Цель: подвести учащихся к необходимости систематического поиска вариантов для решения задач, готовящих их к изучению комбинаторики.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Сегодняшнее наше занятие посвящено задачам, которые решаются способом перебора.
Начнем с задачи № 104, которую вы решали в начале года, оформляя ее на альбомных листах. Вы уже знали, что ломаных должно быть 12, и поэтому стремились изобразить именно 12 ломаных, но у многих одна и та же ломаная начерчена несколько раз, например, ABCD, DCBA – это одна и та же ломаная. Давайте, прежде, чем чертить, переберем все варианты.

Во-первых, повторим понятие ломаная.

Рисунок 1

Итак, задача № 104. Сколько всего различных незамкнутых ломаных можно построить  с вершинами в точках A, B, C, D? [1]

Рисунок 2

Решение.

Вначале давайте в качестве одного конца возьмем точку А. Её можно соединить с точками В, С и D, далее, точку В соединяем с точкой С или с точкой D, точку С с точкой В или с точкой D, точку D с точкой В или с точкой С. Изобразим это на рисунке.

Рисунок 3

Получили ломаные ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB. Всего 6 ломаных.

Аналогично:

Рисунок 4

Получили ломаные BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA. Всего 6 ломаных. Ломаные BCDA и BDCA были получены в первом случае, поэтому их исключаем, остаётся 4 ломаных.

С концом в точке С рассмотрим следующие ломаные:

Рисунок 5

Их 6: CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA. Ломаные CADB, CBDA, CDAB, CDBA были получены ранее, поэтому их исключаем, остаётся 2 ломаных.

Рисунок 6

С концом в точке D получим ломаные DACB, DABC, DBCA, DBAC, DCAB, DCBA. Всего 6 ломаных, и все они были уже получены ранее.
Таким образом, из 24 рассмотренных получается  6+4+2=12 различных ломаных или 24 : 2 = 12.

Ответ: 12.

Задача № 105.

Сколько всего различных замкнутых ломаных можно построить с вершинами в точках A, B, C, D?

Рисунок 7

Решение.

Поскольку ACDB = DBAC = BDCA = CABD = BDCA = CABD = ACDB = DBAC, то, используя решение задачи № 104, получим 24 : 8 = 3.

Ответ: 3.

2. Задача.

Заполнить клетки крестика цифрами 1, 3, 5, 7, 9 так, чтобы сумма цифр, стоящих по горизонтали, равнялась сумме цифр, стоящих по вертикали.

Рисунок 8

В условии задачи не уточнено, что надо заполнить клетки всеми возможными способами или указать хотя бы один способ заполнения. Учащиеся находят несколько способов, обычно ставя в центр крестика цифру 5. но некоторые могут поставить в центр и другую цифру. И тогда возникает вопрос: а любую ли из этих цифр можно поставить в центр крестика? В ходе обсуждения выясняем, что в центр можно поставить или 5, или 1, или 9. 3 или 7 поставить нельзя, так как суммы при этом будут неодинаковыми. Предлагается найти все способы для каждой из трех цифр: 5, 1 и 9. Рассуждения такие: пусть в центре стоит цифра 5, поставим слева цифру 1, тогда справа может стоять только 9, вверху 3 или 7, тогда внизу 7 или 3, то есть способов два. Если слева поставить цифры 3 ,7, 9, то способов будет еще шесть, всего восемь. Добавим восемь способов с цифрой 1 в центре и восемь способов с цифрой 9 в центре, всего получится двадцать четыре способа.

Ответ: 24 способа заполнения.

3. Итак, подведём итоги. Некоторые задачи математики можно решить способом систематического перебора, то есть придумав какой-то порядок для нахождения всех вариантов. Такие задачи в математике называются комбинаторными.

Дома ребятам предлагается на альбомном листе еще раз начертить все  ломаные к задаче 1 и все крестики к задаче 2.