Вот еще один парадокс с площадью. Меняя положение частей А и С, как показано на рис. 58, можно превратить прямоугольник площадью в 30 квадратных единиц в два меньших прямоугольника с общей площадью в 32 квадратные единицы, получая, таким образом, «выигрыш» в две квадратные единицы. Как и в предыдущем парадоксе, здесь играют роль только клетки, примыкающие к линии разреза. Остальные нужны лишь как оформление.

В этом парадоксе существуют два существенно различных способа разрезывания фигуры на части.

Можно начать с большого прямоугольника размером 3x10 единиц (верхняя часть рис. 58), аккуратно проводя в нем диагональ, тогда два меньших прямоугольника (нижняя часть рис. 58) будут на 1/5 единицы короче своих кажущихся размеров.

Но можно также начать с фигуры, составленной из двух аккуратно начерченных меньших прямоугольников размером 2x6 и 4x5 единиц; тогда отрезки, соединяющие точку X с точкой У и точку У с точкой Z, не будут составлять прямую линию. И только потому, что образуемый ими тупой угол с вершиной в точке У весьма близок к развернутому, ломаная ХУZ кажется прямой линией. Поэтому фигура, составленная из частей малых прямоугольников, не будет в действительности прямоугольником, так как эти части будут слегка перекрываться вдоль диагонали. Парадокс с шахматной доской, так же как и большая часть других парадоксов, которые мы собираемся рассмотреть в этой главе, тоже могут быть представлены в двух вариантах. В одном из них парадокс получается за счет незначительного уменьшения или увеличения высоты (или ширины) фигур, в другом — за счет прироста или потери площади вдоль диагонали, вызываемых либо перекрыванием фигур, как в только что рассмотренном случае, либо появлением пустых мест, с чем мы вскоре встретимся.

Меняя размеры фигур и наклон диагонали, этому парадоксу можно придать самое различное оформление. Можно добиться потери или прироста площади в 1 квадратную единицу или в 2, 3, 4, 5 единиц и т. д.

Конечно, чем дальше вы зайдете, тем легче будет обнаружить, куда деваются недостающие квадраты.