Приведенные нами примеры ясно показывают, что область парадоксов с изменением площади еще только начинает разрабатываться. Существуют ли какие-нибудь криволинейные фигуры, например круги или эллипсы, которые можно разрезать на части, а затем составить по-иному так, чтобы при этом без заметного искажения фигуры получались внутренние отверстия?

Существуют ли трехмерные фигуры, специфичные именно для трех измерений, т. е. не являющиеся тривиальным следствием двумерных фигур? Ведь ясно, что к любой плоской фигуре, с которой мы встречались в этой главе, можно «добавить измерение», вырезая ее попросту из достаточно толстого картона, высота которого равна «длине третьего измерения» ).

Можно ли куб или, скажем, пирамиду разрезать не очень сложным способом на части так, чтобы, составляя их по-новому, получить заметные пустоты внутри?

Ответ будет таков: если не ограничивать число частей, то такие пространственные фигуры указать совсем нетрудно. Достаточно ясно это в случае куба.

Здесь внутренняя пустота может быть получена, однако вопрос о наименьшем числе частей, с которыми этого можно достигнуть, более сложен. Его заведомо можно изготовить из шести частей; не исключено, что этого можно добиться и с меньшим числом.

Такой куб можно эффектно демонстрировать следующим образом: вынуть его из ящичка, сделанного точно по кубу, разобрать на части, обнаружив при этом внутри шарик, снова сложить части в сплошной куб и показать, что он (без шарика) по-прежнему плотно заполняет ящик. Мы выскажем предположение, что должно существовать много таких фигур, как плоских, так и пространственных, к тому же отличающихся простотой и изяществом формы. Будущие исследователи этой любопытной области будут иметь удовольствие открыть их.