Цели и задачи
- введение в комбинаторику, знакомство с
основными понятиями: перестановки, размещения,
сочетания;
- введение в теорию вероятностей (частота и
вероятность, сложение и умножение вероятностей);
- коррекция базовых математических знаний,
систематизация, расширение и углубление знаний;
- развитие познавательных интересов и
творческих способностей учащихся, психических
способностей ребенка, обеспечивающих его
адаптацию в дальнейшей жизни, научить школьников
учиться посредствам личностно-ориентированного
подхода;
- воспитание творческой личности, умеющей
самореализовываться и интегрироваться в системе
мировой математической культуры;
- акцентировать внимание учащихся на единых
требованиях к правилам оформления различных
видов заданий, включаемых в итоговую аттестацию
за курс полной общеобразовательной средней
школы;
- развивать способности учащихся к
математической деятельности;
- способствовать совершенствованию и развитию
важнейших математических знаний и умений,
предусмотренных программой.
Урок 1. "Престановки”
Цели урока:
- познакомить с понятием "комбинаторика”,
привести примеры комбинаторных задач;
- ввести (повторить) понятие "факториал”;
- дать определение понятия "перестановка”;
- доказать равенство Рn=n!;
- решать задачи на перестановки.
Ход урока
1) Что такое комбинаторика, решение
комбинаторных задач, исторические комбинаторные
задачи.
В науке и практике часто встречаются задачи,
решая которые приходиться составлять различные
комбинации из конечного числа элементов и
подсчитывать число этих комбинаций. Такие задачи
получили название комбинаторных задач, а раздел
математики, в котором рассматриваются эти
задачи, называют комбинаторикой. Слово
"комбинаторика” происходит от латинского слова
combinare – "соединять, сочетать”.
Определение. Комбинаторика – это раздел
математики, посвящённый задачам выбора и
расположения предметов из различных множеств.
Типичной задачей комбинаторики является
задача перечисления комбинаций, составленных из
нескольких предметов.
Пример 1. Дано три элемента a, b и
c. Сколькими способами можно расставить эти
элементы друг за другом?
Решение: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Всего 6 различных способов.
Пример 2. Сколько трёхзначных чисел
можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи
числа каждую цифру не более одного раза?
1 |
3 |
5 |
7 |
3 |
5 |
7 |
1 |
5 |
7 |
1 |
3 |
7 |
1 |
3 |
5 |
5 |
7 |
3 |
7 |
3 |
5 |
5 |
7 |
1 |
7 |
1 |
5 |
3 |
7 |
1 |
7 |
1 |
3 |
3 |
5 |
1 |
5 |
1 |
3 |
Итого 24 числа: 135, 137, 153, 157, 173, 175, 315, 317, 351, 357, 371, 375,
513, 517, 531, 537, 571, 573, 713, 715, 731, 735, 751, 753. Такой способ
решения называют деревом возможных вариантов.
Некоторые комбинаторные задачи решали ещё в
Древнем Китае, а позднее – в Римской империи. Как
самостоятельный раздел математики
комбинаторика оформилась в Европе в XVIII веке в
связи с развитием теории вероятностей.
В древности для облегчения вычислений часто
использовались камешки. При этом, особое
внимание уделялось числу камешков, которые можно
было разложить в виде правильной геометрической
фигуры. Так появились квадратные числа (1, 4, 16, 25, ...):
Были сконструированы и треугольные числа (1, 3, 6,
10, 15, ...):
Все составные числа древние математики
представляли в идее прямоугольников размером m x
n, выложенных из камней, где обязательно m 1 и n 1. Простые числа представляли в виде линий
1 х n. В связи с этим составные числа древние
учёные называли прямоугольными, а простые –
непрямоугольными числами.
2) Факториал.
Определение. Факториалом натурального
числа n называется произведение всех
натуральных чисел от 1 до n. Обозначение n!
Для того, чтобы в различных формулах не делать
исключения для числа 0, принято соглашение: 0! = 1.
Таблица факториалов от 0 до 10:
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n! |
1 |
1 |
2 |
6 |
24 |
120 |
720 |
5 040 |
40 320 |
362 880 |
3 628 800 |
3) Перестановки.
В примерах 1 и 2 мы составляли различные
комбинации элементов и чисел, переставляя их
различными способами.
Определение. Перестановкой называется
конечное множество, в котором установлен порядок
элементов.
В приведённых примерах различных перестановок
относительно не много. Но возможны другие задачи,
в которых количество перестановок достаточно
большое. Выписывать их неудобно, это занимает
достаточно много времени и вероятность
"потерять” какое-нибудь решение велика.
Число всевозможных перестановок из n
элементов вычисляется по формуле:
Pn = n!
Доказательство:
Если n = 1, то Pn = 1! = 1 – верно.
Допустим, что Pk = k! – верно.
Докажем, что Pk+1 = (k + 1)! – тоже
верно:
Мы имеем k + 1 элемент. На первое место можно
поставить любой из них. Для каждого выбора
первого элемента на второе место можно поставить
один из оставшихся k элементов. Для каждого
выбора первых двух элементов на третье место
можно поставить один из оставшихся k – 1
элементов и т.д. В результате получим, что
4) Примеры решения задач.
Пример 1. Сколькими способами могут
быть расставлены восемь участниц финального
забега на восьми беговых дорожках?
Решение: P8 = 8! = 40 320
Значит, существует 40 320 способов расстановки
восьми участниц на восьми беговых дорожках.
(Понятно, что решить эту задачу методом
построения дерева возможных вариантов
практически невозможно.)
Ответ: 40 320 способов.
Пример 2. Сколько различных
четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1,
2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть
разные?
