . 7 + 1 = 15
слив – 5
вишен – 4
Ответ. Система счисления – семеричная,
яблонь – 21, груш – 15, слив – 5, вишен – 4, всего – 45.
5. «В классе 36q учеников, из них 21q
девочка и 15q мальчиков. В какой системе
счисления велся отсчет?»
Решение:
36q = 21q + 15q
Составим уравнение, согласно правилам записи
чисел в позиционных системах 3q + 6 = 2q + 1 + q + 5
Как видно, оно не имеет однозначного
математического решения, логически подбираем
корни уравнения
- Основание системы счисления не может быть
меньше 6 ( т.к. при записи чисел используется цифра
6)
- Предположим оно равно 7, тогда 3 . 7
+ 6 = 2 . 7 + 1 + 7 + 5 равенство
выполняется ? это решение верно.
- Аналогично можно рассуждать для любой системы
счисления, основание которой больше 7 .
Ответ: q > 7.
6. «Один мудрец писал «мне 33 года. Моей
матери 124 года, а отцу 131 год. Вместе нам 343 года».
Какую систему счисления использовал мудрец, и
сколько ему лет».
Решение:
33х + 124х + 131х = 343х
3х + 3 + х2 + 2х + 4 + х2 +
3х + 1 = 3х2 + 4х + 3
х2 – 4х – 5 = 0
х1 = 5, х2 = – 1 (не является решением)
Ответ: 335 = 18, 1245 = 39, 1315 = 41,
3435 = 98
7. «Один человек имел 100 монет. Он
поровну разделил их между двумя своими детьми.
Каждому досталось по 11 монет и одна осталась
лишней. Какая система счисления использовалась,
и сколько было монет?»
Решение:
100х = 11х + 11х + 1
х2 – 2х – 3 = 0
х1 = 3, х2 = – 1 (не является решением)
Ответ: 1003 = 9, 113 = 4.
8. «В пробирку посадили некоторое
одноклеточное животное, которое размножается
делением пополам каждую секунду. Через 16 секунд
пробирка оказалась полной. Определить сколько
времени понадобилось, чтобы заполнить половину
пробирки. Сколько «жителей» было в пробирке
через 7 секунд?»
Решение:
Для заполнения половины пробирки понадобится t
– 1 секунда, при условии удвоения особей, то есть
15 секунд. Через 7 секунд в пробирке было 27 особей.
То есть 128 штук.
Ответ: 15 секунд, 128 штук.
9. «Трехзначное десятичное число
начинается с 1, если поменять местами старший и
младший разряды, то вновь полученное число будет
меньше усемеренного исходного на 48. Найти
исходное число».
Решение:
Исходное число – 1XY
Новое число – YX1
Соотношение 7 . (1XY) = YX1 + 48 где X, Y –
цифры числа
Представляем уравнение в виде разрядных
слагаемых:
7(102 + X . 101 + Y .
100) = Y . 102 + X .
101 + 1 . 100 + 4 .
101 + 8 . 100
7 . 102 + 7 . X .
101 + 7 . Y . 101
– 1 многочлен
Y . 102 + (X + 4) . 101
+ (1 + 8) . 100 – 2 многочлен
если равны многочлены, то равны и
соответствующие коэффициенты
1) начиная с младшего разряда 7 . Y = 9
+ p . 10, где p = 0  6, это возможно только при Y = 7, p = 4
2) 7 . X + p = X + 4
7 . X + 4 = X + 4
7 . X = X при X = 0
Ответ. Исходное число – 107.
10. «Шестизначное десятичное число
начинается слева с 1, если переместить ее в
младший разряд, то новое число будет втрое больше
исходного. Найти исходное число».
Решение:
Исходное число – 1ABCDE
Новое число – ABCDE1
Соотношение 1ABCDE = ABCDE1 . 3 где A, B, C, D,
E – цифры числа
Представляем уравнение в виде разрядных
слагаемых:
(1 . 105 + A . 104
+ B . 103 + C . 102
+ D . 101 + E . 100)
. 3 = A . 105 + B .
104 + C . 103 + D .
102 + E . 101 + 1 .
100
если равны многочлены, то равны и
соответствующие коэффициенты
1) начиная с младшего разряда 3 . E
= 1 + p . 10, где p = 0 2, в данном случае это возможно
только при E = 7, p = 2
2) для разряда десятков
3 . D + p = E + p1 . 10, где
p1 = 0 2
3 . D + 2 = 7 + p1 . 10 это
возможно только при D = 5 p1 = 1
3) для разряда сотен
3 . C + p1 = D + p2 . 10,
где p2 = 0 2
3 . C + 1 = 5 + p2 . 10 это
возможно только при C = 8 p2 = 2
4) для разряда тысяч
3 . B + p2 = C + p3 . 10,
где p3 = 0 2
3 . B + 2 = 8 + p3 . 10 это
возможно только при B = 2 p3 = 0
5) для разряда десятков тысяч
3 . A + p3 = B + p4 . 10,
где p4 = 0 2
3 . A + 0 = 2 + p5 . 10 это
возможно только при A = 4 p5 = 1
Все логические предположения о пригодности
коэффициентов делаются на основании таблицы
умножения.
Ответ. Исходное число – 142857. | 