Одними из самых древних являются задачи на равенство площадей (равновеликость), поскольку как раз при измерении площадей в Египте и зарождалась геометрия.

Историк Геродот (V век до н. э) писал: "Если Нил заливал чей-нибудь участок, то пострадавший обращался к царю и докладывал ему о случившемся. Тогда царь посылал землемеров (геометров); они измеряли, на сколько уменьшился участок и сообразно этому уменьшали налог. Вот откуда возникла геометрия (землемерие)”

В книгах "Начала” Евклида равновеликость фигур означает, что они могут быть составлены из частей. Именно этими средствами, не прибегая даже к пропорциям, Евклид доказывает, что каждый многоугольник может быть преобразован в равновеликий (равносоставленный) треугольник, а треугольник — в квадрат.

1. а || СВ. Все треугольники СВ равновелики (рис1)т.к. имеют общее основание и высоту.

2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (докажите)

3. Диагонали параллелограмма делят его на 4 равновеликих треугольника

Доказательство: = и = (имеют равные основания и общую высоту), аналогично

+= +, следовательно: = = =

Решим задачи, используются свойства равновеликости фигур

Задача 1 Дан параллелограмм АВСD и точка М вне плоскости параллелограмма (рис 4) Проведите через точку М прямую, делящую его на две равновеликие фигуры

Решение: Проведем диагонали АС и ВD, которые пересекутся в точке О.Прямая МО будет искомой. Она разбивает параллелограмм на две трапеции, у которых равные высоты и равные средние линии РО = КО.

Задача 2. В параллелограмме АВСD вырезали отверстие в виде прямоугольника. Провести прямую так, чтобы разделить оставшуюся часть на две равновеликие фигуры

Решение: Проведем диагонали параллелограмма и прямоугольника. Через точки пересечения диагоналей О и М проведем прямую ОМ. Данная прямая будет искомой (см. предыдущую задачу)  (еще один образец решения задачи)

Задача 3 Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. Докажите, что треугольники, прилегающие к боковым сторонам трапеции, равновелики.

Решение = Если из равных площадей отнять одну и туже площадь, то оставшиеся площади будут равны.

Задача 4 На основаниях ВС и АD трапеции АВСD произвольно взяты точки М и К(рис 7) МА и МD пересекаются с КВ и КС в точках Е и N соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника ЕМNК равна сумме площадей треугольников АВЕ и DNC

Решение. Обозначим площади треугольников через и , четырехугольника - Соединим точки М и К получим две трапеции АВМК и КМСD. Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны (доказано в задаче 3).Следовательно, + ,=

Задача 5 В трапеции СD (рис9) ВК || СD, где К АС. Докажите, что треугольники АВС и КСD равновелики

Решение В трапеции АВСD = (задача 3), в трапеции KBCD = Сложим равные площади, получим =.

Для нахождения площади произвольного многоугольника его обычно разбивают на треугольники и находят площадь каждого из них. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника. Площадь многоугольника можно найти другими способами. Один из таких способов был указан Евклидом. Он состоит в построении треугольника равновеликого данному.

Рассмотрим пример.

Дан выпуклый пятиугольник АВСDЕ построим равновеликий ему треугольник. Для этого через вершину В проведем прямую, параллельную диагонали АС и через точку D прямую параллельную диагонали СЕ (рис 10).

AFBC трапеция по построению следовательно = (общее основание АС и высота)

Аналогично EKDC трапеция и = Таким образом =

Применяя способ Евклида к трапеции, получаем другой способ вывода площади трапеции.

Рассмотрим трапецию АВСD с основаниями АD = а и ВС = в и высотой h Проведем через вершину В прямую СЕ || ВD , тогда = Четырехугольник ВСЕD параллелограмм, поэтому ЕD = ВС = в. Итак, =  (a +b)h

Докажем еще одну формулу для площади трапеции

Доказать, что площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой содержащей первую сторону

Доказательство

Пусть в трапеции АВСD точка Е –середина СD, а EF –перпендикуляр к АВ через точку Е(рис 12) Проведем прямую, параллельную АВ и пересекающую прямые АD и ВС в точках К и М соответственно. АМВК – параллелограмм и = FD · EF. Этот параллелограмм и трапеция АВСD равносоставлены, следовательно, равновелики, значит = AB · EF