Решение: Количество четырёхзначных чисел,
которые можно составить из 4-х различных цифр (без
повторения цифр) равно числу перестановок из
четырёх элементов P4. Но в этом случае
будут образовываться числа, начинающиеся с 0, что
невозможно. И таких перестановок будет P3.
Следовательно, Р4 – Р3 = 4! – 3! =
18.
Ответ: 18 чисел.
Пример 3. Имеется 10 различных книг,
среди которых есть трёхтомник одного автора.
Сколькими способами можно расставить эти книги
на полке, если книги трёхтомника должны
находиться вместе, но в любом прядке?
Решение: Будем считать трёхтомник одной книгой
(т.к. порядок книг в самом трёхтомнике возможен
любой). Тогда у нас всего не 10 книг, а 8. Их можно
расставить Р8 способами. Но книги в
трёхтомнике можно расставить Р3 способами.
Для каждой перестановки из 8-и элементов
соответствует определённая перестановка из 3-х
элементов. Следовательно, .
Ответ: 241 920 способов.
5) Задачи для самостоятельного решения (в
классе и дома).
1). Сколькими различными способами могут сесть
на скамейку
а) 5 человек;
б) 7 человек.
Решение: а) Р5 = 5! = 120; б) Р7 = 7! =
5 040.
Ответ: а) 120 способов; б) 5 040 способов.
2). Сколько различных трехцветных флагов с тремя
горизонтальными полосами можно получить,
используя красный, синий и белый цвета?
Решение: Р3 = 3! = 6.
Ответ: 6 флагов..
3). Сколькими способами можно расставить по
этапам четырёх участниц эстафеты в беге 4 х 100 м?
Решение: Р4 = 4! = 24.
Ответ: 24 способа.
4). Составьте всевозможные трёхзначные числа, в
которых все цифры разные, используя лишь цифры:
а) 7, 5, 1; б) 2, 0, 9.
Решение:
а) Р3 = 3! = 6 – всего 6 чисел: 751, 715, 571, 517,
175, 157.
7 |
5 |
1 |
5 |
1 |
7 |
1 |
7 |
5 |
1 |
5 |
1 |
7 |
5 |
7 |
б) Р3 – Р2 = 3! – 2! = 4 – всего 4
числа: 209, 290, 902, 920.
5). Сколько четырёхзначных чисел можно
составить из цифр 1, 2, 5, 7, если каждая цифра может
использоваться только один раз?
Решение: Р4 = 4! = 24.
Ответ: 24 числа.
6). Учащиеся должны посетить во вторник по
расписанию 5 уроков по следующим предметам:
литература, алгебра, география, физкультура и
биология. Сколькими способами можно составить
расписание на этот день, чтобы физкультура была
пятым уроком?
Решение: Р4 = 4! = 24.
Ответ: 24 способа.
7). Из цифр 2, 3, 4, 7 составлены всевозможные
четырёхзначные числа (без повторения цифр).
Сколько среди этих чисел таких, которые:
а) начинаются с цифры 7;
б) не начинаются с цифры 4?
Решение: а) Р3 = 3! = 6; б) Р4 – Р3
= 4! – 3! = 18.
Ответ: а) 6 чисел; б) 18 чисел.
8). Из цифр 1, 2, 0, 5, 6 составлены всевозможные
пятизначные числа (без повторения цифр). Сколько
среди этих чисел таких, которые:
а) кратны 4;
б) кратны 5?
Решение: а) признак делимости на 4: если две
последние цифры числа делятся на 4, то и всё число
делится на 4. Следовательно, кратны 4 будут числа
***12, ***16, ***20, ***56. Количество чисел, оканчивающихся
на 12, 16 и 56: Р3 – Р2 = 3! – 2! = 4 (т.к.
0 не может стоять на первом месте). Количество
чисел, оканчивающихся на 20: Р3 = 3! = 6.
Следовательно, .
б) Кратны 5 будут числа ****0: Р4 = 4! = 24 и
****5: Р4 – Р3 = 4! – 3! = 18.
Следовательно, 24 + 18 = 42.
Ответ: а) 18 чисел; б) 42 числа.
9). В автомашине 5 мест. Сколькими способами в
этой автомашине могут разместиться 5 человек,
если место водителя могут занять только двое из
них?
Решение: Р4 + Р4 = 4! + 4! = 48.
Ответ: 48 способов.
10). Чтобы открыть сейф, нужно набрать шифр,
содержащий определённую последовательность из
цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, и другой шифр, содержащий
последовательность из букв a, b, c, d,
в которых буквы и цифры не повторяются. Сколько
существует комбинаций, при которых сейф НЕ
открывается?
Решение:
(все возможные варианты минус один вариант, с
помощью которого сейф можно открыть).
Ответ: 17 279 комбинаций.
11). Сколькими способами можно расставить на
полке четыре книги по алгебре и три по геометрии,
причём так, чтобы все книги по алгебре (в любом
порядке) стояли рядом?
Решение: .
Ответ: 576 способов.
12). Найдите сумму всех трёхзначных чисел,
которые можно составить из цифр 2, 4, 6, не повторяя
цифр.
Решение: Р3 = 3! = 6 – всего 6 чисел.
246 + 264 + 426 + 462 + 624 + 642 = 2 664.
Ответ: 2 664.
13). Число a = n! + 1, где , является квадратом
натурального числа. Найдите наименьшее значение a,
если:
а) a – двузначное число;
б) a – трёхзначное число.
Решение: а) a = 25 при n = 4; б) a = 121 при n
= 5.
14). Решите уравнение:
а) х! = 5040; б) х! + (х – 1)! = 5760.
Решение:
а) х = 7; б) х = 7. |