- познакомить с методами решения уравнений,
содержащих под знаком модуля выражение с
переменной;
- формирование умения решать данные уравнения,
научить выбирать наиболее рациональный метод
решения уравнений;
- развитие логического мышления, речи;
- создание условий, способствующих воспитанию у
учащихся внимательности и аккуратности в
решении уравнения.
Методы обучения: объяснение, выполнение
тренировочных упражнений.
Формы контроля: самопроверка самостоятельно
решенных задач.
Оборудование: компьютер, мультимедийный
проектор, экран, папка с файлами (практикум),
презентация урока (слайды).
Ход занятия
Фронтальный опрос.
Сформулируйте определение модуля числа.
Сформулируйте геометрическое истолкование
модуля.
Может ли быть отрицательным значение суммы 2+?
Может ли равняться нулю значение разности 2-?
Как сравниваются два отрицательных числа?
Устная работа. Раскрыть модуль:
1. ; |
6. ; |
2. ; |
7. ; |
3. ; |
8. при ; |
4. ; |
9. при ; |
5. ; |
10. при . |
Проверка домашнего задания (класс разбит на 6
групп, каждая группа готовила презентацию по
заранее выбранному методу, которая и будет
представлять, и защищать ее).
Изучение нового материала.
1. Метод интервалов
Для того, чтобы решить уравнение, содержащее
неизвестную под знаком модуля, необходимо
освободиться от знака модуля, используя его
определение. Для этого следует:
1) Найти критические точки, т.е. значение
неизвестной, при которых выражение, стоящее под
знаком модуля, обращается в нуль;
2) Разбить область допустимых значений
уравнения на промежутки, на каждом из которых,
выражения, стоящие под знаком модуля сохраняют
знак;
3) На каждом из этих промежутков уравнение
записать без знака модуля, а затем решить его.
Объединение решений, найденных на всех
промежутках, и составляет решение исходного
уравнения.
Пример 1. Решите уравнение: |x+4|=2x -10.
Ответ: 14.
Пример 2. Решите уравнение: х 2-5|x|+6=0
Ответ: +-2; +-3.
Пример 3. Решите уравнение: |5-2x|+|x+3|=2-3x
5-2x=0 x+3=0
х=2,5 х=-3
|
(- ;-3) |
[-3;+2,5) |
[-2,5;+ ) |
5-2х |
+ |
+ |
- |
х+3 |
- |
+ |
+ |
(- ;-3) |
[-3;+2,5) |
[-2,5;+
) |
5-2х-х-3-2+3х=0 0х=0
х-любое число
(- ;-3) |
5-2x+x+3-2+3x=0 2х=-6
х=-3 [-3;2,5) |
2х-5+х+3-2+3х=0 6х=4
x=2/3 [2,5;+ ) |
(- ;-3) v {-3}=(- ;-3]
Ответ: (- ;-3].
2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Для того, чтобы решить уравнение содержащее
модуль, необходимо освободиться от знака модуля.
Для этого следует: возвести в квадрат обе части
уравнения, решить его. Но не забывать, что при
возведении в квадрат появляются лишние корни,
поэтому, надо найти ОДЗ и выявить принадлежат ли
корни данному условию.
Пример 4. Решите уравнение: |x+4|=2x-10.
Возведем в квадрат обе части уравнения
X2 +8x+16=4x2 -40x+100
3x2 -48x+84=0 /3
X2 -16x+28=0
X1=14, X2=2
Найдём ОДЗ:
2x-10>0;
2x>10 ;
x>5.
x1=14 [5;+ ), х2=2 [5;+ )
Ответ:14
Пример 5. Решите уравнение: |x+3|=2x-3
Возведем в квадрат обе части уравнения
х2 +6x+9=4x2 -12x+9; 3x2 -18x=0 /:3
х2 -6x=0; x(x-6)=0
x=0, x=6.
Найдём ОДЗ: 2х-30, 2x3,
x1,5
x=0 [1,5;+)
x=6 [1,5;+ )
Ответ: 6.
3. Метод введения новой переменной
Иногда уравнение, содержащее переменную под
знаком модуля, можно решить довольно просто,
используя метод введения новой переменной.
Продемонстрируем данный метод на конкретных
примерах:
Пример 6. Решите уравнение: х2 -5|x|+6=0.
Пусть |x |=t,тогда
|x|2 =x2 =t2 ,тогда уравнение
примет вид:
t2 -5t+6=0
t1=2, |x |=2, x1,2= +- 2,
t2=3, |x |=3, x3,4=+- 3.
Ответ: +- 2, +- 3.
|